16.3.2 第1课时 完全平方公式 教学设计 2026-2027学年数学人教版八年级上册

16.3.2 第1课时 完全平方公式 教学设计 课题 16.3.2　完全平方公式（第1课时：完全平方公式） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 利用多项式相乘的法则推导完全平方公式，掌握公式的结构特征；会运用完全平方公式，并能灵活运用公式进行计算；通过几何背景体会数形结合思想。 教学重点 完全平方公式的结构特征。 教学难点 完全平方公式的运用。 教学方法 情境导入、探究归纳、讲练结合 教学准备 多媒体课件 课后练习 完成教材 P117 习题 16.3 第 2 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、新课导入 一、新课导入 情境导入：一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个孩子，老人就给每个孩子三块糖…… 问题： (1) 第一天有 a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (2) 第二天有 b 个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (3) 第三天这 (a＋b) 个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (4) 这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ 答案：(1) 块；(2) 块；(3) 块；(4) 第三天多，多 块。 追问：我们上一节学了平方差公式，即 ，现在遇到了两个数的和的平方，该怎样处理呢？ 师生活动：学生回答问题 (1)(2)(3)，小组讨论问题 (4)；教师借助“发糖果”情境引导学生列出 与 ，产生认知冲突，引出本课课题。 在具体情境中列出 、、，感受“和的平方”与“平方和”的差异，产生探究公式的需求。 以生活情境激发兴趣，制造“第三天为什么更多”的认知冲突，为完全平方公式的探究提供问题载体。 二、探究新知 二、探究新知 自主探究：计算下列各式，你能发现什么规律？ (1) ＝(x＋1)(x＋1)＝　　　　　　　　；(2) ＝　　　　　　　　； (3) ＝(x−1)(x−1)＝　　　　　　　　；(4) ＝　　　　　　　　； (5) ＝　　　　　　　　；(6) ＝　　　　　　　　。 答案：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 。 几何解释：观察图①和图②，你能根据图形中的面积证明完全平方公式吗？ 图①中边长为 (a＋b) 的正方形被分成四块，面积 ；图②中边长为 a 的正方形减去两条 ab，再加上重复减去的 ，得 。 思考填空：＝　　　　　　　　，＝　　　　　　　　，则 ； ＝　　　　　　　　，＝　　　　　　　　，则 。 答案：；；；。互为相反数的两个数的平方相等。 知识归纳： 1. 完全平方公式：，。即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。 2. 互为相反数的两个数的平方相等。 师生活动：学生计算六个式子并观察结果的规律；教师用几何图引导学生用面积验证公式；学生完成思考填空，发现互为相反数的两数平方相等，师生共同归纳公式。 经历“计算—观察—归纳—几何验证”的过程，掌握完全平方公式的推导、文字语言与结构特征；知道互为相反数的两数平方相等。 代数推导与面积验证双轨并行，渗透数形结合；口诀式记忆帮助学生准确把握“平方和与积的 2 倍”的结构。 三、例题精析 三、例题精析 例1　运用完全平方公式计算：(1) ；(2) ；(3) 。 解：(1) 原式＝；(2) 原式＝；(3) 原式＝。 口诀记忆：首平方，尾平方，2 倍之积在中央；把 2a、4m、 看作公式中的 a、b。 例2　运用完全平方公式计算：(1) ；(2) 。 解：(1) 原式＝＝10 000＋400＋4＝10 404； (2) 原式＝＝10 000−200＋1＝9 801。 例3　利用完全平方公式计算：。 解：原式＝＝＝1。 例4　化简求值：，其中 ，y＝1。 解：原式＝。当 ，y＝1 时，原式＝＝0。 例5　已知 a＋b＝3，ab＝1，求 的值。 解：＝9−4×1＝5。 师生活动：学生板演例1 并口述公式中 a、b 的确定方法；例2、例3 体会拆数与逆用配凑；例4 师生共同完成化简；例5 引导学生发现 与 的联系（相差 4ab），渗透整体思想。 能准确套用公式（含系数、分数系数）；会将数字计算拆成和（差）的平方简算；会逆用配凑与整体代入求值。 例题由“直接套用—数字简算—逆用配凑—化简求值—整体代入”递进，突出公式的灵活运用与整体思想。 四、当堂练习 四、当堂练习 1. 完成教材 P115～116 练习第 1、2、3 题。 2. 计算 (2x−1)(1−2x) 的结果是 A. 　　B. 　　C. 　　D. 答案：C。（1−2x＝−(2x−1)，原式＝，展开得 ；A、B 是平方差公式的结果，D 漏了符号。） 3. 填空：(1) ＝　　　　　　＋12xy＋　　　　　　；(2) ＋　　　　　　。 答案：(1) 3y；；；(2) 25；5。 4. 下列各式计算结果是 的是 A. 　　B. 　　C. 　　D. 答案：C。（展开对照：中间项 −mn＝−2××1，首尾为 与 1；A 得 ，B 中间项为 ＋mn，D 首项为 。） 5. 先化简，再求值：，其中 a＝−1，b＝。 解：原式＝＝。当 a＝−1，b＝ 时，原式＝1−12＝−11。 6. 已知 ，，求 和 xy 的值。 解：由题意，得 ，∴ ； ，∴ xy＝3。 7. 如图①，把一个长为 2m、宽为 2n（m＞n）的长方形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小长方形，最后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 A. 2m　　B. 　　C. 　　D. 答案：C。（大正方形边长为 m＋n，四块小长方形的面积和为 4mn，中间空的部分面积＝。） 师生活动：限时独立完成，小组核对；教师讲评第 2 题先统一符号再套公式、第 3 题对照中间项定系数、第 5 题先化简再代入、第 6 题两式相加减的整体技巧、第 7 题用面积差构造公式。 能对照中间项确定待定系数；能识别公式展开的正误；会用整体思想求值；能用面积差解释完全平方公式。 练习覆盖“辨析—待定系数—化简求值—整体求值—几何解释”五个层次，全面检验公式的掌握与运用。 五、课堂小结 布置作业 五、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识结构。 师问：1. 完全平方公式的内容是什么？如何用口诀记忆它的结构特征？ 2. 运用完全平方公式计算时，需要注意什么？ 3. 与 之间有什么联系？ 布置作业：完成教材 P117 习题 16.3 第 2 题；对应课时练习。 回顾“公式推导—结构特征—灵活运用”的知识主线；课后独立完成习题。 梳理本课知识框架，强化“中间项 2 倍之积”的意识；作业巩固公式的运用。 板书设计 16.3.2　完全平方公式（第1课时） 一、文字语言：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍 二、符号语言： 三、口诀：首平方，尾平方，2 倍之积在中央； 四、注意：中间项 2ab 不能漏，即 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $