浙江省杭州学军中学2026-2027学年高二第一学期数学周末练（1）

**基本信息** 杭州学军中学高二数学周测卷以数学史（球的堆垒问题）、文化传承（风筝骨架模型）、科技前沿（人脸识别距离测试）为情境，覆盖向量、直线与方程、函数、立体几何等知识，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|向量投影、函数周期、直线斜率|基础概念辨析，如向量共线求投影向量| |多选题|3题|空间向量共面、直线位置关系|多角度考查，如正方体动态点线面关系| |填空题|4题|光线反射、动直线轨迹、数学史问题|情境创新，如球堆垒问题渗透数学文化| |解答题|5题|三角形面积、二面角、函数不等式、人脸识别距离|综合应用，如人脸识别结合距离公式考查数学语言表达现实世界|

《杭州学军中学2026学年第一学期高二数学周末练（1）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C C A A D ABC BCD 题号 11 答案 AD 1．D 【分析】根据与共线，可得，求得，再利用向量在向量上的投影向量为，计算即可得解. 【详解】由向量，， 若与共线，则，所以， 则， 所以向量在向量上的投影向量为： ， 故选：D. 2．D 【分析】先求图纸的折痕所在的直线方程，由题意得点在直线上，得，又直线与直线以及轴相交于点，即可求，进而求解. 【详解】由题意有：，点的中点， 所以图纸的折痕所在的直线方程为，即，令，得，即， 又由轴与直线也正好重合，则点在直线上， 所以， 又因为直线与直线以及轴相交与点， 所以，代入，解得， 所以， 故选：D. 3．B 【分析】先得到，根据的奇偶性和周期性得到. 【详解】，故，， 定义在上的偶函数的最小正周期为2， 故. 故选：B 4．C 【分析】分别将三直线转化成点斜式，结合概念判断即可. 【详解】设三条直线对应斜率为，倾斜角为， ，； ，； ，， 因为，所以不垂直于，选项A错误； ，故选项B错误； ， 因为，所以，所以，即三条直线的倾斜角之和为135°，故选项C正确； 三条直线在y轴上的截距之和为，故选项D错误. 故选：C 5．C 【分析】由题知，，对于A，根据基本不等式可得即可判断；对于B，利用换元法可得；对于C，根据换元法得，再利用配方可得最值；对于D，由“1”的妙用求解即可. 【详解】由题知，即，且， 对于A，，当，即时取等， 所以ab的最大值为2，故A错误； 对于B，，又，所以，故B错误； 对于C，， 当时取等，所以的最小值为，故C正确； 对于D，， 当时，即时取等，所以的最小值为，故D错误. 故选：C. 6．A 【分析】建立空间直角坐标系，根据题设中的条件求出外接球球心的坐标，求出半径即可得表面积. 【详解】令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面 ∵是等边三角形，∴，是的重心. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. ∵，，则， ∴，. 设，由,得， 化简得解得. ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 7．A 【分析】先根据求得的值，再对照的图象，得到与函数的周期间的关系，进而得到与的关系，利用求得的范围，得到的最小值. 【详解】由图象知所以.因为,所以.所以. 根据正弦函数的图象，如图， ,, 所以设函数的周期为T,则，即. 因为，所以所以. 所以的最小值为. 故选：A. 8．D 【分析】根据条件可得，，即，结合等差数列的通项公式求解即可. 【详解】由及， 得，即， 由，得， 所以，又， 所以构成以2为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：D. 9．ABC 【分析】根据方向向量和斜率的关系判断选项A；分别讨论斜率存在时，垂直于轴和垂直于轴的情况是否可以用表示，判断选项B；对给定向量关系进行化简变形，得出，从而得出4点共面，判断选项C；分析直线所过定点，再根据几何关系求出的值，判断选项D. 【详解】对于A，因是直线的一个方向向量，故该直线的斜率为，故A正确； 对于B，当时，经过点，的直线方程为， 即； 若，，则直线方程为，此时，， 因为，所以，故可以用表示； 若，，则直线方程为，此时，， 因为，所以，故可以用表示，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即， 所以四点共面，故C正确； 对于D，将直线方程变形为，由得， 直线过定点，斜率为. 当直线与垂直时，点到直线的距离最大. 因为故，故D错误. 故选：ABC. 10．BCD 【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确. 故选：BCD 11．AD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值判断A；利用，可知到平面的距离最短时，体积最小，进而求解判断B；设，，，，平面的一个法向量为，利用已知可得，进而求得线段的最小值判断C；根据时，有解判断D. 【详解】以为原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，. 对于A，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，因为，的面积为定值， 所以当点到平面的距离最短时，三棱锥的体积最小， 显然当点与点重合时，点到平面的距离最短，则最短距离为， 所以三棱锥体积的最小值为，故B错误； 对于C，，， 设，，，， 则，，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 若平面，则，即，则， 所以，， 所以， 当时，，故C错误； 对于D，，由C选项可知， 若，则， 即，则， 又，，存在满足的解，故D正确. 故选：AD. 12． 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 13． 【分析】先分析两条直线经过的定点，得出的坐标，根据两直线的位置关系分析可得的运动轨迹是挖去一点的圆，然后判断出直线和圆相切，从而得解. 【详解】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为，所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 注意到时，满足，但此时直线垂直轴，斜率不存在， 故点在以为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即的取值范围为 . 故答案为： 14． 【分析】根据题意，由于球与球相切，借助球心位置分可析求出d的取值. 【详解】如图， 记前4个球的球心依次为，，，，后4个球的球心依次为，，，， 则四面体，，，，都是边长为2的正四面体． 在正四面体中，，则这5个正四面体的高． 四面体是正四面体，其中心与正四面体的中心是同一点， 正四面体的顶点到中心的距离为， 所以四面体的高，所以． 从到的这8个点中，任意两点间的距离可能为2， 如；可能为，如；也可能为，如． 所以d的取值集合为． 【点睛】方法点睛：设正四面体的棱长为a，外接球的半径为，内切球的半径为，则其高，外接球的球心与内切球的球心是正四面体的高上的同一个点，因此，，． 15．(1)或 (2) 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 16．（1），；（2）. 【分析】（1）根据得出，然后根据角是锐角得出，最后根据正弦定理与余弦定理对进行转化，即可得出结果； （2）由正弦定理得出、，然后根据得出，再然后根据解三角形面积公式得出，并将其转化为，最后根据正弦函数的性质即可求出最值. 【详解】（1）因为，所以，， 因为角是锐角，所以， 因为， 所以由正弦定理与余弦定理易知，， 整理得，解得. （2）因为，所以，， 因为，，，所以， 则 ， 因为，所以， 则，， 故，面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据题意得到，，从而得到平面，再根据线面垂直的性质即可得到. （2）首先作于，连接，得到是二面角的平面角，再结合已知条件求解即可. 【详解】（1）因平面平面， 所以. 又平面平面，所以平面. 又平面，所以. （2） （2）由，得. 作于，连接，由平面，知， 又，所以平面. 又平面，所以，故是二面角的平面角， 故此时，又， 所以此时到底面的距离 18．(1) (2) 【分析】（1）构造函数，由题设条件可得在上单调递增，结合二次函数的性质即可求得的取值范围； （2）先将表示成分段函数，当时，利用二次函数的性质可求得的最小值，当时，利用轴动区间动分类讨论端点与对称轴的大小关系，给合二次函数的性质求得在的最小值，从而求得在上的最小值. 【详解】（1）因为对任意，，恒成立， 即， 令，则， 所以在上单调递增， 当时，，显然在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，由二次函数的性质可知开口向上，对称轴，即， 所以，即. （2）由题意得，， ①当时，， 因为，所以开口向上，对称轴， 所以在单调递增，故； ②当时，，则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 故，又由①可知， 所以在上， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，， 若，即时，； 若，即时，. 综上：. 【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 19．(1)， (2) (3)存在，和 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【详解】（1）， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． （3）易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2026学年第一学期高二数学周末练（1） 班级：___________姓名：___________ 一、单选题 1．已知向量，若与共线，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 2．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则 A． B． C． D． 3．已知定义在上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则 A．2 B．3 C．4 D．6 4．已知三条直线为，，，，则下列结论正确的是 A． B．三条直线的斜率之和为4.5 C．三条直线的倾斜角之和为135° D．三条直线在y轴上的截距之和为 5．已知点为直线上位于第一象限内的动点，则下列结论正确的是 A．ab的最小值为2 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 6．已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（   ） A．52π B．39π C．26π D．13π 7．已知函数部分图象如图所示，其中，则的最小值为 A． B． C．2 D． 8．定义在上的函数满足，且，若，则 A．512 B．2026 C．3032 D．4052 二、多选题 9．下列说法正确的是 A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．经过点，的直线方程均可用表示 C．若对空间中任意一点有，则，，，四点共面 D．当点到直线的距离最大时，的值为1 10．已知直线，，则下列说法正确的是 A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 11．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点，则（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥体积的最小值为2 C．当平面时，线段的最小值为 D．存在点，，使得 三、填空题 12．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 13．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点到直线的距离为，则的取值范围为_______. 14．波兰数学大师史坦因豪斯编著的《一百个数学问题》中的第46个问题是球的堆垒问题：有无数个完全相同的球，取3个使它们两两相切放置，然后放上第4个球，使其与前3个球都相切，这样形成4个凹穴，在每个凹穴再放上一个球，则一共放了8个球，它们形成多少个凹穴？这个过程可以一直继续下去吗？若我们只考虑前8个球，设球的半径为1，其中两个球的球心之间的距离为d，则d的取值集合为______． 四、解答题 15．已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 16．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，． （1）求角的大小和边长的值； （2）求面积的最大值． 17．风筝起源于春秋时期，是中国古代劳动人民智慧的结晶，北方也称“纸鸢”，虽经变迁，但时至今日放风筝仍是人们喜爱的户外活动.如图，一只风筝的骨架模型是四棱锥，其中于平面. (1)求证：； (2)若，为使风筝保持最大张力，平面与底面所成二面角的正切值应为，求此时到㡳面的距离. 18．已知函数，. (1)若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； (2)对于，求函数在上的最小值. 19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $