第10讲 实验二：探究弹簧弹力与伸长量的关系 专项训练-2027届高考物理一轮复习

第10讲 实验二：探究弹簧弹力与伸长量的关系 【备考指南】 利用弹簧弹力和伸长量的关系进一步加深对胡克定律的理解，培养科学探究的科学素养；掌握弹簧弹力与伸长量关系实验的基本要求、数据处理、注意事项和误差分析的方法，培养探索创新能力，优化改进实验。 【知识梳理】 一、实验原理 根据胡克定律可知，弹簧受到拉力作用会伸长，平衡时弹簧产生的弹力和拉力大小相等；在弹性限度内弹簧的伸长量越大，弹力也就越大。利用平衡条件 二、实验需要测量的物理量 利用平衡条件可知，弹簧弹力可用所挂钩码重力代替，结合胡克定律可知，还需要测量弹簧的伸长量。为了减小偶然误差应多测几次取平均值。 三、实验装置 四、数据处理 1．列表法 由表格中的F、x数据，可以发现弹力F与弹簧伸长量x的比值在误差允许范围内是相等的。 2．图像法 以弹簧伸长量x为横坐标、弹力F为纵坐标建立坐标系，描出F、x各组数据相应的点，作出的拟合曲线是一条过坐标原点的直线。 五、注意事项 1．安装实验装置时，要保持刻度尺竖直并靠近弹簧。 2．实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免超过弹簧的弹性限度。 3．要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据。 4．描点画线时，不要画折线。所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意不在直线上的点要均匀分布在直线的两侧。 5．记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位。 六、误差分析 1．钩码标值不准确、弹簧长度测量不准确带来误差。 2．画图时描点及连线不准确也会带来误差。 【解题方法技巧】 1.测量弹簧伸长量时刻度尺的读数需要估读，注意有效数字的位数； 2.用图像法处理数据时一定要注意区分横坐标是弹簧长度还是弹簧伸长量，且注意横、纵坐标的单位，不能盲目的计算。 【真题再现】 1．（2025·全国卷·高考真题）某探究小组利用橡皮筋完成下面实验。 (1)将粘贴有坐标纸的木板竖直放置。橡皮筋的一端用图钉固定在木板上，另一端悬挂钩码。钩码质量分别为200g、250g、⋯、500g，平衡时橡皮筋底端在坐标纸上对应的位置如图（a）中圆点所示（钩码的质量在图中用数字标出）。悬挂的钩码质量分别为200g和300g时，橡皮筋底端位置间的距离为___________cm。 (2)根据图（a）中各点的位置可知，在所测范围内橡皮筋长度的增加量与所挂钩码的__________（选填“质量”或“质量的增加量”）成正比，由此可求出橡皮筋的劲度系数为___________（保留2位有效数字，重力加速度取）。 (3)悬挂的钩码质量为时，在橡皮筋底端施以水平向右的力，平衡时橡皮筋方向如图（b）中虚线所示，图（b）中测力计的示数给出了力的大小，则___________，___________g（选填“200”“300”或“400”）。 【答案】(1)1.90 (2) 质量的增加量 52 (3) 1.00 300 【详解】（1）根据图（a）可知悬挂的钩码质量分别为200g和300g时，橡皮筋底端位置间的距离为1.90cm； （2）[1]根据图像可知钩码每增加相同的质量橡皮筋增加相同的长度，故在所测范围内橡皮筋长度的增加量与所挂钩码的质量的增加量成正比。 [2]设橡皮筋原长为L0，劲度系数为k，根据胡克定律；其中，x为橡皮筋长度的增加量。 设悬挂质量为m1、m2的钩码时，橡皮筋长度的增加量分别为x1、x2，则， 两式相减得 取，， 根据，可得 （3）[1][2]根据图（b）可知F=1.00N；设橡皮筋与竖直方向夹角为θ，对橡皮筋下端点进行受力分析有；从图中可知，结合F=1.0N 可得，所以取m=300g。 2．（2025·重庆·高考真题）弹簧是熄火保护装置中的一个元件，其劲度系数会影响装置的性能。小组设计了如图1所示的实验装置测量弹簧的劲度系数，其中压力传感器水平放置，弹簧竖直放在传感器上，螺旋测微器竖直安装，测微螺杆正对弹簧。 (1)某次测量时，螺旋测微器的示数如图2所示，此时读数为______mm。 (2)对测得的数据进行处理后得到弹簧弹力F与弹簧长度l的关系如图3所示，由图可得弹簧的劲度系数为_______N/m，弹簧原长为_______mm（均保留3位有效数字）。 【答案】(1)7.412/7.411/7.413 (2) 184 17.6 【详解】（1）根据螺旋测微器的读数法则有7mm＋41.2 × 0.01mm = 7.412mm （2）[2]当弹力为零时弹簧处于原长为17.6mm [1]将题图反向延长与纵坐标的交点为2.50N，则根据胡克定律可知弹簧的劲度系数为 3．（2025·四川·高考真题）某学习小组利用生活中常见物品开展“探究弹簧弹力与形变量的关系”实验。已知水的密度为1.0×103kg/m3，当地重力加速度为9.8m/s2。实验过程如下： （1）将两根细绳分别系在弹簧两端，将其平放在较光滑的水平桌面上，让其中一个系绳点与刻度尺零刻度线对齐，另一个系绳点对应的刻度如图1所示，可得弹簧原长为________cm。 （2）将弹簧一端细绳系到墙上挂钩，另一端细绳跨过固定在桌面边缘的光滑金属杆后，系一个空的小桶。使弹簧和桌面上方的细绳均与桌面平行，如图2所示。 （3）用带有刻度的杯子量取50mL水，缓慢加到小桶里，待弹簧稳定后，测量两系绳点之间的弹簧长度并记录数据。按此步骤操作6次。 （4）以小桶中水的体积V为横坐标，弹簧伸长量x为纵坐标，根据实验数据拟合成如图3所示直线，其斜率为200m−2。由此可得该弹簧的劲度系数为________N/m（结果保留2位有效数字）。 （5）图3中直线的截距为0.0056m，可得所用小桶质量为________kg（结果保留2位有效数字）。 【答案】 13.14/13.15 49 0.028 【详解】（1）[1]该刻度尺的分度值为0.1cm，应估读到分度值的后一位，故弹簧原长为13.14cm （4）[2]由胡克定律可知 化简可得 由图像可知 代入数据解得该弹簧的劲度系数为 （5）[3]由图可知 代入数据可得所用小桶质量为 4．（2022·湖南·高考真题）小圆同学用橡皮筋、同种一元硬币、刻度尺、塑料袋、支架等，设计了如图（a）所示的实验装置，测量冰墩墩玩具的质量。主要实验步骤如下： （1）查找资料，得知每枚硬币的质量为； （2）将硬币以5枚为一组逐次加入塑料袋，测量每次稳定后橡皮筋的长度，记录数据如下表： 序号 1 2 3 4 5 硬币数量/枚 5 10 15 20 25 长度 10.51 12.02 13.54 15.05 16.56 （3）根据表中数据在图（b）上描点，绘制图线；______ （4）取出全部硬币，把冰墩墩玩具放入塑料袋中，稳定后橡皮筋长度的示数如图（c）所示，此时橡皮筋的长度为______； （5）由上述数据计算得冰墩墩玩具的质量为______（计算结果保留3位有效数字）。 【答案】 15.35 127 【详解】（3）[1]根据表格中的标点，绘制出的图线，如图所示 （4）[2]由图可知刻度尺的分度值为1mm，故读数； （5）[3]设橡皮筋的劲度系数为k，原长为x0，则 则橡皮筋的劲度系数为k 从作的l-n图线读取数据则可得 ， 设冰墩墩的质量为m1，则有 可得 5．（2021·广东·高考真题）某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数，缓冲装置如图所示，固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端。实验过程如下：先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200g的钢球（直径略小于玻璃管内径）逐个从管口滑进，每滑进一个钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数n和弹簧上端对应的刻度尺示数，数据如表所示。实验过程中弹簧始终处于弹性限度内。采用逐差法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数。 n 1 2 3 4 5 6 8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09 （1）利用计算弹簧的压缩量：，，______cm，压缩量的平均值______cm； （2）上述是管中增加______个钢球时产生的弹簧平均压缩量； （3）忽略摩擦，重力加速度g取，该弹簧的劲度系数为______N/m。（结果保留3位有效数字） 【答案】 6.04 6.05 3 48.6 【详解】（1）[1]根据压缩量的变化量为 [2]压缩量的平均值为 （2）[3]因三个是相差3个钢球的压缩量之差，则所求平均值为管中增加3个钢球时产生的弹簧平均压缩量； （3）[4]根据钢球的平衡条件有 解得 【精准训练】 【教材原型实验】 1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）某实验小组利用如图所示的实验装置来探究弹簧在弹性形变内的弹力与形变量的关系。 (1)甲同学将弹簧竖直悬挂后，弹簧上端与刻度尺的零刻度对齐，下端所在位置的示数如图中所示，则此时该弹簧的长度为________cm。 (2)下列关于该实验的操作中正确的是________。 A．安装刻度尺时，必须使刻度尺保持竖直状态 B．悬挂钩码时，钩码的数量不可过多 C．悬挂钩码后应立即读数 D．每次增加的钩码个数必须相同 (3)乙同学将弹簧放在水平桌面上来测量弹簧的原长，然后将弹簧按如图所示的装置悬挂后进行测量，根据测出弹簧的伸长量和对应的弹簧弹力作出图像，由于弹簧重力的影响，该同学作出的图像应为________。 A． B． C． D． 【答案】(1)/13.49/13.51；(2)AB；(3)A 【详解】（1）该刻度尺分度值为1mm，读数需估读到分度值下一位，因此弹簧原长读数为。 （2）A．弹簧竖直悬挂，刻度尺必须保持竖直才能准确测量弹簧长度，减小误差，故A正确； B．钩码过多会使弹簧超过弹性限度，因此钩码数量不可过多，故B正确； C．悬挂钩码后需要等待弹簧稳定再读数，不能立即读数，故C错误； D．实验只需要得到多组数据，不需要每次增加的钩码个数一定相同，故D错误。 故选AB。 （3）该同学在水平桌面上测量原长，竖直悬挂后，不挂钩码时，即挂钩弹力，弹簧自身重力也会使弹簧伸长，因此时，伸长量；且根据胡克定律，弹力和伸长量始终满足线性关系，图像为倾斜直线，符合的就是截距在正半轴的直线。 故选A。 2．（2026·重庆·一模）同学利用如图（a）装置做“探究弹簧弹力大小与其长度的关系”的实验 (1)在安装刻度尺时，_________（填“需要”或“不需要”）使刻度尺保持竖直。 (2)图（c）是同学某次测量的弹簧长度，该长度是_________cm。 (3)同学通过实验得到如图（b）所示的弹力大小F与弹簧长度L的关系图线，由此图线可得该弹簧的劲度系数_________。（计算结果保留两位有效数字） (4)图（d）是另一名同学根据另一次实验数据描绘的弹簧的伸长量与弹力大小F的关系图线，图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是_________。 【答案】(1)需要；(2)16.00；(3)50；(4)增加钩码数量太多，拉力超出了弹簧的弹性限度 【详解】（1）弹簧是竖直的，刻度尺必须与弹簧平行，故刻度尺要保持竖直状态； （2）刻度尺分度值为1mm，读数为16.00cm （3）根据图像斜率可知劲度系数为 （4）图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是增加钩码数量太多，拉力超出了弹簧的弹性限度。 3．（26-27高三上·河南·阶段检测）某同学用图甲所示的装置测量某弹簧的劲度系数，弹簧悬点与标尺零刻度线对齐，他先读出不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，然后在弹簧下端挂钩码，并逐渐增加钩码个数，读出每次对应的指针所指的标尺刻度，弹簧始终未超过弹性限度。 (1)当弹簧下端挂上一个钩码时，指针指在图乙所示位置，此时弹簧的长度为________cm。 (2)关于本实验，下列说法正确的是________。 A．为了使实验效果明显，每个钩码重力越大越好 B．实验应多测几组数据，且每次增加的钩码数量必须相等 C．应保证刻度尺位于竖直方向 D．在弹簧的下端挂上钩码后，应立即读数 (3)取重力加速度大小为，请根据表格中的数据在图丙所示坐标纸上作出弹簧弹力与长度的关系图像________，根据图像可以得到弹簧的劲度系数为________N/m（结果保留两位有效数字）。 钩码总质量 50 100 150 200 250 弹簧长度 11.01 12.02 13.04 14.03 15.02 【答案】(1)15.00/15.01/14.99；(2)C(3) 50/49/51 【详解】（1）标尺的分度值为0.1cm，刻度尺需要估读一位，故读数为15.00cm。 （2）A．每个钩码重力适中即可，钩码太重可能会超出弹性限度，并非越重越好，故A错误； B．为减小实验误差，应多测几组数据，但每次增加的钩码数量不需要相等，故B错误； C．为准确测量出弹簧的长度，实验时应保证刻度尺位于竖直方向，故C正确； D．在弹簧的下端挂上钩码后，应等稳定后再读数，故D错误。 故选C。 （3）[1]根据计算出对应弹力，结合表格的弹簧长度描点，连线得到直线如图所示。 [2]根据胡克定律可得，图像的斜率等于劲度系数，由数据/图像可得，弹力每增加0.5N，弹簧长度增加约，因此 4．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）某同学从废旧的弹簧测力计上拆下弹簧，用它来做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”实验。 （1）在家中贴有瓷砖的墙面，用铅垂线测量，发现瓷砖之间的竖缝是竖直的，将刻度尺平行于竖缝固定在墙面上，将弹簧挂在墙面的挂钩上，并使刻度尺的零刻度与弹簧上端平齐，如图甲所示； （2）在弹簧下端依次悬挂n个槽码（n=1，2，3…），当槽码静止时，测出弹簧拉力Fn与指针所指的刻度尺示数Ln，在F-L坐标系中描点，如图乙所示： ①初始时弹簧下端未挂槽码，竖直弹簧的自然长度为_________cm（结果保留2位有效数字）； ②实验中，若在测得图乙中P点的数据（27.0 cm，10.78N）后，取下弹簧下端悬挂的所有槽码，则弹簧静止时_________（选填“能”或“不能”）恢复到自然长度L0； ③在弹簧弹力从0增大至17.64N的过程中，弹簧劲度系数变化情况是_________。 （3）本次实验的部分数据如下： 槽码个数n 1 2 3 4 Fn（N） 0.98 1.96 2.94 3.92 Ln（cm） 2.5 3.7 4.9 6.1 计算弹簧的劲度系数k=_________N/m（结果保留2位有效数字）。 【答案】 1.3 不能 先不变，再变小，后变大 82 【详解】（2）①[1]初始时弹簧下端未挂槽码，此时弹簧拉力F为0，由图像可知竖直弹簧的自然长度为1.3cm。 ②[2]由图像分析可知，弹簧在挂8个槽码内弹力与弹簧形变量成正比，之后的点不在同一直线上，说明弹簧被拉伸到超出了弹簧弹性限度范围， 取下所有槽码后，弹簧静止时不能恢复到自然长度。 ③[3]胡克定律中 图像的斜率等于劲度系数 。因此弹簧弹力从0增大至17.64N的过程中，弹簧劲度系数变化情况是先不变，再变小，后变大。 （3）[4]根据胡克定律，弹簧的劲度系数得 5．（25-26高三上·山东威海·期末）某同学利用如图甲所示的装置测量弹簧A的劲度系数。为了增大弹簧的伸长量从而减小长度测量带来的误差，该同学将弹簧A的上端与力传感器相连（图中未画出）后挂在铁架台的横梁上，下端与已知劲度系数的弹簧B连接，B的下端固定一指针，并在弹簧的旁边竖直固定毫米刻度尺。在B的下端挂不同质量的钩码，分别记录力传感器的示数F及对应的指针刻度x，在坐标纸上做出F与x关系的F—x图像如图乙所示。回答以下问题： (1)把弹簧A、B作为一个弹簧整体，该弹簧整体的劲度系数k=______N/m；（结果保留3位有效数字） (2)已知B的劲度系数kB=80N/m，A的劲度系数kA=______N/m；（，结果保留3位有效数字） (3)下列哪些选项会导致测量结果偏大？______ A．弹簧B的劲度系数真实值大于80N/m B．计算钩码重力时，重力加速度取值偏大 C．毫米刻度尺没有完全竖直，稍微倾斜 D．弹簧自身重力的影响 【答案】(1)50.0；(2)133；(3)AC 【详解】（1）根据胡克定律，可得 （2）根据，由题意知 可得 （3）A．若弹簧 B 的劲度系数真实值大于 80N/m，说明我们使用的偏小。根据，计算出的会偏大。会导致测量结果偏大，A正确； B．重力加速度取值偏大，会使计算出的钩码重力偏大，导致图像的斜率（即 k）偏大，根据可知，计算出的会偏小，B错误； C．刻度尺倾斜，会使测量的长度 x 偏大，导致 Δx 偏大，图像的斜率（即 k）偏小，根据可知，计算出的会偏大，C正确； D．弹簧自身重力的影响会使 图像发生平移，但不会改变其斜率，不会导致测量结果偏大，D错误。 故选AC。 【实验拓展与创新】 6．（26-27高三上·内蒙古包头·阶段检测）有一款“一抽到底”的纸巾盒，其内部结构如图甲所示，由两块挡板和弹簧组成，弹簧连接两块挡板。纸巾盒底部的这种结构，可将整包纸巾顶起，以保持最上面的纸巾能够在纸巾盒取用口。科技实践小组的同学为了研究纸巾盒中弹簧的特征，做了以下实验： 科技实践小组设计如图乙所示，测量出数据记录于如下表格。 实验次数 1 2 3 4 5 砝码质量m/g 10 20 30 40 50 弹簧长度l/cm 4.51 4.03 3.48 3.27 2.46 弹簧形变量Δl/cm 0.99 1.47 2.02 2.23 3.04 (1)依据测量数据画出的m-Δl图像如图丙所示，观察图像可发现，其中第____次数据误差较大，应该剔除。 (2)根据图像可得劲度系数k=____N/m（结果保留两位有效数字，g取10 N/kg）。 (3)在使用过程中，纸巾盒里的纸巾越来越少，弹簧的形变量___（选填“不变”“逐渐变大”或“逐渐变小”）。 【答案】(1)4；(2)20；(3)逐渐变小 【详解】（1）由图可知，第4次的描点不在线上，出现明显偏差，故第4次数据误差较大，应该剔除。 （2）设托盘质量为，根据胡克定律，可得。根据图丙图像斜率可得，解得。 （3）在使用过程中，盒子里的纸巾越来越少，纸巾的重力减小，弹簧受到的压力减小，弹簧的形变量减小。 7．（2025·河北·模拟预测）某同学在使用如图所示的拉力器锻炼身体的过程中发现，拉力器中安装的弹簧根数越多，拉伸拉力器越困难，因此他想探究拉力器的劲度系数与弹簧根数的关系，于是他设计了如下实验来进行探究： 分别在拉力器中并排安装1根、2根、3根、4根、5根相同的弹簧，然后将拉力器竖直悬挂，上端手柄固定，下端手柄分别吊起质量相同的重物，测量每一个拉力器静止时的伸长量，再比较它们伸长量之间的关系，已知拉力器的手柄质量很小。 (1)若某次实验中，所吊起的重物质量为m时，拉力器相对于其竖直悬挂没有吊起重物时的伸长量为x，则该拉力器的劲度系数k的表达式为k=___________（当地的重力加速度为g）。 (2)接下来，该同学选择不同质量的重物，又重复做了两组实验。通过记录的实验数据，该同学发现同一组实验中，五个拉力器的伸长量之比均大约为。据此推断，拉力器的劲度系数k与弹簧的根数n之间的关系为 。 A． B． C． D． (3)下列做法中，有利于减小实验误差的是 。 A．选择质量适当大一些的重物 B．选择质量适当小一些的重物 C．安装弹簧时注意左右对称，并将重物悬挂于下端手柄的中点 D．测量拉力器的伸长量时，使毫米刻度尺平行贴近拉力器，并且在保证视线垂直正对刻度尺的情况下读数 【答案】(1)；(2)A；(3)ACD 【详解】（1）吊起的重物质量为m时，拉力器相对于其竖直悬挂没有吊起重物时，拉力器的弹力增加了 胡克定律 解得拉力器的劲度系数 （2）同一组实验中，重物质量相同，拉力器的弹力增加量相同。 根据胡克定律 ，弹力增加量相同 时，劲度系数 k 与伸长量 x 成反比，即 题目给出弹簧根数为时，伸长量之比为，即伸长量与弹簧根数成反比， 联立得出拉力器的劲度系数与弹簧根数成正比，即 故选A。 （3）AB．在弹性限度内，重物质量越大，弹簧伸长量越大，长度测量的相对误差越小（绝对误差相近时，测量值越大，相对误差越小），可减小实验误差。故A正确，B错误； C．弹簧左右对称，重物悬挂于中点，保证每根弹簧受力均匀、伸长量一致，避免因受力不对称导致的伸长量偏差，减小系统误差。故C正确。 D．刻度尺平行贴近拉力器，并且在保证视线垂直正对刻度尺的情况下读数，这是长度测量的规范操作，可减小读数误差。故D正确。 故选ACD。 8．（2026·福建漳州·三模）某实验小组探究橡皮筋的弹力与形变量的关系，实验装置如图甲所示。实验步骤如下： ①刻度尺水平固定在木板上，橡皮筋一端固定在刻度尺前端，另一端与细绳打结（标记结点），细绳另一端挂在弹簧测力计挂钩上。沿刻度尺方向拉直，当测力计示数为0时，记录结点在刻度尺上的位置读数； ②水平缓慢拉动测力计，使结点沿刻度尺移动，记录结点位置和对应的测力计示数，并计算橡皮筋的伸长量； ③当测力计示数达到某一值后，逐渐减小拉力，直到橡皮筋回缩至原长，记录数据。根据实验数据作出图像如图乙所示。 回答下列问题： (1)关于该实验，下列说法正确的是________（填正确答案标号）； A．测量时细绳不必与木板平行 B．选用粗细均匀、无老化的橡皮筋 C．结点位置读数即为橡皮筋伸长量 (2)由图像可知：在范围内，拉伸图线接近线性。若定义劲度系数为单位伸长量对应的弹力增量，则该范围内拉伸过程的劲度系数________（结果保留1位小数）； 【答案】(1)B；(2)13.3 【详解】（1）A．测量时细绳必须要与木板平行，以减小实验误差，A错误； B．选用粗细均匀、无老化的橡皮筋，B正确； C．结点位置读数与测力计示数为0时结点的位置读数之差为橡皮筋伸长量，C错误。 故选B。 （2）由图像可知，该范围内拉伸过程的劲度系数 9．（25-26高三上·河南平顶山·期末）某同学用图甲所示装置“探究橡皮筋的弹力和伸长量的关系”。将不可伸长的细线下端拴在橡皮筋的上端，细线上端固定在铁架台的横梁上，橡皮筋下端固定一片水平的轻质小纸片，橡皮筋自然下垂处于伸直状态，在小纸片正下方的桌面上放置一个距离传感器，可以测出水平小纸片与传感器上表面的距离h。实验步骤如下：（每个钩码的质量，重力加速度g取。） A．在橡皮筋下端挂上一个钩码，系统静止后，记录钩码的个数及传感器的示数； B．逐次增加钩码个数，并重复步骤A（保持橡皮筋在弹性限度内）； C．用n表示钩码的个数，h表示传感器上表面与水平纸片的距离，将获得的数据记录在表格内。根据表格的实验数据在图乙中描点并作出图像。 (1)如图乙所示，图像斜率的绝对值为______cm/个，橡皮筋的劲度系数测量值______N/m。（结果均保留到小数点后一位） (2)为防止橡皮筋从上端细线中脱落，橡皮筋在细线拴结点上方留有一小段长度（如图丙），这会导致实验对整条橡皮筋劲度系数的测量值______（填“偏大”“偏小”“不变”）。 【答案】(1) 2.5 19.6；(2)偏大 【详解】（1）[1]根据图乙可求得图像斜率的绝对值为 解得 [2]设橡皮筋的原长为，传感器到铁架台横梁悬点的距离为，挂个钩码时橡皮筋的伸长量为，根据几何关系有 由图乙可知没有挂钩码时纸片到传感器的距离为，此时有 联立推导得 根据胡克定律和受力平衡有 联立解得 结合图像可知斜率的绝对值为 将和其他已知数据代入解得 （2）橡皮筋在细线拴结点上方留有一小段长度，导致实际受到拉力而参与伸长的橡皮筋长度小于整条橡皮筋的原长。由于橡皮筋的劲度系数与其原长成反比，参与伸长的部分原长较短，其对应的劲度系数大于整条橡皮筋的真实劲度系数。实验测得的实际上是下方参与伸长部分的劲度系数，因此会导致实验对整条橡皮筋劲度系数的测量值偏大。 10．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）某同学设计利用钢尺弯曲形变来测量物体质量的实验装置。如图甲，他将一把钢尺一端水平固定，另一端开有小孔可悬挂重物。实验时，通过测量钢尺自由端的竖直位移来推算所挂重物的质量。 (1)主要实验步骤如下： ①未挂重物时，记录钢尺自由端的初始位置作为零点； ②钢尺自由端悬挂一个质量为20.0g的钩码，测量并记录自由端的竖直位移； ③依次增加钩码个数，重复步骤②，记录多组数据如下表所示； 钩码质量m(g) 0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 自由端位移h(mm) 0 2.0 4.1 6.1 8.2 10.3 13.5 ④根据表中前6组数据，在图乙中描点并绘制曲线________。 (2)根据绘制的图线可知在m≤100.0g范围内，h与m之间满足________（选填“正比”或者“反比”）关系； (3)悬挂待测物体，测得自由端的竖直位移hx=7.6mm，利用图像求出待测物体的质量mx=________g（保留三位有效数字）； (4)当m>100.0g后，通过进一步描点，发现图线发生弯曲，可能原因是________。 【答案】(1)；(2)正比；(3)73.5/73.6/73.7/73.8/73.9/74.0 (4)可能超出钢尺弹性限度 【详解】（1）根据表中前6组数据，绘制曲线如下 （2）由第（1）问图可知，在范围内，绘制的图线是一条过原点的直线，说明h与m之间满足正比关系。 （3）由第（1）问图可知，当自由端的竖直位移hx=7.6mm时，待测物体的质量。 （4）当后，钢尺的形变超出了弹性限度，不再满足胡克定律（正比关系），导致位移 h 的增长速度变快，图线发生弯曲。 11．（2026·安徽滁州·三模）某实验小组利用一个新弹簧开展弹簧劲度系数测量的探究实验。当地重力加速度大小近似为。 (1)如图1所示，将弹簧竖直悬挂起来，逐个增挂质量均为200克的钩码，并用毫米刻度尺读取弹簧的伸长量，记录数据如表1所示。 表1 钩码个数 0 1 2 3 4 弹簧伸长量（） 0 6.1 15.0 23.9 32.7 分析发现，挂载第________个钩码时，弹簧伸长量的增加量与挂载其他钩码时有较大的差别。实验小组决定舍去这组数据，利用其余数据求解出弹簧的劲度系数为________N/m（结果保留2位有效数字）。 (2)实验小组改用传感器进一步探究拉力很小时弹簧形变的特点。用智能手机和力传感器测拉力，用毫米刻度尺测弹簧伸长量，如图2所示，操作得到的数据如表2所示。 表2 伸长量 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 拉力 0 0.43 0.60 0.67 0.71 0.75 0.78 0.80 0.82 0.84 0.86 在如图3所示的坐标系中已经描出了数据点，请用平滑曲线作出的关系图线______。 (3)关于图3中图线的特征，下列说法正确的是________（填选项序号）。 A．随着伸长量均匀增加，拉力的增加量减小，最后为零 B．随着伸长量均匀增加，拉力的增加量减小，最后不变 C．随着伸长量均匀增加，拉力的增加量增加，最后不变 (4)从图3中图线可以看出，图像不是经过原点的直线。实验小组通过寻找文献资料，发现原因可能是弹簧在自由状态下各圈之间相互压紧所产生的内部预紧力。对于图3中直线部分，胡克定律可写成的形式，根据图像，可以得到________（结果保留2位小数）。 【答案】(1) 1 22；(2)；(3)B；(4)0.66 【详解】（1）[1][2]根据表1中数据可知，挂载第1个钩码时，弹簧伸长量的增加量与挂载其他钩码时有较大的差别，利用其余数据求解出弹簧的劲度系数。 （2）的关系图线如图所示 （3）由图3中图线可知，随着伸长量均匀增加，拉力的增加量减小，最后不变，故选B。 （4）由表2中数据可知，伸长量x在0.6~1.0cm范围内，F随x成线性变化，即图3中直线部分，胡克定律可写成的形式，其中斜率 当时， 解得 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 实验二：探究弹簧弹力与伸长量的关系 【备考指南】 利用弹簧弹力和伸长量的关系进一步加深对胡克定律的理解，培养科学探究的科学素养；掌握弹簧弹力与伸长量关系实验的基本要求、数据处理、注意事项和误差分析的方法，培养探索创新能力，优化改进实验。 【知识梳理】 一、实验原理 根据胡克定律可知，弹簧受到拉力作用会伸长，平衡时弹簧产生的弹力和拉力大小相等；在弹性限度内弹簧的伸长量越大，弹力也就越大。利用平衡条件 二、实验需要测量的物理量 利用平衡条件可知，弹簧弹力可用所挂钩码重力代替，结合胡克定律可知，还需要测量弹簧的伸长量。为了减小偶然误差应多测几次取平均值。 三、实验装置 四、数据处理 1．列表法 由表格中的F、x数据，可以发现弹力F与弹簧伸长量x的比值在误差允许范围内是相等的。 2．图像法 以弹簧伸长量x为横坐标、弹力F为纵坐标建立坐标系，描出F、x各组数据相应的点，作出的拟合曲线是一条过坐标原点的直线。 五、注意事项 1．安装实验装置时，要保持刻度尺竖直并靠近弹簧。 2．实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免超过弹簧的弹性限度。 3．要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据。 4．描点画线时，不要画折线。所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意不在直线上的点要均匀分布在直线的两侧。 5．记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位。 六、误差分析 1．钩码标值不准确、弹簧长度测量不准确带来误差。 2．画图时描点及连线不准确也会带来误差。 【解题方法技巧】 1.测量弹簧伸长量时刻度尺的读数需要估读，注意有效数字的位数； 2.用图像法处理数据时一定要注意区分横坐标是弹簧长度还是弹簧伸长量，且注意横、纵坐标的单位，不能盲目的计算。 【真题再现】 1．（2025·全国卷·高考真题）某探究小组利用橡皮筋完成下面实验。 (1)将粘贴有坐标纸的木板竖直放置。橡皮筋的一端用图钉固定在木板上，另一端悬挂钩码。钩码质量分别为200g、250g、⋯、500g，平衡时橡皮筋底端在坐标纸上对应的位置如图（a）中圆点所示（钩码的质量在图中用数字标出）。悬挂的钩码质量分别为200g和300g时，橡皮筋底端位置间的距离为___________cm。 (2)根据图（a）中各点的位置可知，在所测范围内橡皮筋长度的增加量与所挂钩码的__________（选填“质量”或“质量的增加量”）成正比，由此可求出橡皮筋的劲度系数为___________（保留2位有效数字，重力加速度取）。 (3)悬挂的钩码质量为时，在橡皮筋底端施以水平向右的力，平衡时橡皮筋方向如图（b）中虚线所示，图（b）中测力计的示数给出了力的大小，则___________，___________g（选填“200”“300”或“400”）。 2．（2025·重庆·高考真题）弹簧是熄火保护装置中的一个元件，其劲度系数会影响装置的性能。小组设计了如图1所示的实验装置测量弹簧的劲度系数，其中压力传感器水平放置，弹簧竖直放在传感器上，螺旋测微器竖直安装，测微螺杆正对弹簧。 (1)某次测量时，螺旋测微器的示数如图2所示，此时读数为______mm。 (2)对测得的数据进行处理后得到弹簧弹力F与弹簧长度l的关系如图3所示，由图可得弹簧的劲度系数为_______N/m，弹簧原长为_______mm（均保留3位有效数字）。 3．（2025·四川·高考真题）某学习小组利用生活中常见物品开展“探究弹簧弹力与形变量的关系”实验。已知水的密度为1.0×103kg/m3，当地重力加速度为9.8m/s2。实验过程如下： （1）将两根细绳分别系在弹簧两端，将其平放在较光滑的水平桌面上，让其中一个系绳点与刻度尺零刻度线对齐，另一个系绳点对应的刻度如图1所示，可得弹簧原长为________cm。 （2）将弹簧一端细绳系到墙上挂钩，另一端细绳跨过固定在桌面边缘的光滑金属杆后，系一个空的小桶。使弹簧和桌面上方的细绳均与桌面平行，如图2所示。 （3）用带有刻度的杯子量取50mL水，缓慢加到小桶里，待弹簧稳定后，测量两系绳点之间的弹簧长度并记录数据。按此步骤操作6次。 （4）以小桶中水的体积V为横坐标，弹簧伸长量x为纵坐标，根据实验数据拟合成如图3所示直线，其斜率为200m−2。由此可得该弹簧的劲度系数为________N/m（结果保留2位有效数字）。 （5）图3中直线的截距为0.0056m，可得所用小桶质量为________kg（结果保留2位有效数字）。 4．（2022·湖南·高考真题）小圆同学用橡皮筋、同种一元硬币、刻度尺、塑料袋、支架等，设计了如图（a）所示的实验装置，测量冰墩墩玩具的质量。主要实验步骤如下： （1）查找资料，得知每枚硬币的质量为； （2）将硬币以5枚为一组逐次加入塑料袋，测量每次稳定后橡皮筋的长度，记录数据如下表： 序号 1 2 3 4 5 硬币数量/枚 5 10 15 20 25 长度 10.51 12.02 13.54 15.05 16.56 （3）根据表中数据在图（b）上描点，绘制图线；______ （4）取出全部硬币，把冰墩墩玩具放入塑料袋中，稳定后橡皮筋长度的示数如图（c）所示，此时橡皮筋的长度为______； （5）由上述数据计算得冰墩墩玩具的质量为______（计算结果保留3位有效数字）。 5．（2021·广东·高考真题）某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数，缓冲装置如图所示，固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端。实验过程如下：先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200g的钢球（直径略小于玻璃管内径）逐个从管口滑进，每滑进一个钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数n和弹簧上端对应的刻度尺示数，数据如表所示。实验过程中弹簧始终处于弹性限度内。采用逐差法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数。 n 1 2 3 4 5 6 8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09 （1）利用计算弹簧的压缩量：，，______cm，压缩量的平均值______cm； （2）上述是管中增加______个钢球时产生的弹簧平均压缩量； （3）忽略摩擦，重力加速度g取，该弹簧的劲度系数为______N/m。（结果保留3位有效数字） 【精准训练】 【教材原型实验】 1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）某实验小组利用如图所示的实验装置来探究弹簧在弹性形变内的弹力与形变量的关系。 (1)甲同学将弹簧竖直悬挂后，弹簧上端与刻度尺的零刻度对齐，下端所在位置的示数如图中所示，则此时该弹簧的长度为________cm。 (2)下列关于该实验的操作中正确的是________。 A．安装刻度尺时，必须使刻度尺保持竖直状态 B．悬挂钩码时，钩码的数量不可过多 C．悬挂钩码后应立即读数 D．每次增加的钩码个数必须相同 (3)乙同学将弹簧放在水平桌面上来测量弹簧的原长，然后将弹簧按如图所示的装置悬挂后进行测量，根据测出弹簧的伸长量和对应的弹簧弹力作出图像，由于弹簧重力的影响，该同学作出的图像应为________。 A． B． C． D． 2．（2026·重庆·一模）同学利用如图（a）装置做“探究弹簧弹力大小与其长度的关系”的实验 (1)在安装刻度尺时，_________（填“需要”或“不需要”）使刻度尺保持竖直。 (2)图（c）是同学某次测量的弹簧长度，该长度是_________cm。 (3)同学通过实验得到如图（b）所示的弹力大小F与弹簧长度L的关系图线，由此图线可得该弹簧的劲度系数_________。（计算结果保留两位有效数字） (4)图（d）是另一名同学根据另一次实验数据描绘的弹簧的伸长量与弹力大小F的关系图线，图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是_________。 3．（26-27高三上·河南·阶段检测）某同学用图甲所示的装置测量某弹簧的劲度系数，弹簧悬点与标尺零刻度线对齐，他先读出不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，然后在弹簧下端挂钩码，并逐渐增加钩码个数，读出每次对应的指针所指的标尺刻度，弹簧始终未超过弹性限度。 (1)当弹簧下端挂上一个钩码时，指针指在图乙所示位置，此时弹簧的长度为________cm。 (2)关于本实验，下列说法正确的是________。 A．为了使实验效果明显，每个钩码重力越大越好 B．实验应多测几组数据，且每次增加的钩码数量必须相等 C．应保证刻度尺位于竖直方向 D．在弹簧的下端挂上钩码后，应立即读数 (3)取重力加速度大小为，请根据表格中的数据在图丙所示坐标纸上作出弹簧弹力与长度的关系图像________，根据图像可以得到弹簧的劲度系数为________N/m（结果保留两位有效数字）。 钩码总质量 50 100 150 200 250 弹簧长度 11.01 12.02 13.04 14.03 15.02 4．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）某同学从废旧的弹簧测力计上拆下弹簧，用它来做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”实验。 （1）在家中贴有瓷砖的墙面，用铅垂线测量，发现瓷砖之间的竖缝是竖直的，将刻度尺平行于竖缝固定在墙面上，将弹簧挂在墙面的挂钩上，并使刻度尺的零刻度与弹簧上端平齐，如图甲所示； （2）在弹簧下端依次悬挂n个槽码（n=1，2，3…），当槽码静止时，测出弹簧拉力Fn与指针所指的刻度尺示数Ln，在F-L坐标系中描点，如图乙所示： ①初始时弹簧下端未挂槽码，竖直弹簧的自然长度为_________cm（结果保留2位有效数字）； ②实验中，若在测得图乙中P点的数据（27.0 cm，10.78N）后，取下弹簧下端悬挂的所有槽码，则弹簧静止时_________（选填“能”或“不能”）恢复到自然长度L0； ③在弹簧弹力从0增大至17.64N的过程中，弹簧劲度系数变化情况是_________。 （3）本次实验的部分数据如下： 槽码个数n 1 2 3 4 Fn（N） 0.98 1.96 2.94 3.92 Ln（cm） 2.5 3.7 4.9 6.1 计算弹簧的劲度系数k=_________N/m（结果保留2位有效数字）。 5．（25-26高三上·山东威海·期末）某同学利用如图甲所示的装置测量弹簧A的劲度系数。为了增大弹簧的伸长量从而减小长度测量带来的误差，该同学将弹簧A的上端与力传感器相连（图中未画出）后挂在铁架台的横梁上，下端与已知劲度系数的弹簧B连接，B的下端固定一指针，并在弹簧的旁边竖直固定毫米刻度尺。在B的下端挂不同质量的钩码，分别记录力传感器的示数F及对应的指针刻度x，在坐标纸上做出F与x关系的F—x图像如图乙所示。回答以下问题： (1)把弹簧A、B作为一个弹簧整体，该弹簧整体的劲度系数k=______N/m；（结果保留3位有效数字） (2)已知B的劲度系数kB=80N/m，A的劲度系数kA=______N/m；（，结果保留3位有效数字） (3)下列哪些选项会导致测量结果偏大？______ A．弹簧B的劲度系数真实值大于80N/m B．计算钩码重力时，重力加速度取值偏大 C．毫米刻度尺没有完全竖直，稍微倾斜 D．弹簧自身重力的影响 【实验拓展与创新】 6．（26-27高三上·内蒙古包头·阶段检测）有一款“一抽到底”的纸巾盒，其内部结构如图甲所示，由两块挡板和弹簧组成，弹簧连接两块挡板。纸巾盒底部的这种结构，可将整包纸巾顶起，以保持最上面的纸巾能够在纸巾盒取用口。科技实践小组的同学为了研究纸巾盒中弹簧的特征，做了以下实验： 科技实践小组设计如图乙所示，测量出数据记录于如下表格。 实验次数 1 2 3 4 5 砝码质量m/g 10 20 30 40 50 弹簧长度l/cm 4.51 4.03 3.48 3.27 2.46 弹簧形变量Δl/cm 0.99 1.47 2.02 2.23 3.04 (1)依据测量数据画出的m-Δl图像如图丙所示，观察图像可发现，其中第____次数据误差较大，应该剔除。 (2)根据图像可得劲度系数k=____N/m（结果保留两位有效数字，g取10 N/kg）。 (3)在使用过程中，纸巾盒里的纸巾越来越少，弹簧的形变量___（选填“不变”“逐渐变大”或“逐渐变小”）。 7．（2025·河北·模拟预测）某同学在使用如图所示的拉力器锻炼身体的过程中发现，拉力器中安装的弹簧根数越多，拉伸拉力器越困难，因此他想探究拉力器的劲度系数与弹簧根数的关系，于是他设计了如下实验来进行探究： 分别在拉力器中并排安装1根、2根、3根、4根、5根相同的弹簧，然后将拉力器竖直悬挂，上端手柄固定，下端手柄分别吊起质量相同的重物，测量每一个拉力器静止时的伸长量，再比较它们伸长量之间的关系，已知拉力器的手柄质量很小。 (1)若某次实验中，所吊起的重物质量为m时，拉力器相对于其竖直悬挂没有吊起重物时的伸长量为x，则该拉力器的劲度系数k的表达式为k=___________（当地的重力加速度为g）。 (2)接下来，该同学选择不同质量的重物，又重复做了两组实验。通过记录的实验数据，该同学发现同一组实验中，五个拉力器的伸长量之比均大约为。据此推断，拉力器的劲度系数k与弹簧的根数n之间的关系为 。 A． B． C． D． (3)下列做法中，有利于减小实验误差的是 。 A．选择质量适当大一些的重物 B．选择质量适当小一些的重物 C．安装弹簧时注意左右对称，并将重物悬挂于下端手柄的中点 D．测量拉力器的伸长量时，使毫米刻度尺平行贴近拉力器，并且在保证视线垂直正对刻度尺的情况下读数 8．（2026·福建漳州·三模）某实验小组探究橡皮筋的弹力与形变量的关系，实验装置如图甲所示。实验步骤如下： ①刻度尺水平固定在木板上，橡皮筋一端固定在刻度尺前端，另一端与细绳打结（标记结点），细绳另一端挂在弹簧测力计挂钩上。沿刻度尺方向拉直，当测力计示数为0时，记录结点在刻度尺上的位置读数； ②水平缓慢拉动测力计，使结点沿刻度尺移动，记录结点位置和对应的测力计示数，并计算橡皮筋的伸长量； ③当测力计示数达到某一值后，逐渐减小拉力，直到橡皮筋回缩至原长，记录数据。根据实验数据作出图像如图乙所示。 回答下列问题： (1)关于该实验，下列说法正确的是________（填正确答案标号）； A．测量时细绳不必与木板平行 B．选用粗细均匀、无老化的橡皮筋 C．结点位置读数即为橡皮筋伸长量 (2)由图像可知：在范围内，拉伸图线接近线性。若定义劲度系数为单位伸长量对应的弹力增量，则该范围内拉伸过程的劲度系数________（结果保留1位小数）； 9．（25-26高三上·河南平顶山·期末）某同学用图甲所示装置“探究橡皮筋的弹力和伸长量的关系”。将不可伸长的细线下端拴在橡皮筋的上端，细线上端固定在铁架台的横梁上，橡皮筋下端固定一片水平的轻质小纸片，橡皮筋自然下垂处于伸直状态，在小纸片正下方的桌面上放置一个距离传感器，可以测出水平小纸片与传感器上表面的距离h。实验步骤如下：（每个钩码的质量，重力加速度g取。） A．在橡皮筋下端挂上一个钩码，系统静止后，记录钩码的个数及传感器的示数； B．逐次增加钩码个数，并重复步骤A（保持橡皮筋在弹性限度内）； C．用n表示钩码的个数，h表示传感器上表面与水平纸片的距离，将获得的数据记录在表格内。根据表格的实验数据在图乙中描点并作出图像。 (1)如图乙所示，图像斜率的绝对值为______cm/个，橡皮筋的劲度系数测量值______N/m。（结果均保留到小数点后一位） (2)为防止橡皮筋从上端细线中脱落，橡皮筋在细线拴结点上方留有一小段长度（如图丙），这会导致实验对整条橡皮筋劲度系数的测量值______（填“偏大”“偏小”“不变”）。 10．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）某同学设计利用钢尺弯曲形变来测量物体质量的实验装置。如图甲，他将一把钢尺一端水平固定，另一端开有小孔可悬挂重物。实验时，通过测量钢尺自由端的竖直位移来推算所挂重物的质量。 (1)主要实验步骤如下： ①未挂重物时，记录钢尺自由端的初始位置作为零点； ②钢尺自由端悬挂一个质量为20.0g的钩码，测量并记录自由端的竖直位移； ③依次增加钩码个数，重复步骤②，记录多组数据如下表所示； 钩码质量m(g) 0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 自由端位移h(mm) 0 2.0 4.1 6.1 8.2 10.3 13.5 ④根据表中前6组数据，在图乙中描点并绘制曲线________。 (2)根据绘制的图线可知在m≤100.0g范围内，h与m之间满足________（选填“正比”或者“反比”）关系； (3)悬挂待测物体，测得自由端的竖直位移hx=7.6mm，利用图像求出待测物体的质量mx=________g（保留三位有效数字）； (4)当m>100.0g后，通过进一步描点，发现图线发生弯曲，可能原因是________。 11．（2026·安徽滁州·三模）某实验小组利用一个新弹簧开展弹簧劲度系数测量的探究实验。当地重力加速度大小近似为。 (1)如图1所示，将弹簧竖直悬挂起来，逐个增挂质量均为200克的钩码，并用毫米刻度尺读取弹簧的伸长量，记录数据如表1所示。 表1 钩码个数 0 1 2 3 4 弹簧伸长量（） 0 6.1 15.0 23.9 32.7 分析发现，挂载第________个钩码时，弹簧伸长量的增加量与挂载其他钩码时有较大的差别。实验小组决定舍去这组数据，利用其余数据求解出弹簧的劲度系数为________N/m（结果保留2位有效数字）。 (2)实验小组改用传感器进一步探究拉力很小时弹簧形变的特点。用智能手机和力传感器测拉力，用毫米刻度尺测弹簧伸长量，如图2所示，操作得到的数据如表2所示。 表2 伸长量 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 拉力 0 0.43 0.60 0.67 0.71 0.75 0.78 0.80 0.82 0.84 0.86 在如图3所示的坐标系中已经描出了数据点，请用平滑曲线作出的关系图线______。 (3)关于图3中图线的特征，下列说法正确的是________（填选项序号）。 A．随着伸长量均匀增加，拉力的增加量减小，最后为零 B．随着伸长量均匀增加，拉力的增加量减小，最后不变 C．随着伸长量均匀增加，拉力的增加量增加，最后不变 (4)从图3中图线可以看出，图像不是经过原点的直线。实验小组通过寻找文献资料，发现原因可能是弹簧在自由状态下各圈之间相互压紧所产生的内部预紧力。对于图3中直线部分，胡克定律可写成的形式，根据图像，可以得到________（结果保留2位小数）。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $