26.4 实际问题与二次函数 第2课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4 实际问题与二次函数 第二十六章 二次函数 第2课时 最大利润问题 人教版九年级上册 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 情境导入 问题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 18000 6000 （1）销售额= 售价×销售量； （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量； （3）单件利润=售价-进价. 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 3 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 (20+x) (300−10x) (20+x)(300−10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300−10x), 即：y=−10x2+100x+6000. 6000 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 4 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300 −10x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤ x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=−10x2+100x+6000， 当 时，y=−10×52+100×5+6000=6250. 即涨价5元时，最大利润是6250元. 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 5 降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 (20−x) (300+20x) (20−x)(300+20x) 建立函数关系式：y=(20−x)(300+20x)， 即：y=−20x2+100x+6000. 6000 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 综上可知，定价57.5元时，最大利润是6125元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20−x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤ x ≤20. ③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 当 时, 即降价2.5元时，最大利润是6125元. 即：y=−20x2+100x+6000， 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 【变式】 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=−2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件． (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函 数关系式； 解：(1)由题意可得w=(x−50)(−2x+180)=−2x2+280x−9000. 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 ∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元． (2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？ (2)w=−2x2+280x−9000=−2(x−70)2+800， ∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件， ∴75≤x≤90. 根据题意，确定自变量的取值范围 注意：需根据函数的增减性确定自变量的函数最值，而非在顶点处取最值 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 ×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 探究点：二次函数与最大利润问题 【归纳总结】 新知探究 1.某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 探究点：二次函数与最大利润问题 【练一练】 新知探究 ①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元） 正常销售 涨价销售 10 180 10+x 180−10x (10+x)(180−10x) 1800 建立函数关系式：y=(10+x)(180−10x), 即：y=−10x2+80x+1800. 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180−10x ≥0，且x ≥0， 因此自变量的取值范围是0≤x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=−10x2+80x+1800 =−10(x−4)2+1960. 当x=4时，即涨价4元时，y取最大值1960元. 答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 2.某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则 此时每月的总利润最多是多少元？ 答：此时每月的总利润最多是1200元. 解：由题意得：当40≤x≤50时， Q = 60(x−30)= 60x −1800. ∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大， ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200. 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 （2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：当50≤ x ≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20). 50k+b=60， 70k+b=20. ∴ ∴y =−2x +160（50≤x≤70）. 解得： k =−2， b = 160. 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 ∴Q=(x −30)y =(x −30)(−2x + 160) =−2x2 + 220x − 4800 = −2(x −55)2 +1250 (50≤ x ≤70) ∵a = −2＜0，图象开口向下， ∴当x = 55时，Q最大= 1250 ∴当售价在50～70元时， 售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元. 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 解：∵当40≤ x ≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤ x ≤70时， Q最大= 1250＞1218 ∴售价x应在50~70元之间. ∴令：−2(x −55)2 +1250=1218 解得x1=51，x2=59 当x1=51时，y1= −2x+160= −2×51+160= 58(件) （3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ ∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. 当x2=59时，y2= −2x+160= −2×59+160= 42(件) 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 【变式1】 若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：Q与x的函数关系式为： 60x −1800 （40≤ x ≤50 ） −2(x−55)2 + 1250 （50≤ x ≤70） Q = 由例2可知： 若40≤ x ≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200 若50≤ x ≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250 ∵1200＜1250 ∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元. 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 【变式2】 若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围； ①当40≤ x ≤50时， ∵Q最大= 1200＜1218， ∴此情况不存在. 解：Q与x的函数关系式为： 60x −1800 （40≤ x ≤50 ） −2(x −55)2 + 1250 （50≤ x ≤70） Q = 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 ②当50≤ x ≤70时， Q最大= 1250>1218， 令Q = 1218，得 −2(x −55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 由Q = −2(x −55)2 +1250的 图象和性质可知: 当51≤ x ≤59时，Q≥1218. ∴若该商品所获利润不低于1218元， 则售价x的取值范围为51≤ x ≤59. x Q 0 55 1218 59 51 1250 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 【变式3】 在变式2的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？ 解：由题意得： 51≤ x ≤59 30 (−2x +160)≥1620 解得：51≤ x ≤53 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 又∵a =−2＜0， ∴当51≤ x≤53时 ， Q随x的增大而增大. ∴当x = 53时，Q最大= 1242. ∴此时售价x应定为53元， 利润最大，最大利润是1242元. x Q 0 55 1242 53 51 探究点：二次函数与最大利润问题 新知探究 1. 若一种服装的销售利润y（万元）与销售数量x（万件）之间的函数解析式为y＝－2x2＋4x＋5，则销售利润最大为（　B　） A. 5万元 B. 7万元 C. 8万元 D. 6万元 B 2. 教材变式题 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么销售单价定为 　11　元时，才能使每天所获销售利润最大. 11　 随堂练习 3. 新情境 传统文化 [2024内江]端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒贵20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与用3000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价每提高1元时，就少售出10盒. （1） 求猪肉粽、豆沙粽每盒的进价； 解：（1） 设猪肉粽每盒的进价为a元，则豆沙粽每盒的进价为（a－20）元.根据题意，得 ＝ ，解得a＝50.经检验，a＝50是所列方程的解，此时a－20＝30.∴ 猪肉粽每盒的进价为50元，豆沙粽每盒的进价为30元 解：（2） 由题意，得当x＝52时，每天可售出180盒，当猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70）时，每天可售出[180－10（x－52）]盒， ∴ y＝（x－50）[180－10（x－52）]＝（x－50）（－10x＋700）＝－10x2＋1200x－35000＝－10（x－60）2＋1000.∵ －10＜0，52≤x≤70，∴ 当x＝60时，y取最大值，最大值为1000.∴ y关于x的函数解析式为y＝－10x2＋1200x－35000（52≤x≤70），且y的最大值为1000 （2） 设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y（单位：元）表示该商家销售猪肉粽的利润，求y关于x的函数解析式并求出y的最大值. 4. 新情境 市场营销 某超市销售某种进价为15元/千克的水果，若按20元/千克销售，每天可卖出300千克；若售价每提高1元/千克，每天的销售量就减少10千克.设售价为x元/千克，每天的营业额为y元，则下列关于y的说法正确的是（　A　） A. 最大值为6250 B. 最大值为4000 C. 最小值为6250 D. 最小值为4000 A 5. 某书店销售一种教辅资料，若售价为20元/册，每天可卖出100册；若售价每降低1元/册，每天的销售量就增加10册.设售价降低x元后，每天的营业额为y元，当x＝ 　5　时，y取得最大值. 5　 （1） 每天的营业额y（元）与售价x（元/件）之间的函数解析式； 解：（1） y＝－2x2＋240x （2） （1）中所得函数的最大值，并说明此时的售价和每天的营业额情况. 解：（2） ∵ y＝－2x2＋240x＝－2（x－60）2＋7200，∴ 当售价为60元/件时，每天的营业额取得最大值，为7200元 6. 某商场销售一款进价为30元/件的服装，售价为x元/件时，每天可卖出（240－2x）件.求： 7. 教材变式题 某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有100张床位的旅馆.若每张床位每天收费10元，则床位可全部租出；若每张床位每天的收费每提高2元，则相应减少10张床位的租出.如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（　C　） A. 14元 B. 15元 C. 16元 D. 18元 C 8. 某服装店销售一批衣服，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，尽快减少库存，该服装店决定采取适当的降价措施.经市场调查发现，每件衣服每降价1元，该服装店平均每天可多售出2件，则每件衣服降价 　15　元时，该服装店每天盈利最多. 15　 9. 随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富，为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下表： 时　间 第一天 第二天 第三天 第四天 x/元 15 20 25 30 y/袋 25 20 15 10 试销售和正常销售期间，日销量与每袋售价的一次函数关系相同. （1） 求日销量y（袋）关于每袋售价x（元）的函数解析式. 解：（1） 依题意，设y＝kx＋b.由表中数据，得 解得 ∴ y＝－x＋40 （2） 每袋售价定为多少元，才能使该土特产每日销售的利润最大？请求出最大利润. 解：（2） 设每日销售的利润为W元.依题意，得W＝（x－10）（－x＋40）＝－x2＋50x－400＝－（x－25）2＋225.∵ －1＜0，∴ 当x＝25时，W取最大值，最大值为225.∴ 每袋售价定为25元，才能使该土特产每日销售的利润最大，最大利润为225元 10. 某水果店销售一款进口水果，进价为50元/千克，按60元/千克销售，每天卖出100千克，售价每提高1元/千克，每天的销售量减少1千克.设售价为x元/千克. （1） 每天的销售量为多少千克（用含x的代数式表示）？ 解：（1） 当售价为x元/千克时，每天的销售量为100－（x－60）＝（160－x）千克 （2） 求每天的营业额y（元）与x（元/千克）之间的函数解析式（写成一般式）. 解：（2） y＝－x2＋160x （3） 若该水果的售价不低于60元/千克且不高于80元/千克，求每天营业额的最大值. 解：（3） ∵ －1＜0，∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线x＝80. ∵ 60≤x≤80，∴ 当x＝80时，y取得最大值，为y＝－802＋160×80＝6400.∴ 每天营业额的最大值为6400元 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 课堂小结 $