26.3 二次函数与一元二次方程 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.3 二次函数与一元二次方程 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t－5t2， 考虑以下问题： 情境导入 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：解方程 15=20t−5t2， t2−4t+3=0, t1=1，t2=3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？ h=20t−5t2 探究点1： 二次函数与一元二次方程的根之间的关系 新知探究 （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？ O h t 20 2 解方程： 20=20t−5t2, t2−4t+4=0, t1=t2=2. ∴当球飞行2s时，它的高度为20m. h=20t−5t2 探究点1： 二次函数与一元二次方程的根之间的关系 新知探究 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ O h t 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗? 20.5 解方程： 20.5=20t−5t2, t2−4t+4.1=0, 因为(−4)2−4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5m. h=20t−5t2 探究点1： 二次函数与一元二次方程的根之间的关系 新知探究 5 （4）球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 0=20t−5t2, t2−4t=0, t1=0，t2=4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 即0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面. 球从飞出到落地要用4s. h=20t−5t2 探究点1： 二次函数与一元二次方程的根之间的关系 新知探究 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c（a≠0）就是一个一元二次方程. 为一个常数 （定值） 探究点1： 二次函数与一元二次方程的根之间的关系 新知探究 7 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 探究点1： 二次函数与一元二次方程的根之间的关系 新知探究 例1 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达 到3m？为什么？ 探究点1： 二次函数与一元二次方程的根之间的关系 新知探究 解 （1）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始 位置的水平距离是1m或5m. （1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ 探究点1： 二次函数与一元二次方程的根之间的关系 新知探究 （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位 置的水平距离是3m. 探究点1： 二次函数与一元二次方程的根之间的关系 新知探究 （3）由抛物线的表达式得 即 因为Δ=(−6)2−4×1×14＜0 ， 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到3m. （3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 探究点1： 二次函数与一元二次方程的根之间的关系 新知探究 一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了. 探究点1： 二次函数与一元二次方程的根之间的关系 新知探究 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2−x+1=0无解 3 x2−6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x2+x−2=0，x1=−2，x2=1 探究点2： 二次函数与一元二次方程的根的判别式之间的关系 新知探究 14 想一想 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2−x+1； （2）y=x2−6x+9； （3）y=x2+x−2. 探究点2： 二次函数与一元二次方程的根的判别式之间的关系 新知探究 15 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2−4ac 有两个交点 有两个不相等 的实数根 b2−4ac > 0 有两个重合的交点 有两个相等的 实数根 b2−4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2−4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 探究点2： 二次函数与一元二次方程的根的判别式之间的关系 新知探究 16 例2 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0. ∴此抛物线与x轴总有交点. 探究点2： 二次函数与一元二次方程的根的判别式之间的关系 新知探究 (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 所以正整数m的值为1或2. 解得 x1＝1，x2＝ 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 探究点2： 二次函数与一元二次方程的根的判别式之间的关系 新知探究 【变式】已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴ ＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. 探究点2： 二次函数与一元二次方程的根的判别式之间的关系 新知探究 分析：一元二次方程 x²−2x−2=0 的根就是抛物线 y=x²−2x−2 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法. 例3 利用函数图象求方程x2−2x−2=0的实数根(结果保留小数点后一位). 探究点3： 一元二次方程的近似解 新知探究 解：画出函数 y=x²−2x−2 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在−1与0之间，另一个在2与3之间. 探究点3： 一元二次方程的近似解 新知探究 先求位于−1到0之间的根，由图象可估计这个根是−0.8或−0.7，利用计算器进行探索，见下表： x … −0.8 −0.7 … y … 0.24 −0.11 … 观察上表可以发现，当x分别取−0.8和−0.7时，对应的y由负变正，可见在−0.8与−0.7之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2−2x−2的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=−0.8或x=−0.7都符合要求.但当x=−0.7时更为接近0.故x1≈−0.7. 同理可得另一近似值为x2≈2.7. 探究点3： 一元二次方程的近似解 新知探究 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. (1)用描点法作二次函数的图象； (2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与x轴有两个交点,其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)； (3)确定方程的解； 由此可知，使二次函数的函数值更接近0的数，即为方程的近似解. 探究点3： 一元二次方程的近似解 【归纳总结】 新知探究 例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈−2.1，x2≈0.1 B．x1≈−2.5，x2≈0.5 C．x1≈−2.9，x2≈0.9 D．x1≈−3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝−1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝−1，则 ＝−1，∴x1＝2×(−1)−0.5＝−2.5.故x1≈−2.5，x2≈0.5.故选B. B 探究点3： 一元二次方程的近似解 新知探究 方法指导：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 探究点3： 一元二次方程的近似解 新知探究 问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 _____ _____； 不等式ax2+bx+c>0的解集是___________； 不等式ax2+bx+c<0的解集是_________. 3 -1 O x y x1=−1， x2=3 x<−1或x>3 −1<x<3 探究点4： 二次函数与不等式(拓展) 新知探究 【变式】 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=2的根是 ______________; 不等式ax2+bx+c>2的解集是___________; 不等式ax2+bx+c<2的解集是_________. 3 −1 O x 2 (4，2) (−2，2) x1=−2， x2=4 x<−2或x>4 −2<x<4 y 探究点4： 二次函数与不等式(拓展) 新知探究 问题2 如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______. 1 (2，0) x=2 探究点4： 二次函数与不等式(拓展) 新知探究 问题3 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ 0 解：（1）当a>0时， ax2+bx+c<0无解； （2）当a＜0时， ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 探究点4： 二次函数与不等式(拓展) 新知探究 x y O 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式. (1) ①−x2+x+2=0； ②−x2+x+2>0； ③−x2+x+2<0. (2) ①x2−4x+4=0； ②x2−4x+4>0； ③x2−4x+4<0. (3) ①−x2+x−2=0； ②−x2+x−2>0； ③−x2+x−2<0. 2 O x y -1 2 x y O y= −x2+x+2 x1=−1 , x2=2 −1 ＜ x＜2 x＜−1或 x＞2 x2−4x+4=0 x1=x2=2 x≠2的一切实数 x无解 −x2+x−2=0 x无解 x无解 x为全体实数 探究点4： 二次函数与不等式(拓展) 新知探究 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 a＞0 a＜0 有两个交点x1,x2 （x1＜x2） 有一个交点x0 没有交点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x＞x2或x＜x1 . y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x＞x2或x＜x1. y＞0,x0之外的所有实数；y＜0，无解 y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解. y＞0，所有实数； y＜0，无解 y＜0，所有实数； y＞0，无解 探究点4： 二次函数与不等式(拓展) 新知探究 1. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1＝5，x2＝－3，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点之间的距离为（　D　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D 随堂练习1 2. 已知二次函数y＝（x－a）（x－b）－2（a＜b）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，则下列结论正确的是（　C　） A. m＜a＜n＜b B. a＜m＜b＜n C. m＜a＜b＜n D. a＜m＜n＜b C 3. 若二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为 　x1＝－1，x2＝3　. （第3题） x1＝－1，x2＝3　 4. 已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则抛物线y＝x2＋4x＋m的顶点在（　C　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C 5. （易错题）已知关于x的函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　C　） A. k＞－ B. k≥－ 且k≠0 C. k≥－ D. k＞－ 且k≠0 C 6. 若点（2，m）在二次函数y＝ax2－3ax＋b（a，b为常数，且a≠0）的图象上，则关于x的一元二次方程ax2－3ax＋b＝m的两个实数根是（　B　） A. x1＝1，x2＝－1 B. x1＝1，x2＝2 C. x1＝1，x2＝0 D. x1＝1，x2＝3 B 7. 二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示.若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋m＝0的两个实数根异号，则m的取值范围是 　m＜0　. （第7题） m＜0　 8. 教材变式题 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1） 写出关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； 解：（1） x1＝1，x2＝3 （第8题） （2） 写出关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集； 解：（2） x＜1或x＞3 （3） 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝k有两个不等的实数根，求k的取值范围. 解：（3） k＜2 （第8题） 1. 根据下表判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个近似根是（　C　） x 2.4 2.5 2.6 2.7 ax2＋bx＋c 1.46 －0.79 0.32 4.79 A. 2.4 B. 2.5 C. 2.6 D. 2.7 C 随堂练习2 2. 如图所示为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点A（2.18，－0.56），B（2.68，0.54），则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的一个根可能是（　D　） A. 2.18 B. 2.68 C. －0.56 D. 2.45 D 3. 用计算器探索方程x2＋3x－5＝0的近似解时，小明发现当x＝1.2时，方程左边的值为0.04；当x＝1.1时，方程左边的值为－0.49，则方程的一个近似根为x＝ 　1.2　（精确到0.1）. 1.2　 4. 已知二次函数y＝x2－2x－3. （1） 请画出它的图象； 解：（1） 图象如图所示 （2） 利用（1）中的图象表示出方程x2－2x－1＝0的根，画在（1）中的图象上即可，要求保留画图痕迹. （第4题答案） 解：（2） 如图，x3，x4为方程x2－2x－1＝0的两个根 5. 用图象法求方程x2－2x－1＝0的近似根时，小明列出了下表： x 0 1 2 3 4 x2－2x－1 －1 －2 －1 2 7 根据表格，方程的一个根x1所在的范围是（　C　） A. 3＜x1＜4 B. 0＜x1＜1 C. 2＜x1＜3 D. 1＜x1＜2 C 6. 如果关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），那么a的取值范围是 　 － － ＜a＜－2 7. 下表是二次函数y＝x2＋2x－10的部分对应值： x 2 2.5 3 y －2 1.25 5 （1） 判断方程x2＋2x－10＝0的一个根在哪两个连续整数之间； 解：（1） 当x＝2时，y＝－2＜0；当x＝2.5时，y＝1.25＞0， ∴ 该方程的一个根在2和2.5之间，即在连续整数2和3之间 （2） 请进一步判断（1）中方程的这个根在哪两个连续一位小数之间. 解：（2） 取x＝2.2，则y＝2.22＋2×2.2－10＝－0.76＜0；取x＝2.3，则y＝2.32＋2×2.3－10＝－0.11＜0；取x＝2.4，则y＝2.42＋2×2.4－10＝0.56＞0.∴ 这个根在2.3和2.4之间 判别式Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集 不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集 x2 x1 x y O O x1= x2 x y x O y Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 x1 ; x2 x1 =x2 ＝－b/2a 没有实数根 x<x1或x>x2 x ≠ －b/2a的一切实数 所有实数 x1<x<x2 无解 无解 课堂小结 $