1.5 一元二次方程与实际问题 课时作业 2026-2027学年青岛版数学 九年级上册

青岛版九年级上册数学 第1章 一元二次方程

1.5 一元二次方程与实际问题 课时作业

班级：__________    姓名：__________    学号：__________    得分：__________

一、学习目标

1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界的有效模型．

2．掌握增长率（降低率）问题、面积问题、利润问题、传播问题、比赛（握手）问题等常见类型的解题方法．

3．能根据实际问题的意义检验所得结果是否合理，会舍去不合题意的根．

二、知识点梳理

知识点1　列一元二次方程解应用题的一般步骤

审：审清题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；设：设未知数（直接设或间接设）；列：找出等量关系，列出方程；解：解所列方程；验：检验方程的根是否符合实际意义；答：写出答案（注意单位）．

【注意】一元二次方程往往有两个根，要根据实际意义进行取舍．例如长度、面积、人数等必须为正数，件数、人数必须为正整数，增长率不能小于-100%，道路宽度不能超过场地的宽度等．

知识点2　平均增长率（降低率）问题

若原来的量为a，平均每次的增长率为x，则经过第一次增长后的量为a(1+x)，经过第二次增长后的量为a(1+x)²．若平均每次的降低率为x，则两次降低后的量为a(1-x)²．

即：a(1±x)²=b（其中a为起始量，b为终止量，“+”表示增长，“-”表示降低）．

知识点3　几何图形面积问题

(1) 道路问题：在矩形场地中修建宽度相同的道路时，常用“平移法”把道路移到边上，剩余部分拼成一个完整的矩形；

(2) 围栏问题：一边靠墙时，垂直于墙的两边长为x，平行于墙的一边长为(总长-2x)，且不能超过墙长；

(3) 边框问题：若边框宽为x，外框长为a、宽为b，则内部矩形长为(a-2x)、宽为(b-2x)；

(4) 动点问题：用含时间t的式子表示线段长度，再根据面积或长度关系列方程，注意t的取值范围．

知识点4　利润问题

利润=售价-进价；总利润=单件利润×销售量．

常见题型：“售价每涨（降）1元，销售量就减少（增加）m件”，设涨（降）价x元，则单件利润为(原利润±x)元，销售量为(原销量∓mx)件．

【注意】当方程有两个符合题意的解时，要根据“让顾客得到实惠”“尽快减少库存”等条件进行取舍．

知识点5　传播问题与比赛（握手）问题

(1) 传播问题：1个传染源，每轮每个传染源传染x个，则第一轮后共有(1+x)个，第二轮后共有(1+x)²个；

(2) 单循环比赛（握手、互通电话）：n个队（人）每两个之间只进行一次，总次数为；

(3) 双循环比赛（互赠礼物、互送照片）：每两个之间进行两次，总次数为n(n-1)．

典型例题

例1　某地2023年绿化面积为100公顷，2025年绿化面积达到144公顷．求该地绿化面积的年平均增长率．

【解析】设年平均增长率为x．根据题意，得100(1+x)²=144，即(1+x)²=1.44，所以1+x=±1.2，x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．

答：该地绿化面积的年平均增长率为20%．

例2　某种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒售价为16元．求平均每次降价的百分率．

【解析】设平均每次降价的百分率为x．根据题意，得25(1-x)²=16，(1-x)²=，1-x=±，x1==20%，x2=（大于1，不合题意，舍去）．

答：平均每次降价的百分率为20%．

例3　如图，用一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，墙的可用长度为18 m．若要使养鸡场的面积为160 m²，垂直于墙的边长x应为多少米？

【解析】垂直于墙的两边长均为x m，则平行于墙的一边长为(36-2x) m．根据题意，得x(36-2x)=160，整理得x²-18x+80=0，解得x1=8，x2=10．

当x=8时，36-2x=20>18，超过墙长，不合题意，舍去；当x=10时，36-2x=16<18，符合题意．

答：垂直于墙的边长为10 m（此时平行于墙的边长为16 m）．

例4　某商品每件进价30元，当售价为每件40元时，每天可卖出200件．市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖10件．若商店要使每天的利润为2160元，并且让顾客得到实惠，售价应定为多少元？

【解析】设每件涨价x元，则单件利润为(10+x)元，每天销售(200-10x)件．

根据题意，得(10+x)(200-10x)=2160，整理得x²-10x+16=0，解得x1=2，x2=8．

为了让顾客得到实惠，应取x=2，此时售价为40+2=42（元）．

答：售价应定为每件42元．

例5　有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．每轮传染中平均一个人传染了几个人？

【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人．第一轮后共有(1+x)人患病，第二轮后共有(1+x)+x(1+x)=(1+x)²人患病．根据题意，得(1+x)²=121，所以1+x=±11，x1=10，x2=-12（不合题意，舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．

三、基础巩固

（一）选择题

1．某工厂一月份利润为200万元，三月份利润为288万元，则该厂二、三月份利润的月平均增长率为（　　）