第3章第8讲一元一次不等式及应用（3.1～3.4）2026-2027学年浙教版八年级数学上册

八年级上册 · 数学（浙教版） 第8讲 一元一次不等式及应用(3.1~3.4) (一)不等式的概念 例题精析 例1 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥。其中是不等式的有（　） ▸思路点拨 根据不等式的概念查找题中不等号，显然①②⑤⑥都符合。 ▸过程详解 解：①；②；⑤；⑥式子中是用不等号连接的，所以共4个不等式。故选C。 ▸总结升华 用不等号连接的式子叫作不等式。常见不等号有、、、、。不等式容易与等式、代数式混淆，解题时需抓住关键点“不等号”，与有无字母无关。 变式训练 1. 下列式子：①；②；③；④；⑤。其中是不等式的有______。（填序号） (二)列不等式 例题精析 例2 用不等式表示：(1)与的差为非负数：______。(2)与的的和不超过2：______。(3)与的平方和不小于与的积的2倍：______。 ▸思路点拨 (1)根据与的差为非负数，即可列出不等式；(2)根据与的的和不超过2，即可列出不等式；(3)根据与的平方和不小于与的积的2倍，即可列出不等式。 ▸过程详解 解：(1) (2) (3) ▸总结升华 抓住关键词，选择不等号，列出不等式。 变式训练 2. 用不等式表示：(1)的平方的3倍与7的差是负数。(2)的4倍大于的3倍与7的和。(3)与8的差的不大于0。 (三)不等式的性质 例题精析 例3 下列不等式变形正确的是（　） ▸思路点拨 首先弄清结论中的变形与条件中的不等式有何不同，从而得出不等式是如何变形的，再应用不等式的性质来判断。 ▸过程详解 解：A.等式的两边都减2，不等号的方向不变，故A错误；B.如，，得，故B错误；C.不等式的两边都乘，不等号的方向改变，故C正确；D.如，，得，故D错误。故选C。 ▸总结升华 不等式的基本性质：1.不等式的传递性；2.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；3.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 变式训练 3. 选择适当的不等号填空。(1)若，则______。(2)若，且，则______。(3)若，则______0。 例4 若，且，则的取值范围是______。 ▸思路点拨 根据不等式的基本性质发现不等号的方向改变了，可知是一个负数。 ▸过程详解 解：因为，且，所以，所以。故答案为。 ▸总结升华 不等式两边同乘一个负数时，不等号的方向发生改变。 变式训练 4. 若，且，比较与的大小，并说明理由。 例5 阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则，上面的规律，反过来也成立。课上，通过与其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的。参考小明发现的规律，解决问题：(1)比较大小：______。（填“”“”或“”）(2)已知，且，若，，试比较和的大小。 ▸思路点拨 (1)两数作差，利用题中给的规律进行判断即可；(2)根据题设得到，再将两式作差求解即可作出判断。 ▸过程详解 解：(1) (2)由题意可知：，因为，所以。因为，所以，所以，所以，所以。 ▸总结升华 作差法可以用来比较数或式的大小。 变式训练 5. (1)在下列横线上填“”“”或“”。①如果，那么______；②如果，那么______；③如果，那么______。(2)用(1)的方法你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程。 (四)一元一次不等式 例题精析 例6 下列不等式是一元一次不等式的有哪些？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)。 ▸思路点拨 根据一元一次不等式的定义判断，(1)是等式；(4)不等式的左边不是整式；(5)含有两个未知数。 ▸过程详解 解：(2)(3)是一元一次不等式。 ▸总结升华 本题考查一元一次不等式的概念，①不等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是一次。 变式训练 6. 下列各式中，是一元一次不等式的是（　） A． B． C． D． 例7 解下列不等式，并把解集表示在数轴上。(1)；(2)。 ▸思路点拨 (1)先去括号，然后移项、合并同类项，系数化成1，即可求解；(2)可结合步骤，确定公分母，约去分母，化简求解。 ▸过程详解 解：(1)去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化成1，得。在数轴上表示如图所示。(2)去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，两边同除以，得。在数轴上表示如图所示。 ▸总结升华 本题考查不等式的解法，解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程的一般步骤一致，但区别在于不等式两边同除以（乘）负数时，不等号的方向要改变。 变式训练 7. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。(1)；(2)。 例8 已知关于的方程组的解满足，试求的取值范围。 ▸思路点拨 先求出方程组的解，再将的值代入中，建立关于的不等式，即可求出的取值范围。另外，也可以从整体角度把看成一个整体，由①+②得，再根据，即可求出的取值范围。 ▸过程详解 解：方法1：解方程组，得，因为，所以，解得。故的取值范围是。方法2：将与相加得，所以。因为，所以，解得。故的取值范围是。 ▸总结升华 本题考查方程组与不等式的结合，解决此类问题的关键是如何用表示，可以单独用表示，也可以考虑整体表示。 变式训练 8. 已知的解满足，则的取值范围是（　） A． B． C． D． 例9 阅读理解：定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”。例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”。(1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”，不必说明理由。(2)若关于的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围。(3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值。 ▸思路点拨 (1)求出方程的解，不等式的解，根据“友好解”的定义，判断即可；(2)两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可；(3)求出方程的解，不等式的解，根据“友好解”的定义，求出的范围，即可求出的最小整数值。 ▸过程详解 解：(1)解，得，解，得，所以方程的解不是不等式的解，所以方程的解不是不等式的“友好解”。(2)方程组，②-①，得，因为，所以，即，所以。(3)由，得，因为，所以，所以，即，由，得。因为方程的解是不等式的“友好解”，所以，解得，所以的最小整数值为3。 ▸总结升华 本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键。 变式训练 9. (1)若不等式与不等式的解相同，求的值。(2)若不等式的解一定满足不等式，求的取值范围。 例10 已知不等式的解集为，求不等式的解集。 ▸思路点拨 观察已知不等式不等号方向及其解集，逐步判断的符号，进而确定的值。 ▸过程详解 解：观察已知不等式及其解集为，可发现它们不等号的方向不一致，说明未知数的系数是负数，即。解不等式，得，所以，即，结合，进一步可确定，解不等式，可得。又因为，所以，即不等式的解集为。 ▸总结升华 类比一元一次方程的类似问题，根据不等式的性质判定参数的符号是关键。 变式训练 10. 若是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是（　） A． B． C． D． (五)一元一次不等式的应用 例题精析 例11 （销售问题）某体育专卖店销售进价分别为100元，80元的A，B两种型号的乒乓球拍，下表是近两周的销售情况。（进价、售价均保持不变，毛利润=售价-进价）(1)求A，B两种型号乒乓球拍的销售单价。(2)若超市准备用不多于1850元的金额再采购这两种型号的乒乓球拍共20块，求A型号乒乓球拍最多能采购多少块。(3)在(2)的条件下（即超市用不多于1850元的金额采购这两种型号的乒乓球拍共20块），超市销售完这20块乒乓球拍能否实现毛利润超过500元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由。 ▸思路点拨 (1)设A型号乒乓球拍的销售单价为元，B型号乒乓球拍的销售单价为元，根据近两周的销售情况，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设A型号乒乓球拍采购块，则B型号乒乓球拍采购块，进货总价不多于1850元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，即可得出结论；(3)根据总毛利润超过500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合(2)中的取值范围且为正整数，即可得出各采购方案。 ▸过程详解 解：(1)设A型号乒乓球拍的销售单价为元，B型号乒乓球拍的销售单价为元，根据题意得，解得。答：A型号乒乓球拍的销售单价为130元，B型号乒乓球拍的销售单价为100元。(2)设A型号乒乓球拍采购块，则B型号乒乓球拍采购块，根据题意得，解得，又因为为正整数，所以的最大值为12。答：A型号乒乓球拍最多能采购12块。(3)根据题意得，解得，又因为，且为正整数，所以可以为11或12，所以共有2种采购方案，方案1：A型号乒乓球拍采购11块，B型号乒乓球拍采购9块；方案2：A型号乒乓球拍采购12块，B型号乒乓球拍采购8块。 ▸总结升华 本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式。 变式训练 11. 2024年诸暨美人城盛大开业，小聪与几个好朋友一起去街区消费购买同山烧饼和西施桂花糕。已知他们总共带有100元现金，已经买了5个同山烧饼和8个西施桂花糕，每个同山烧饼8元，每个西施桂花糕4元。(1)问他们最多还能再购买几个同山烧饼？(2)若再购买个同山烧饼和个西施桂花糕，恰好把现金用完，且，则同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买多少个？ 例12 （工程问题）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程。(1)求乙队单独施工多少天可完成全部工程。(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元；甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，则甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？(3)在(2)的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程。 ▸思路点拨 (1)设乙队单独施工天可完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，利用两队完成工程量的和等于总工程量列方程求解即可；(2)设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为元、元，根据题意列方程组求解即可；(3)设甲队单独施工天，乙队单独施工天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量之和等于总工程量，列出与，结合最快完成总工程的要求，求出的最小值即可。 ▸过程详解 解：(1)设乙队单独施工天可完成全部工程，因为甲队单独施工完成全部工程的天数是（天），所以，解得，经检验，是所列方程的根，且符合题意，故乙队单独施工30天可完成全部工程。(2)设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为元、元，所以，解得，故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元。(3)设甲队单独施工天，乙队单独施工天，则，因为，所以，所以，所以，因为，且，所以。所以在总劳务费不超过28万元的情况下，最快70天能完成总工程。故答案为70。 ▸总结升华 本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握关系式：工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和=工作总量。 变式训练 12. 某工程队承包了一项的工程任务，由于准备工作充分，实际的工程效率比原计划提高了25%，且提前2天完成了任务。(1)求工程队平均每天实际完成的工程量。(2)为了尽量减少施工工作给市民带来的不便，在施工了2天后，工程队决定加快推进施工工作，确保将余下的工程任务在5天内完成，那么工程队平均每天至少再多完成的工程量是多少？ 例13 （方案问题）下表中有两种移动电话计费方式：设一个月内用移动电话主叫为（为正整数），由上表解决下列问题：(1)当时，方式一的费用为______元，方式二的费用为______元。(2)当方式一、方式二计费结果相等时，求的值。(3)请直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式。 ▸思路点拨 (1)根据两种方式的收费标准即可求解；(2)先判断出两种方式相等时的大致范围，继而建立方程即可得出答案；(3)由(2)计算过程即可得出答案。 ▸过程详解 解：(1)当时，方式一收费：（元），方式二收费：（元）。故答案为150；115。(2)当时，方式一、方式二分别需要60元、90元，不相等；当时，依题意有，解得；当时，依题意有，解得（舍去）。故的值为300。(3)当时，两种方式收费一样多；当时，选择方式一省钱；当时，选择方式二省钱。 ▸总结升华 根据题意求时间的取值范围，往往先考虑相等条件时的值。 变式训练 13. 某商场销售A型号笔记本电脑，售价是5000元/台，现进行促销活动，有两种优惠方案可供选择。方案一：按售价的九折付款。方案二：若购买数量不超过5台，则按售价付款；若超过5台，则超过的部分按售价的八折付款。某公司计划一次性从该商场购买A型号笔记本电脑台。(1)若该公司计划购买12台A型号笔记本电脑，则按哪个方案付款更便宜？请说明理由。(2)若按方案二付款比按方案一付款更便宜，则该公司至少要购买几台A型号笔记本电脑？ (六)绝对值不等式 例题精析 例14 (1)【阅读理解】“”的几何意义是数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：①“”可理解为______；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为______和______。我们定义：形如“，，”（为非负数）的不等式叫作绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集。(2)【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式。由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，绝对值不等式的解集是。则：①不等式的解集是______；②不等式的解集是______。(3)【拓展应用】解不等式，并画图说明。 ▸思路点拨 (1)根据【阅读理解】读懂“”的几何意义，求解即可；(2)根据【理解应用】学会用数轴解绝对值不等式，求解即可。 ▸过程详解 解：(1)①数在数轴上对应的点到原点的距离小于2 ②答案不唯一，如；3。(2)①或 ② (3)根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示数与3的点的距离之和大于4的所有的值，如下图所示可知不等式的解集是或。 ▸总结升华 本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合的思想是解决本题的关键。 变式训练 14. 点A，B在数轴上分别表示数，A，B两点之间的距离表示为。数轴上A，B两点之间的距离。回答下列问题：(1)数轴上表示和的两点之间的距离是______。(2)数轴上表示和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么的值是______。(3)若表示一个有理数，且，则______。(4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是______。 链接好题 1. 下列四个选项中，经过变形，一定能得到的是（　） A． B． C． D． 参考答案 变式训练 1 ①③⑤ 变式训练 2 (1) (2) (3) 变式训练 3 (1) (2) (3) 变式训练 4 。理由如下：因为，且，所以，解得。 变式训练 5 (1)① ② ③ (2)能。，所以。 变式训练 6 C 变式训练 7 (1)，，，。在数轴上表示如下：(2)，去分母，得，去括号，得，移项及合并同类项，得，系数化为1，得。在数轴上表示如下： 变式训练 8 B 变式训练 9 (1)的解为，的解为，因为不等式与不等式的解相同，所以，解得。(2)的解为，的解为，因为不等式的解一定满足不等式，所以，解得。 变式训练 10 B【解析】因为是关于的方程的解，所以，即，所以。因为，所以，所以，所以。故选B。 变式训练 11 (1)设他们还能再购买个同山烧饼，由题意得，解得，因为为正整数，所以的最大值为3。答：他们最多还能再购买3个同山烧饼。(2)由题意得，整理得，因为，都是正整数，且，所以或，所以或。答：同山烧饼和西施桂花糕总共最多能再购买6个。 变式训练 12 (1)设工程队原计划平均每天完成，根据题意得，解得，经检验，是原分式方程的解且符合题意，所以。答：工程队平均每天实际完成的工程量为。(2)设工程队现在平均每天多完成，根据题意得，解不等式得。答：工程队平均每天至少再多完成的工程量是。 变式训练 13 (1)按方案二付款更便宜。理由如下：方案一花费（元）；方案二花费（元）。因为，所以按方案二付款更便宜。(2)设该公司购买台A型号笔记本电脑。根据题意，得，解得。因为为正整数，所以最小为11。答：该公司至少要购买11台A型号笔记本电脑。 变式训练 14 (1)3 (2) 1或 (3)4 (4)或 链接好题 1 B 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $