24.1 一元二次方程 课时作业 2026-2027学年冀教版数学 九年级上册

24.1  一元二次方程

冀教版九年级上册  第二十四章  一元二次方程  课时作业

  一、学习目标

1．理解一元二次方程的概念，能判断一个方程是否为一元二次方程；

2．掌握一元二次方程的一般形式，能正确指出二次项系数、一次项系数和常数项；

3．理解一元二次方程的根（解）的意义，会检验一个数是否为方程的根；

4．会根据实际问题列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的有效模型。

  二、知识清单

知识点 1  一元二次方程的概念

只含有一个未知数，并且未知数的**最高次数是 的整式方程**，叫做一元二次方程。 【三个要素，缺一不可】 ① 是整式方程（分母中不含未知数，也不含未知数的根号）； ② 只含一个未知数； ③ 未知数的最高次数是 ****（即化简后二次项系数不为 ）。

知识点 2  一元二次方程的一般形式

任何一个一元二次方程经过整理，都可以化为 这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中 叫做二次项， 叫做二次项系数； 叫做一次项， 叫做一次项系数； 叫做常数项。 【关键条件】。若 ，方程就变成一元一次方程了。 【注意符号】写系数时必须连同前面的符号一起写。如 中，，。

知识点 3  一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做这个一元二次方程的根（也叫解）。 【检验方法】把这个值代入方程左边和右边分别计算，若两边的值相等，则它是方程的根。 【重要用法】若 是方程 的根，则必有 这一等式是解决"已知根求代数式的值"一类问题的关键。

知识点 4  列一元二次方程解应用题的一般步骤

① 审：审清题意，分清已知量与未知量；

② 设：设出适当的未知数（通常设所求量为 ）； ③ 列：找出相等关系，列出方程； ④ 解：解这个方程； ⑤ 验：检验根是否符合方程，更要检验是否符合实际意义； ⑥ 答：写出答案。

易错警示

① 判断一元二次方程时，必须先化简整理再看次数。如 化简后为 ，不是一元二次方程； ② 含字母系数时，如"关于 的方程 是一元二次方程"，必须有 ，即 ； ③ 方程 不是整式方程，不是一元二次方程； 也不是； ④ 实际问题中所求的量往往有范围限制（如长度、人数为正），要舍去不合题意的根。

  三、典例精析

例 1  判断一元二次方程

下列方程中，哪些是一元二次方程？为什么？

（1）；　　（2）；

（3）；　　（4）；

（5）；　　（6）。

【解】（1）是。它是整式方程，只含一个未知数 ，最高次数为 。

（2）不是。 的分母含未知数，不是整式方程（它是分式方程）。

（3）不是。含有 两个未知数。

（4）不是。化简：，即 ，二次项抵消了，是一元一次方程。

（5）是。化简得 ，分母是常数，仍是整式方程。

（6）是。因为 ，所以 ，二次项系数恒不为 。

例 2  化一般形式并指出各项系数

把下列方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）；　　（2）。

【解】（1）去括号得 ，

移项、合并同类项得

二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。

（2）展开得 ，

移项、合并同类项得

二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。

【点拨】化一般形式的标准流程：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项，并使二次项系数为正。

例 3  利用根的定义求值

已知 是方程 的一个根，求代数式 的值。

【解】因为 是方程的根，所以

即 。

所以

【点拨】这类题不需要（也往往无法简便地）求出 的具体值，关键是把所求代数式中的 整体替换。