第11讲认识方程（5.1～5.3）专题讲义 2026--2027学年湘教版七年级数学上册

第5章 一元一次方程　第11讲 认识方程(5.1~5.3) 第5章 一元一次方程 第11讲 认识方程(5.1~5.3) 专题讲义 A组 1. 下列各式中： ①2x-1=5； ②4+8=12； ③5y+8；④2x+3y>0； ⑤； ⑥。是方程的是（　　） A. ①④ B. ②③⑤ C. ①④⑤ D. ①⑤⑥ 2. 下列方程中是一元一次方程的是（　　） B. x+5=x+9 C. x+9=2x-10 3. 下列方程中，解是t=2的方程是（　　） A. 2t=8 B. 2t+3=9-t C. 2t-3=9-t 4. 已知x=-2是方程的解，则的值为（　　） A. 0 B. 6 C. -6 D. -18 5. 如果a=b，那么下列结论中不一定成立的是（　　） B. a-b=0 C. 2a=a+b 6. 请你写出一个解为x=4的一元一次方程，你写出的方程是＿＿＿。 7. 用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式。 (1)如果2x+7=10，那么2x=10-＿＿＿。 (2)如果-3x=8，那么x=＿＿＿。 (3)如果，那么x=＿＿＿。 (4)如果，那么a=＿＿＿。 8. 若是关于x的一元一次方程，则m=＿＿＿。 9. 若x=3是关于x的方程ax-2b=3的解，则6a-4b+2025的值为＿＿＿。 10. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为＿＿＿。 11. 小周学习“5.2 等式的基本性质”后，对等式5m-2=3m-2进行变形，得出“5=3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周的具体过程如下所示： 将等式5m-2=3m-2变形， 得5m=3m(第1步)， 所以5=3(第2步)。 (1)哪一步等式变形产生错误？ (2)请你分析产生错误的原因。 12. 已知关于x的方程是一元一次方程。 (1)求k的值。 (2)求出这个一元一次方程的解。 13. a，b，c三个物体的质量如图所示，请回答下列问题： (1)a，b，c三个物体就单个而言，哪个最重？ (2)若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c？ B组 14. 多项式mx-n和-2mx+n(m，n为实数，且m≠0)的值由x的取值决定，下表是当x取不同值时多项式对应的值，则关于x的方程-mx+n=2mx-n的解是（　　） A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4 15. 下面的说法中，正确的是（　　） A. 若，则a=3 B. 若，则x=2 C. 若|x|=|y|，则x=y D. 若，则x=y 16. 已知a(c-1)=c-1，a≠1，求的值为＿＿＿。 17. 现有四个整式：，，，-6。 (1)若选择其中两个整式用等号连接，则共能组成＿＿＿个方程。 (2)请列出(1)中所有的一元一次方程，并用等式的性质解方程。 18. 在做解方程练习时，有一个方程“+■”，题中■处不清晰，李明问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x=2时整式5(x-1)-2(x-2)-4的值相同。”依据老师的提示，请你帮李明找到“■”这个有理数，并求出方程的解。 19. 已知x=3是方程的解，m，n满足关系式|2n+m|=1，求m+n的值。 C组 20. 设a，b，c为互不相等的数，且，则下列结论正确的是（　　） A. a>b>c B. c>b>a C. a-b=4(b-c) D. a-c=5(a-b) 21. 已知杠杆平衡条件公式，其中，，，均不为零，用，，的代数式表示，下列各式正确的是（　　） 22. 如图，将9个数放入“”内，使得每条边上3个“◯”内数字之和相等，分别记这9个数为a，b，c，d，e，f，m，n，k，可以得到a+b+c=c+d+e=e+f+a=⋯=d+k+f，则用等式表示b，c，e，f四个数之间的数量关系是＿＿＿，a，m，d三个数之间的数量关系是＿＿＿。 23. 定义：若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”。 (1)判断当k=1时是否为方程的“友好系数”，写出判断过程。 (2)方程的“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由。 24. 方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”。方程的解的个数会有哪些可能呢？ (1)根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程的解的个数为＿＿＿。 (2)根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知，方程(x+1)(x-2)(x-3)=0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解。 (3)结合数轴，探索方程|x+1|+|x-3|=4的解的个数(写出结论，并说明理由)。 (4)进一步可以发现，关于x的方程|x-1|+|x-3|=m(m为常数)的解的个数随着m的变化而变化……请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况。 参考答案 A组 1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. 2x=8(答案不唯一) 7. (1)7 (3)y (4)8 8. 3 9. 2031 10. 10x+3(5-x)=30 11. (1)第2步等式变形产生错误。 (2)第2步产生错误的原因是：等式两边同时除以一个可能等于0的m，等式不成立。 12. (1)因为关于x的方程是一元一次方程，所以|k|-3=0且k-3≠0，解得k=-3。 (2)把k=-3代入方程，得6x+6=0，解得x=-1，所以方程的解为x=-1。 13. (1)根据图示知2a=3b，2b=3c。所以，，所以。因为a>0，b>0，c>0，所以，所以a>b>c。所以a，b，c三个物体就单个而言，a最重。 (2)由(1)知，所以4a=9c，所以若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放4个物体a和9个物体c。 B组 14. B 15. D 16. 0 17. (1)若选择其中两个整式用等号连接，，，，，。则共能组成5个方程。故答案为5。 (2)一元一次方程有，。，方程两边同时乘5，得，方程两边同时减去1，得。，方程两边同时乘5，得x+1=-30，方程两边同时减去1，得x=-31。 18. 当x=2时，整式5(x-1)-2(x-2)-4=5×(2-1)-2×(2-2)-4=1。因为方程的解与当x=2时整式5(x-1)-2(x-2)-4的值相同，所以方程的解为y=1。当y=1时，+■。解得■。答：“■”这个有理数为，方程的解为y=1。 19. 因为x=3是方程的解，把x=3代入方程，得，解得m=-4，再把m=-4代入|2n+m|=1，得|2n-4|=1，解得或，所以或。 C组 20. D 21. C 22. b+c=e+f m+d=2a 【解析】因为a+b+c=e+f+a，所以b+c=e+f。因为a+b+c=c+d+e，所以a+b=d+e， ① 因为e+f+a=b+m+f，所以e+a=b+m， ② 由②得e=b+m-a， ③ 将③代入①得a+b=d+b+m-a，即m+d=2a。故答案为b+c=e+f；m+d=2a。 23. (1)当k=1时，原方程化为，解得x=6，即当k=1时，方程的解为整数。根据新定义可得k=1是方程的“友好系数”。 ，方程的解为，因为x为整数，此时k的值为1，0，，，2，-1，，，其中k为整数才称为“友好系数”，所以k的值为1，0，2，-1，所以方程“友好系数”的个数是有限个数，分别为1，0，2，-1。 24. (1)0 ，，。 (3)有无数个解。理由如下：|x+1|表示x到-1的距离，|x-3|表示x到3的距离，由于数轴上-1到3的距离是4，所以x在-1和3之间，所以方程的解为-1≤x≤3中任意一个数，即有无数个解。 (4)由绝对值的几何意义可知，当m<2时，方程无解；当m=2时，方程有无数个解；当m>2时，方程有2个解。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $