第五章 一元一次方程 知识清单 2026--2027学年人教版七年级数学上册

人教版新教材七年级上册数学第五章一元一次方程知识清单 第1课时 5.1.1 从算式到方程 一、学习目标 1. 理解方程、一元一次方程的概念，能识别一元一次方程； 2. 理解方程的解的概念，会检验一个数是不是某个方程的解； 3. 能根据简单实际问题中的数量关系列出一元一次方程。 二、知识要点 1. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 判断一个式子是不是方程，必须同时满足两个条件： （1）是等式（含有“=”号）； （2）含有未知数。 注意：方程一定是等式，但等式不一定是方程（如3+2=5是等式但不是方程）。 2. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，且等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 三个要素（缺一不可）： （1）只含一个未知数； （2）未知数的次数是1； （3）等号两边都是整式（分母中不含未知数）。 3. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验方法：把未知数的值代入方程左边和右边，分别计算结果，若左边=右边，则是方程的解；否则不是。 4. 列方程的一般步骤： （1）设未知数（用x表示）； （2）找等量关系； （3）根据等量关系列出方程。 三、典型例题 【例1】下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？ ① 3x-5=7；② 2+3=5；③ x+y=6；④ 2x-1；⑤ +1=3；⑥ x²=4。 解：方程有①③⑤⑥（都含未知数且是等式）； 其中一元一次方程有①⑤（③含两个未知数，⑥未知数次数为2）。 【例2】检验x=3是不是方程2x-5=1的解。 解：把x=3代入方程，左边=2×3-5=1，右边=1。 因为左边=右边，所以x=3是方程2x-5=1的解。 【例3】根据下列条件列方程： （1）x的3倍与5的和等于14； （2）某数的一半比它本身小3。 解：（1）3x+5=14； （2）设某数为x，则x=x-3。 四、易错警示 1. 误认为含未知数的式子就是方程——方程必须是等式（有“=”号），如2x+3不是方程。 2. 误认为分母含未知数的是一元一次方程——如=2不是一元一次方程（分母含未知数，不是整式方程）。 3. 检验方程的解时，必须分别代入左边和右边计算，不能只算一边就下结论。 五、巩固练习 1. 下列式子中是方程的是（ ）A. 3+5=8 B. 2x-1 C. x=0 D. 2x>3 2. 下列方程中是一元一次方程的是（ ）A. x+y=3 B. x²=4 C. 2x-1=5 D. =2 3. 检验x=2是不是方程3x-1=5的解。 4. 列方程：x的2倍比x的3倍小7。 5. 若方程(m-1)x|m|+3=0是一元一次方程，求m的值。 【参考答案】1. C。 2. C。 3. 左边=3×2-1=5=右边，是解。 4. 2x=3x-7。 5. |m|=1且m-1≠0，故m=-1。 第2课时 5.1.2 等式的性质 一、学习目标 1. 理解并掌握等式的两条基本性质； 2. 能运用等式的性质对等式进行变形； 3. 会用等式的性质解简单的一元一次方程。 二、知识要点 1. 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 即：如果a=b，那么a±c=b±c。 2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 即：如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b（c≠0），那么=。 注意：等式两边不能除以0，因为0不能作除数。 3. 用等式的性质解方程的思路：通过变形，把方程逐步化为x=a（常数）的形式。 三、典型例题 【例1】用等式的性质解方程： （1）x+5=8；（2）-3x=12；（3）2x-4=6。 解：（1）两边减5，得x=8-5=3； （2）两边除以-3，得x=12÷(-3)=-4； （3）两边加4，得2x=10；两边除以2，得x=5。 【例2】下列变形正确的是（ ） A. 由a=b得a+2=b-2 B. 由a=b得-2a=-2b C. 由=0得a=3 D. 由a=b得= 解：A错（两边加的数不同）；B对；C错（两边乘3得a=0）；D错（未说明c≠0）。选B。 四、易错警示 1. 运用性质1时，两边必须加（或减）同一个数或式子，不能一边加一边减。 2. 运用性质2时，两边除以同一个数，这个数不能为0。 3. 等式两边乘0可以（结果都是0），但除以0无意义。 五、巩固练习 1. 由等式3x=2x+5两边减____，得x=5。 2. 由等式-4x=16两边除以____，得x=-4。 3. 用等式的性质解方程：x-7=3。 4. 用等式的性质解方程：-=2。 5. 下列变形正确的是（ ）A. 若ac=bc，则a=b B. 若a=b，则a-3=b-3 C. 若a=b，则= D. 若a²=a，则a=1 【参考答案】1. 2x。 2. -4。 3. x=10。 4. x=-6。 5. B（A需c≠0，C需c≠0，D还可能a=0）。 第3课时 5.2.1 合并同类项解一元一次方程 一、学习目标 1. 掌握合并同类项解一元一次方程的方法； 2. 理解“合并同类项”在解方程中的作用； 3. 能解ax+bx=c型的一元一次方程。 二、知识要点 1. 合并同类项的依据：乘法分配律。 把方程中含有未知数的项合并成一项，常数项合并成一项，使方程简化为mx=n（m≠0）的形式。 2. 解方程步骤： （1）合并同类项：把含x的项合并，常数项合并； （2）系数化为1：两边同除以未知数的系数，得x=。 3. 应用题关键：总量=各部分量之和。 三、典型例题 【例1】解方程：5x+3x=16。 解：合并同类项，得8x=16； 系数化为1，得x=2。 【例2】解方程：4x-1.5x+2.5x=-15。 解：合并同类项，得(4-1.5+2.5)x=-15，即5x=-15； 系数化为1，得x=-3。 【例3】某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了2组。这个班共有多少人？ 解：设这个班共有x人。 根据题意： - = 2 合并同类项：=2，即=2； 得x=48。答：这个班共有48人。 四、易错警示 1. 合并同类项时，注意符号：x-3x=-2x，不是x-3x=-3x。 2. 系数化为1时，两边除以的是未知数的系数，注意不要除反。 五、巩固练习 1. 方程3x+2x=10的解是____。 2. 方程-4x+6x=2的解是____。 3. 解方程：7x-2x=15。 4. 解方程：2.5x-1.5x=8。 5. 某数的3倍与它的2倍的和是45，求这个数。 【参考答案】1. x=2。 2. x=1。 3. x=3。 4. x=8。 5. 设这个数为x，3x+2x=45，x=9。 第4课时 5.2.2 移项解一元一次方程 一、学习目标 1. 理解移项的依据和移项法则； 2. 掌握移项解一元一次方程的步骤； 3. 能解ax+b=cx+d型的一元一次方程。 二、知识要点 1. 移项的定义：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 依据：等式的性质1（两边同加或同减同一个数或式子）。 2. 移项法则：移项要变号。 即：把某项从等号一边移到另一边时，“+”变“-”，“-”变“+”。 3. 解方程步骤： （1）移项：含未知数的项移到左边，常数项移到右边； （2）合并同类项； （3）系数化为1。 三、典型例题 【例1】解方程：3x+5=2x-1。 解：移项，得3x-2x=-1-5； 合并同类项，得x=-6。 【例2】解方程：5x-7=3x+5。 解：移项，得5x-3x=5+7； 合并同类项，得2x=12； 系数化为1，得x=6。 【例3】某班分图书，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本。这个班有多少学生？ 解：设这个班有x名学生。 根据图书总数相等：3x+20=4x-25； 移项：3x-4x=-25-20； 合并：-x=-45；系数化为1：x=45。 答：这个班有45名学生。 四、易错警示 1. 移项必须变号！没有移动的项不变号。如3x+5=2x-1中，3x不变号移到右边是3x-2x，+5移到右边是-5。 2. 不要把“移项”和“交换项的位置”混淆——等号同一边交换位置不算移项，不需要变号。 五、巩固练习 1. 方程2x-4=x+1移项后得____。 2. 方程5x=2x+9的解是____。 3. 解方程：4x-3=2x+7。 4. 解方程：6-3x=2x。 5. 甲仓库有粮食120吨，乙仓库有粮食90吨，从甲仓库调运多少吨到乙仓库后，甲仓库粮食是乙仓库的一半？ 【参考答案】1. 2x-x=1+4。 2. x=3。 3. x=5。 4. x=。 5. 设调运x吨，120-x=，解得x=50。 第5课时 5.2.3 去括号解一元一次方程 一、学习目标 1. 掌握去括号法则在解方程中的应用； 2. 能解含括号的一元一次方程； 3. 进一步熟悉解方程的完整步骤。 二、知识要点 1. 去括号法则： （1）括号前是“+”号，去括号后各项不变号； （2）括号前是“-”号，去括号后各项都变号； （3）括号前有数字因数时，用分配律乘遍括号内每一项。 2. 解方程步骤： 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。 三、典型例题 【例1】解方程：2(x-1)=x+3。 解：去括号，得2x-2=x+3； 移项，得2x-x=3+2； 合并，得x=5。 【例2】解方程：3(x-2)-2(2x+1)=5。 解：去括号，得3x-6-4x-2=5； 合并同类项，得-x-8=5； 移项，得-x=13；系数化为1，得x=-13。 【例3】一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶用了2.5小时。已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的平均速度。 解：设船在静水中速度为x千米/时。 顺流速度(x+3)，逆流速度(x-3)，路程相等： 2(x+3)=2.5(x-3)； 去括号：2x+6=2.5x-7.5； 移项：6+7.5=2.5x-2x，即13.5=0.5x；得x=27。 答：船在静水中速度为27千米/时。 四、易错警示 1. 括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号，只变第一项是常见错误。 2. 括号前有数字因数时，不要漏乘括号内的每一项。如-2(2x+1)=-4x-2，不是-4x+1。 五、巩固练习 1. 方程2(x+1)=6的解是____。 2. 解方程：3(x-1)=x+3。 3. 解方程：4(x-2)-3(2x+1)=5。 4. 解方程：2(x-3)=5-(x+1)。 【参考答案】1. x=2。 2. x=3。 3. 4x-8-6x-3=5，-2x=16，x=-8。 4. 2x-6=5-x-1，3x=10，x=10/3。 第6课时 5.2.4 去分母解一元一次方程 一、学习目标 1. 掌握去分母解一元一次方程的方法； 2. 能解含分母的一元一次方程； 3. 掌握解一元一次方程的一般步骤。 二、知识要点 1. 去分母的方法：方程两边同乘各分母的最小公倍数，约去分母。 依据：等式的性质2。 2. 解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母：两边同乘各分母的最小公倍数； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）系数化为1。 注意：步骤不一定全部用到，根据方程特点灵活安排。 三、典型例题 【例1】解方程：-=1。 解：两边乘6（2和3的最小公倍数），得3(x-1)-2(2x+3)=6； 去括号：3x-3-4x-6=6； 合并：-x-9=6；移项：-x=15；得x=-15。 【例2】解方程：-=1。 解：两边乘6，得2(2x+1)-(5x-1)=6； 去括号：4x+2-5x+1=6； 合并：-x+3=6；移项：-x=3；得x=-3。 四、易错警示 1. 去分母时，方程两边每一项都要乘最小公倍数，没有分母的项不要漏乘。 2. 分子是多项式时，去分母后分子要加括号。如(x-1)/2乘6得3(x-1)，不是3x-1。 五、巩固练习 1. 方程=3的解是____。 2. 解方程：=x-1。 3. 解方程：-=1。 4. 解方程：-1=。 【参考答案】1. x=6。 2. 两边乘2：x+1=2x-2，x=3。 3. 两边乘6：2(2x-1)-3(x+2)=6，4x-2-3x-6=6，x=14。 4. 两边乘12：3(3x-1)-12=2(5x-7)，9x-3-12=10x-14，-x=1，x=-1。 第7课时 5.3.1 配套与工程问题 一、学习目标 1. 掌握配套问题中的数量关系； 2. 掌握工程问题中的基本关系； 3. 能列一元一次方程解决配套和工程实际问题。 二、知识要点 1. 配套问题： 关键是找出配套比例关系。如1个桌配4条腿，则桌数×4=腿数。 2. 工程问题： 基本关系：工作量=工作效率×工作时间。 通常把总工作量设为1，若甲单独做a天完成，则甲的工作效率为。 三、典型例题 【例1】某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 解：设安排x名工人生产螺钉，则(22-x)名生产螺母。 螺母总数=螺钉总数×2： 2000(22-x)=2×1200x； 去括号：44000-2000x=2400x； 移项：44000=4400x；得x=10。 生产螺母：22-10=12（名）。 答：应安排10名工人生产螺钉，12名生产螺母。 【例2】一件工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。两人合作需几天完成？ 解：设两人合作需x天完成。 甲效率，乙效率，列方程： (+)x=1； x=1；得x=6。 答：两人合作需6天完成。 四、易错警示 1. 配套问题要搞清楚谁是谁的几倍，不要把比例搞反。 2. 工程问题中，总工作量设为1时，效率是天，不要写成a。 五、巩固练习 1. 某家具厂生产方桌，1立方米木材可做50个桌面或300条桌腿。现有5立方米木材，怎样分配才能使桌面和桌腿刚好配套？（1桌面配4条腿） 2. 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲先做5天后，甲乙合作还需几天完成？ 【参考答案】1. 设x立方米做桌面，(5-x)做桌腿，4×50x=300(5-x)，200x=1500-300x，x=3，5-x=2。3立方米做桌面，2立方米做桌腿。 2. 设还需x天，+(+)x=1，+=1，x=9。 第8课时 5.3.2 销售与盈亏问题 一、学习目标 1. 理解进价、售价、利润、利润率等概念； 2. 掌握销售问题中的等量关系； 3. 能列方程解决打折销售和盈亏问题。 二、知识要点 1. 基本概念： 进价（成本）：购进商品的价格； 售价：卖出商品的价格； 利润=售价-进价； 利润率=利润/进价×100%； 打几折：售价=标价×折扣/10。 2. 盈亏判断：售价>进价盈利，售价<进价亏损。 三、典型例题 【例1】一件商品进价为200元，按标价的8折销售，仍可获利40元。求该商品的标价。 解：设标价为x元。 售价=0.8x，利润=售价-进价： 0.8x-200=40；0.8x=240；x=300。 答：该商品标价为300元。 【例2】某商店以每件60元的价格卖出两件衣服，一件盈利25%，另一件亏损25%。卖这两件衣服总的是盈利还是亏损？ 解：设盈利那件进价x元，x+0.25x=60，1.25x=60，x=48； 设亏损那件进价y元，y-0.25y=60，0.75y=60，y=80； 总进价=48+80=128元，总售价=60+60=120元； 120-128=-8元，总体亏损8元。 四、易错警示 1. 利润率是相对于进价而言的，不是相对于售价。 2. 打8折是乘0.8，不是乘8。 五、巩固练习 1. 某商品进价100元，售价120元，利润率是____。 2. 一件商品标价200元，打9折出售，售价是____元。 3. 某商品进价150元，按标价的7折出售仍获利30元，求标价。 【参考答案】1. 20%。 2. 180。 3. 设标价x元，0.7x-150=30，0.7x=180，x≈257.14元。 第9课时 5.3.3 行程问题 一、学习目标 1. 掌握行程问题中的基本关系； 2. 能解决相遇问题和追及问题； 3. 能解决航行问题和环形跑道问题。 二、知识要点 1. 基本关系：路程=速度×时间。 2. 相遇问题：两人相向而行，相遇时路程和=总距离。 3. 追及问题：同向而行，快者追上慢者时，路程差=初始距离。 4. 航行问题： 顺水速度=静水速度+水流速度； 逆水速度=静水速度-水流速度。 三、典型例题 【例1】甲、乙两地相距300千米，一辆快车从甲地开出，速度为60千米/时；一辆慢车从乙地开出，速度为40千米/时。两车同时出发相向而行，经过几小时相遇？ 解：设经过x小时相遇。 60x+40x=300；100x=300；x=3。 答：经过3小时相遇。 【例2】甲、乙两人同向而行，甲在乙后面30千米。甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时。甲经过几小时追上乙？ 解：设经过x小时甲追上乙。 60x-40x=30；20x=30；x=1.5。 答：甲经过1.5小时追上乙。 四、易错警示 1. 相遇问题找路程和，追及问题找路程差，不要混淆。 2. 航行问题注意顺水和逆水速度的区别。 五、巩固练习 1. A、B两地相距480千米，快车从A地、慢车从B地同时出发相向而行，快车速度80千米/时，慢车速度60千米/时，经过____小时相遇。 2. 甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，甲让乙先跑5米，甲经过____秒追上乙。 3. 一艘船顺水航行3小时的路程=逆水航行5小时的路程，已知水流速度2千米/时，求船在静水中的速度。 【参考答案】1. =≈3.43小时。 2. 设x秒追上，7x-6.5x=5，0.5x=5，x=10。 3. 设静水速度x，3(x+2)=5(x-2)，3x+6=5x-10，2x=16，x=8千米/时。 第10课时 5.3.4 积分与计费问题 一、学习目标 1. 理解比赛积分问题中的等量关系； 2. 掌握分段计费问题的解题方法； 3. 能列方程解决积分和计费实际问题。 二、知识要点 1. 比赛积分问题：总积分=胜场积分+平场积分+负场积分。 常见赛制：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。 2. 分段计费问题： 如出租车费、水电费、电话费等，不同区间单价不同。 解题关键：按不同区间分段计算费用，再求和等于总费用。 三、典型例题 【例1】某足球队参加联赛，共赛14场，负5场，得19分。已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。求该队胜了几场？ 解：设胜了x场，则平了(14-5-x)=(9-x)场。 3x+(9-x)=19； 3x+9-x=19；2x=10；x=5。 答：该队胜了5场。 【例2】出租车收费标准：起步价8元（3千米以内），超过3千米后每千米1.8元。某人乘车付费17元，求他乘车行驶了多少千米？ 解：设行驶了x千米（x>3）。 8+1.8(x-3)=17； 1.8(x-3)=9；x-3=5；x=8。 答：他乘车行驶了8千米。 四、易错警示 1. 积分问题要注意总场数=胜场+平场+负场，不要漏掉负场。 2. 分段计费中，起步价内和起步价外的计算不要重复或遗漏。 五、巩固练习 1. 某班篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分。该班赛了8场得13分，胜了____场。 2. 某市水费：每户每月用水不超过10吨，每吨2元；超过10吨，超过部分每吨3元。某户5月交水费32元，用水多少吨？ 【参考答案】1. 设胜x场，2x+(8-x)=13，x=5。 2. 设用水x吨，10×2+3(x-10)=32，20+3x-30=32，3x=42，x=14吨。 学科网（北京）股份有限公司 $