第1章第2讲命题与证明（1.2～1.3）专题讲义2026-2027学年浙教版八年级数学上册

八年级上册 · 数学（浙教版） 第2讲 命题与证明(1.2~1.3) (一)命题的组成 例题精析 例1 下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？是命题的，请先将它改成“如果……那么……”的形式，再指出命题的条件和结论。(1)同号两数的和一定不是负数。(2)若，则。(3)延长线段至点，使是的中点。 ▸思路点拨 (1)对两数和的正负性作出了判定，是命题；(2)对代数式的值作出了判定，是命题；(3)是动作指令性语句，故不是命题。 ▸过程详解 解：(1)是命题，改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数。条件：两个数同号；结论：这两个数的和一定不是负数。(2)是命题，改写：如果，那么。条件：；结论：。(3)不是命题。 ▸总结升华 命题是判断某一件事情的句子，通常是一个陈述句，是非疑问和非动作的句子。命题由条件和结论两部分组成，通常写成“如果……那么……”的形式。 变式训练 1. 下列句子哪些是命题？哪些不是命题？是命题的，请将它改写成“如果……那么……”的形式。(1)一个锐角的补角大于这个角的余角。(2)连结两点。(3)对顶角相等。(4)无论取何自然数，式子的值都是质数吗？ (二)命题的分类 例题精析 例2 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例。(1)两个锐角的和是锐角。(2)若，则。(3)若是自然数，则代数式的值是的倍数。 ▸思路点拨 (1)利用特殊角可证明该命题为假命题；(2)利用特殊值可证明该命题为假命题；(3)将代数式展开后提取公因式即可证明该命题为真命题。 ▸过程详解 解：(1)假命题。反例：与的和为。(2)假命题。反例：当时，。(3)真命题。因为，为自然数，所以代数式的值是的倍数。 ▸总结升华 命题是对某件事情作出肯定或否定的判定，包括正确的命题和错误的命题，即真命题和假命题。真命题可用推理的方式检验，假命题可通过举反例来判断。 变式训练 2. 有下列四个命题：①若是有理数，则；②若，则或；③一定是负数；④若两个角不相等，则这两个角不是一组对顶角。其中真命题是（　） A．①②③ B．②④ C．④ D．①④ 例3 真假命题的思考。一天，老师在黑板上写下了下列三个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②若，则；③若和的两边所在直线分别平行，则。小明和小丽对话如下，小明：“命题①是真命题，好像可以证明。”小丽：“命题①是假命题，好像少了一些条件。”(1)结合小明和小丽的对话，谈谈你的观点。如果你认为是真命题，请证明；如果你认为是假命题，请增加一个适当的条件，使之成为真命题。(2)请在命题②、命题中选一个，如果你认为它是真命题，请证明；如果你认为它是假命题，请举出反例。 ▸思路点拨 (1)结合小明和小丽的对话，可增加“在同一平面内”这一条件；(2)命题②③均为假命题，举反例即可。 ▸过程详解 解：(1)命题①为假命题，可增加“在同一平面内”这一条件，可使该命题成为真命题，即：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行。(2)命题②为假命题，举反例如下：当时，，但。命题③为假命题，举反例如下：和的两边所在直线分别平行，如图，，但。 ▸总结升华 本题考查了命题的相关知识，熟练掌握命题的定义及涉及到的相关知识是解题的关键。 变式训练 3. 用一个的值说明命题“代数式的值一定大于代数式的值”是错误的，这个的值可以是______。 (三)证明 例题精析 例4 判断一个正整数能被整除的方法是：把这个正整数各个数位上的数字相加，如果所得的和能够被整除，那么这个正整数就能被整除。请证明对于任意三位正整数，这个判断方法都是正确的。 ▸思路点拨 设一个三位正整数百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为(为整数，且，，)，则这个三位正整数为。再由的和能被整除，所以可设，其中为正整数。从而得到，即可求证。 ▸过程详解 证明：设一个三位正整数百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为(为整数，且，，)，则这个三位正整数为。由题意可知的和能被整除，所以可设，其中为正整数。所以。因为均为正整数，所以为正整数，所以能够被整除。即对于任意三位正整数，这个判断方法都是正确的。 ▸总结升华 本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，明确题意，准确列出代数式是解题的关键。 变式训练 4. 在学习中，小明发现：当时，的值都是负数。于是小明猜想：当为任意正整数时，的值都是负数。小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由。 例5 如图，分别是的边上的点。(1)给出下列三个事项：①；②；③。请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明（写出其中一种即可）。(2)在(1)的条件下，若，求的度数。 ▸思路点拨 (1)任选两个为条件，另一个为结论，根据平行线的性质与判定条件证明即可；(2)根据(1)的结论结合平角的定义和已知条件可得，则，再根据两直线平行，同旁内角互补求出答案。 ▸过程详解 解：(1)若①②为条件，③为结论，证明如下：因为，所以。因为，所以。所以。若①③为条件，②为结论，证明如下：因为，，所以，。所以。若②③为条件，①为结论，证明如下：因为，所以。因为，所以，所以。(2)因为，，，所以，所以。因为，所以。 ▸总结升华 这是一个开放性的问题，先写出命题，判断命题的真假，再选择一个真命题进行证明。 变式训练 5. 如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部。给出下列信息：①；②平分；③。请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由。 例6 【模型观念】如图，在中，分别是的平分线，分别是的平分线。(1)当，时，______，______。(2)当时，______，______。(3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由。 ▸思路点拨 (1)利用三角形的内、外角平分线和三角形内角和来求解和的度数；(2)由(1)的解题过程发现，，代入的度数即可；(3)把，相加即可求解。 ▸过程详解 解：(1)在中，，因为，，所以，因为分别是和的角平分线，所以，，所以，在中，；因为分别是与的外角平分线，所以，，所以，所以。故答案为。(2)由(1)得，。故答案为。(3)的值不变。理由如下：由(1)知，，所以。 ▸总结升华 本题是内外角平分线夹角问题，主要考查与角平分线有关的计算及三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键。经典模型如下：模型一——三角形的两个内角的角平分线相交，如图1，；模型二——三角形的一个内角与一个外角的角平分线相交，如图2，；模型三——三角形的两个外角的角平分线相交，如图3，。 变式训练 6. 已知，。(1)如图1，若，的平分线与的平分线交于点，求的大小，说明你的理由。(2)如图2，若的平分线与的外角平分线互相平行，求与的关系。 链接好题 1. 对于命题“若，则。”能说明它属于假命题的反例是（　） A． B． C． D． 参考答案 变式训练 1 (2)、(4)不是命题。(1)是命题，改写：如果一个角是锐角，那么这个角的补角大于这个角的余角。(3)是命题，改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 变式训练 2 B 【解析】若，则，，此时①不成立，故①错误。若，即或，则或，故②正确。若，则就不是负数，故③错误。对顶角相等，不相等的角一定不是对顶角，故④正确。故选B。 变式训练 3 (答案不唯一) 变式训练 4 小明的猜想不正确，理由如下：当时，的值是；当时，的值都是正数。 变式训练 5 选择①③作为条件，②作为结论。理由如下：因为，所以，，因为，所以，所以平分；选择①②作为条件，③作为结论。理由如下：因为，所以，，因为平分，所以，所以；选择②③作为条件，①作为结论。理由如下：因为平分，所以，因为，，所以，所以。 变式训练 6 (1)如图1，在和中，，，所以，又因为平分，平分，所以，在和中，，，所以。(2)如图2，作的平分线，交于点，因为平分，所以，因为，所以，在和中，，即，① 在和中，，即，② 因为平分，平分，所以，，所以①②得，化简得。 链接好题 1 A 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $