4.2认识一次函数 课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

4.2 认识一次函数 感知一次函数 1、感知均匀变化： 一个变量增加 时，另一个变量的改变量是 ⁠的。 固定的数值　 相同　 2、三种表示方法感知均匀变化： 列表法： 图象法： 关系式法： 自变量增加相同数值时，函数值呈等差　 对应的点呈“线性”排列 函数y可以表示成自变量x的一次代数式形式　 2 一次函数的定义 在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的关系如下表所示： x/kg 0 1 2 3 4 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 （1）随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是“均匀”的吗？ 3.0。 解：观察表格发现，物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增长0.5cm， 所以随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是“均匀”的。 （2）写出y与x之间的关系式，并说明理由。 解：（2）y与t之间的函数关系式为y＝0.5x＋3.0。 解：y与t之间的函数关系式为y＝0.5x＋3.0。 3 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司. 甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元. 乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元(不足1km按1km计算). 怎样租客车呢？ 4 解：用车里程为30km时， 甲公司的费用 y甲=15×30=450， 乙公司的费用 y乙=10×30+200=500， y甲 < y乙， 所以建议租用甲家公司的客车. (1)假设该单位用车里程为30千米，你建议租用哪家公司的客车？ 5 解：用车里程为52km时， 甲公司的费用y甲=15×52=780， 乙公司的费用y乙=10×52+200=720， y甲 > y乙， 所以建议租用乙家公司的客车. (2)假设该单位用车里程为52千米，你建议租用哪家公司的客车？ 6 问题2 (1)完成下表： 行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 300 耗油量y/L (2)写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式. 解:由题意可得每行驶1km耗油量为 L， 所以y = 0.08x . 0 4 8 12 16 20 24 (3)写出油箱剩余油量z(单位：L)与汽车行驶路程x之间的关系式. 解：由题意可得原有汽油 40L，并且剩余油量 = 原有油量 - 耗油， 所以z = 40 - 0.08x 任务 费用的计算 在旅途中，除了加油费用，每天还会产生餐饮、住宿等费用，大约每天 1000 元. 问题3 加油总费用为2000元，行驶天数为x天，写出这次旅行的总费用 W(元)与行驶天数x之间的函数关系式. 解：由题意可得加油总费用为2000元， 并且旅行总费用=加油总费用+其他费用， 所以W = 1000x + 2000. (1)当220<x≤300时，写出水费y(单位：元)与x之间的关系式； 计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 解：当220<x≤300时，用水量属于第二档. 于是 y=3.45×220+4.83×(x-220)，即 y=4.83x-303.6. 9 (2)某户一年用水量是250m3，求该户这一年的水费； 计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 解：当x=250时，y=4.83×250-303.6=903.9(元). 10 在“九三阅兵”群众游行环节，某方阵初始有200人，之后每分钟增加10人，设时间为x分钟，总人数为y人。 （1）写出y与x的函数关系式，并判断它是一次函数还是正比例函数； （2）当x=5时，方阵总人数是多少？ 20 50 减少10 减少20 y=10x+200 y=20x+200 y=50x+200 y=-10x+200 y=-20x+200 k影响函数均匀变化的速率 在“九三阅兵”群众游行环节，某方阵初始有200人，之后每分钟增加10人，设时间为x分钟，总人数为y人。 （1）写出y与x的函数关系式，并判断它是一次函数还是正比例函数； （2）当x=5时，方阵总人数是多少？ 300 y=10x+200 b影响函数初始值 y=10x+300 y=10x+500 500 450 y=10x+450 设计计费规则时要注意什么? 设计计费规则时要注意：①要充分考虑不同用户的实际需求和承受能力； ②保证计费规则的公平性； ③简单明了，方便用户理解和计算. (4)生活中还有哪些情况用到类似的计费方法? ①快递收费，根据重量和距离分段计费； ②个人所得税缴纳； ③医疗报销分段，根据费用区间分段计算实际报销金额. 1.为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准: ①若每户居民每月用电量不超过 100 度，则按 0.50 元/度计算:②若每户居民每月用电量超过 100 度,则超过部分按 0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)，现假设某户居民某月用电量是x(单位:度)，电费为y(单位:元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是( ) C A B C D 课堂小结 一次函数与正比例函数 一次函数 正比例函数 列一次函数关系式 形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数. 形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数. 特例 b=0 (1)找等量关系； (2)用字母列出等式； (3)将等式变形成一次函数的一般形式. A 学以致用 2.下列说法中，正确的个数是(　　) ①正比例函数一定是一次函数； ②一次函数一定是正比例函数； ③速度一定时，路程s是时间t的一次函数； ④圆的面积S是圆的半径r的正比例函数. A.1 B.2 C.3 D.4 B 解：(1)由题意得： ， . (2)当 时， ，解得： ， 当 时， ，解得 ， 因为 ，所以学校选择方案一购买的劳动工具较多. 练习2 古人常说：“读书可以启智,读书可以明理,读书可以医愚”,读书不但可以让人增长智慧,开拓视野,而且还能让人明事理,知荣辱.某校为营造书香校园,计划购进个某品牌书架,已知该品牌书架的单价为200元个,经过与厂家协商,厂家给出两种优惠方案： 方案一：所有书架均按原价的八折销售； 方案二：若一次购买不超过10个,则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过10个,则前10个打九折,超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低30元. (1)分别求方案一实际付款金额 (元)和方案二实际付款金额 (元)与之间的函数关系式； (2)当 时,请分别求出两种方案的实际付款金额,并判断选择哪种方案对学校来说更省钱. 1.下面的三个问题中都有两个变量： ①等腰三角形的底边长为3,底边上的高x与它的面积y； ②将泳池中的水匀速放出,直至放完,泳池中的剩余水量y与放水时间x； ③从A地到B地铺设一段铁轨,平均每日铺设长度y与铺设天数 其中,变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析：①：等腰三角形的底边长为3,面积公式为 㡳×高,代入底长3,得 ,即 ,是正比例函数(一次函数),符合条件； ②：泳池匀速放水,剩余水量y与时间x的关系为 (V为初始水量,v为放水速度),属于一次函数,符合条件； ③：铺设总长度固定时,每日铺设长度y与天数x满足 (L为总长度),不符合一次函数. 综上,满足一次函数关系的是①和②,故选：A. $