26.4 实际问题与二次函数（第2课时）课件2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决利润最值问题，通过回顾上节课“实际问题→列解析式→定范围→求最值→回归情境”的步骤作为学习支架，引出商品定价调整的新问题，衔接旧知与新知。 其亮点在于分涨价、降价两种情况探究，引导学生建立函数模型（模型意识），强调自变量取值范围（抽象能力），通过追问推理（推理意识）。如问题2中设变量列解析式求最值并比较，小结提炼建模、分类讨论思想。助学生用数学眼光观察、思维分析、语言表达，教师可借结构化探究提升教学效率。

第二十六章　二次函数 26.4　实际问题与二次函数（第 2 课时） 数学人教版九年级上册 　　问题 1　请大家回顾上节课的内容，我们是怎样用二次函数解决实际 生活中最大值问题的？ 实际问题 • 分析题目数量关系 • 列二次函数解析式 • 定自变量取值范围 在自变量的取值范围内，用二次函数性质求最值 回归具体情境解答实际问题 新课导入 2 　　问题 2　某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市 场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价 1 元，则每星期要少 卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为 每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 　　阅读问题，你能从中获得哪些信息？ 已知条件 销售情况 商品的单件售价 每星期的销量 商品的单件进价 不调整单价时 60 300 40 调价规则 （单价为整数） ＋1 －10 不变 －1 ＋20 不变 求 如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 新知探究 3 销售情况 商品的单件售价 每星期的销量 商品的单件进价 不调整单价时 60 元 300 件 40 元 　　追问 1　不调整单价时，每星期售出商品的利润是多少？ 方法一 (60－40)×300＝6 000（元） 商品的 单件利润 每星期的销量 方法二 60×300－40×300＝6 000（元） 每星期售出 商品的销售额 每星期售出商 品的买进费用 每星期售出商品的利润 ＝ 商品的 单件售价 × 每星期的 销量 － 商品的 单件进价 × 每星期的 销量 新知探究 4 每星期售出商品的利润 ＝ 商品的 单件售价 × 每星期的 销量 － 商品的 单件进价 × 每星期的 销量 　　不调整单价时，每星期售出商品的利润＝60×300－40×300＝6 000(元) 　　追问 2　如果调整单价，涨价 1 元或降价 1 元，每星期售出商品的利润怎样变化？ 　　因此，涨价 1 元或降价 1 元，每星期售出商品的利润都增加了． 　　追问 3　涨价 1 元和降价 1 元，利润都增加了，但增加的幅度一样吗？ 　　增加的幅度不一样． 涨价 1 元时：(60+1)×(300－10)－40×(300－10)＝6 090（元） 降价 1 元时：(60－1)×(300＋20)－40×(300＋20)＝6 080（元） 分涨价和降价两种情况进行研究 新知探究 5 　　追问 4　涨价 2 元、3 元时，每星期售出商品的利润是多少？（只列式不计算） 　　涨价金额越大，利润就越大吗？ 每星期售出商品的利润 ＝ 商品的 单件售价 × 每星期的 销量 － 商品的 单件进价 × 每星期的 销量 涨价 x 元时： (60＋x)×(300－10x)－40×(300－10x) 涨价 3 元时：(60＋3)×(300－10×3)－40×(300－10×3) 涨价 2 元时：(60＋2)×(300－10×2)－40×(300－10×2) 能用一个式子表示每星期售出商品的利润吗？ 　　追问 5　可以用什么知识来求每星期售出商品利润的最大值？ 　　可以把这个表达式看成一个函数，再借助函数的性质求解最大值． y 新知探究 6 　　追问 5　可以用什么知识来求每星期售出商品利润的最大值？ 　　解：涨价情况下，设商品每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润为 y 元． 　　y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)， 　　即　y＝－10x2+100x+6 000． 　　追问 6　自变量 x 的取值范围是多少？ 　　因为单价为整数，现在的售价为整数, 　　所以涨价额为整数，即 x 为整数． 　　因为涨价额不能为负数，即x≥0，且销量不能为负，即 300－10x≥0， 　　所以 0≤x≤30. 　　因此，0≤x≤30，x 为整数． 列函数解析式 确定自变量取值范围 新知探究 7 y＝－10x2＋100x＋6 000，其中，0≤x≤30，x为整数． 　　追问 7　当 x 取何值时，每星期售出商品的利润最大？最大利润是 多少？此时定价为多少？ 　　当 x ＝－ ＝－ ＝5 时，y 有最大值，此时 y＝6 250． 　　因此，在涨价的情况下，涨价 5 元，即定价 65 元时，利润最大，最 大利润是 6 250 元． 2a b 2×(－10) 100 函数性质求最大值 得出结论 检验！ 新知探究 8 y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，其中，0≤x≤30，x 为整数． 　　追问 8　你还有不同的列式方法吗？请分享你的方法． 　　另法一：涨价情况下，设商品每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润为 y 元． 　　y＝(60＋x－40)(300－10x) 　　另法二：涨价情况下，设商品每件售价 x 元，每星期售出商品的利润为 y 元． 　　y＝x[300－10(x－60)]－40[300－10(x－60)] 　　或 y＝(x－40)[300－10(x－60)]， ，其中，0≤x≤30，x 为整数． 商品的单件利润×每星期的销量 涨价额：(x－60)元 销量减少：10(x－60)件 销量：[300－10(x－60)]件 其中，60≤x≤90，x 为整数． 列式的关键是找到变量间的数量关系，从而建立函数模型． 新知探究 9 　　问题 2　某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市 场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价 1 元，则每星期要少 卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为 每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 　　追问 9　请你类比涨价情况的探究过程，求降价情况下的最大利润． 　　分析：设商品每件降价 x 元，每星期售出商品的利润为 y 元． 每星期售出商品的利润 ＝ 商品的单件利润 × 每星期的销量 y (60－x－40) (300＋20x) (60－x) 新知探究 10 　　追问 9　请你类比涨价情况的探究过程，求降价情况下的最大利润． 　　降价情况下，设商品每件降价 x 元，每星期售出商品的利润为 y 元． 　　y＝(60－x－40)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6 000， 　　其中，0≤x≤20，x 为整数． 　　当 x ＝－ ＝－ ＝2.5 时，y 有最大值，但 x＝2.5 不符合自变 量取值要求． 　　则当 x＝2 或 3 时，y 取得最大值 6 120． 　　在降价的情况下，降价 2 或 3 元，即定价 58 或 57 元时，利润最大，最大 利润是 6 120 元． 2a b 2×(－20) 100 新知探究 11 　　追问 10　结合以上情况，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 　　比较：6 250>6 120>6 000， 　　因此，定价为 65 元时，利润最大，最大利润是 6 250 元． 在涨价的情况下，定价 65 元时，获得最大利润 6 250 元； 在降价的情况下，定价 58 或 57 元时，获得最大利润 6 120 元； 现在销售状况下，定价 60 元时，获得利润 6 000 元. 新知探究 12 　　问题 3　回顾解决利润最值问题的探究过程，你认为用二次函数解决实际 问题的一般步骤是什么？ 实际问题 建立模型 求解最值 解释决策 • 分析数量关系 • 合适的变量 • 函数解析式 • 自变量取值范围 •自变量取值范围内函数类型 • 函数性质求最值 • 验证结果 • 结合问题情境解释数学结果 • 多种情况时需比较做最优选择 新知探究 13 　　练习　旅行社开设一旅游团，20 人起组团，每人需缴费 2 100 元．旅行社 对超过 20 人的旅行团给予优惠：每增加 1 人，每人需缴费用降低 30 元．当旅 行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 　　　　　设旅行团人数在 20 人的基础上增加 x 人，旅行团的营业额为 y 元． 　　旅行团的营业额＝旅行团的人数×每人需缴费用 　　　　　　　　　　　　20　　 2 100 　　 y ＝ (20＋x) × (2 100－30x) 　　即 y＝－30x2＋1 500x＋42 000， 　　当 x ＝－ ＝－ ＝25 时，y 有最大值． 　　检验后，进一步算出此时的人数：45 人，最大营业额：60 750 元． 　　分析： +1 －30 0≤x≤70，x 为整数． 2a b 2×(－30) 1 500 不能为负 不能为负且为整数 符合自变量取值要求 课堂练习 14 　　解：设旅行团人数在 20 人的基础上增加 x 人，旅行团的营业额为 y 元． 　　y＝(20＋x)(2 100－30x)，即 y＝－30x2＋1 500x＋42 000， 　　其中，0≤x≤70，x 为整数． 　　当 x ＝－ ＝－ ＝25 时，y 有最大值，此时 y＝60 750， 20＋x＝45． 　　答：当旅行团的人数为 45 时，旅行社可获得最大营业额，最大营业 额是 60 750 元． 2a b 2×(－30) 1 500 课堂练习 15 　　回顾本节课所学主要内容，请思考以下问题： 　　（1）运用二次函数解决最大利润问题的一般步骤是什么？ 　　建立模型，求解最值，解释决策． 　　（2）建立函数模型时，需要注意什么？为什么要分情况讨论？怎样选择合 适的变量？ 　　需要注意自变量取值范围；当变化规则不同时需要分情况讨论；关键是根 据题目条件和所求找到它们之间的数量关系． 　　（3）本节课我们用到了哪些数学思想方法？ 　　建模思想、函数思想、分类讨论、转化以及一般与特殊等数学思想方法． 课堂小结 16 教科书第 53 页练习第 2 题． 课后任务 17 $