第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修一 第一章《空间向量与立体几何》单元检测卷 满分 150 分　考试时间 120 分钟　 学校＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿＿ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡（卷）指定位置。 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸上无效。 4．非选择题的作答：用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡（卷）上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。 5．本卷所有立体图形均为示意图，不按比例绘制。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在空间四边形 中，（　　） A． B． C． D． 2．已知 三点不共线， 为空间中不与 重合的一点，且对空间任意一点 都有 ，则（　　） A． 四点共面 B．点 在平面 外 C．点 与 中的某一点重合 D．以上结论都不正确 3．已知空间向量 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知点 ，，则与 同方向的单位向量是（　　） A． B． C． D． 5．若平面 的一个法向量为 ，直线 的方向向量为 ，且 ，则 可以是（　　） A． B． C． D． 6．如图 1，在正方体 - 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A．B．C．D． 图 1 7．已知空间三点 ，，，则原点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 8．如图 2，在棱长为 的正方体 - 中， 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A．B．C．D． 图 2 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知 是空间的一组基底，则下列向量组中能构成空间的一组基底的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．已知平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，则（　　） A． B． C． 或 在平面 内 D．直线 与平面 所成角的正弦值为 11．如图 1（同第 6 题图），在正方体 - 中，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知 ，，若 与 互相垂直，则 ＿＿＿＿＿． 13．已知 是空间的一组基底，且 ，，，若 ，则 ＿＿＿＿＿． 14．已知点 ，，，，则平面 与平面 所成角的余弦值为＿＿＿＿＿． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知空间向量 ，，，． （1）求 与 ； （2）判断 能否构成空间的一组基底，并说明理由； （3）若 ，求 的值及 ． 16．（15 分）如图 3，在直三棱柱 - 中，，，， 为 的中点． （1）证明：； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值． 图 3 17．（15 分）如图 4，在四棱锥 - 中，底面 是边长为 的正方形， 平面 ，， 为棱 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离． 图 4 18．（17 分）如图 5，在四棱锥 - 中，底面 是直角梯形，，，，， 平面 ，． （1）证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 所成角的余弦值； （3）在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 图 5 19．（17 分）如图 6，在棱长为 的正方体 - 中， 为棱 的中点， 为线段 上的动点． （1）证明： 平面 ； （2）求线段 长的最小值，并指出此时点 的位置； （3）当 为 的中点时，求点 到平面 的距离． 图 6 参考答案与详细解析 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1．【答案】A　 【解析】，而 ，所以原式 ．故选 A． 2．【答案】A　 【解析】因为 ，由空间四点共面的判定（若 不共线，则 在平面 内的充要条件是对任意一点 有 且 ），知点 在平面 内，即 四点共面．故选 A． 3．【答案】A　 【解析】，由 得 ，故 ．故选 A． 4．【答案】A　 【解析】，．与 同方向的单位向量为 ．故选 A． 5．【答案】B　 【解析】 时，方向向量 与法向量 垂直，即 ．逐项验证：A 中 ；B 中 ；C 中 ；D 中 ．故选 B． 6．【答案】C　 【解析】以 为原点， 为 轴正方向建系（棱长记为 ），则 ，，，，，．设所成角为 ，，所以 ．故选 C． 7．【答案】A　 【解析】设平面 的方程为 ，化为一般式 ．原点 到平面 的距离 ．故选 A． 8．【答案】A　 【解析】建系同第 6 题，棱长为 ，则 ，，，．平面 的法向量 ，设所成角为 ，则 ．故选 A． 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分） 9．【答案】ABD　 【解析】各选项中，设 表示对应选项中的三个向量，令 （）． A 中 ，因 是基底，得 ，，，解得 ，线性无关，能作基底； B 中 ，得 ，，，即 ，线性无关，能作基底； C 中 ，三个向量之和为零向量，线性相关，不能作基底； D 中 得 ，线性无关，能作基底．故选 ABD． 10．【答案】ACD　 【解析】 A 中 ，所以 ，A 正确； B 中 要求 ，而 与 不成比例，B 错误； C 中 ，所以 或 在平面 内，C 正确； D 中设 与 所成角为 ，，D 正确．故选 ACD． 11．【答案】ACD　 【解析】建系（棱长记为 ）：，，，，，，，． A 中 ，A 正确； B 中 ，，，B 错误； C 中 ，，即 ，C 正确； D 中 ，，D 正确．故选 ACD． 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．【答案】　 【解析】，．由两向量垂直得 ，所以 ． 13．【答案】　 【解析】由 得 ， 即 ． 因 是基底，比较系数得 ，，．由前两式解得 ，，代入第三式成立，所以 ． 14．【答案】　 【解析】平面 的方程为 ，法向量 ．平面 中 ，，取法向量 （，）．设两平面所成角为 ，则 ． 四、解答题（共 77 分） 15．（13 分） （1）（4 分）； ，． （2）（4 分）能构成空间的一组基底．理由：设 ，即 ，所以 ，，，解得 ，故 线性无关（即不共面），可作为空间的一组基底． （3）（5 分）由 得 ，即 三式相加得 ，所以 ，于是 ，，．即 ，，，此时 ．又 ． 16．（15 分） 建系：因为 ，以 为原点， 为 轴正方向建立空间直角坐标系，则 （1）（5 分），． 因为 ，所以 ． （2）（5 分），．设异面直线 与 所成角为 ，则 （3）（5 分）平面 即平面 ，其法向量 ．设直线 与平面 所成角为 ，则 17．（15 分） 建系：以 为原点， 为 轴正方向，则 （1）（7 分）连接 交 于点 ，因为底面 是正方形，所以 是 的中点，．又 是 的中点，所以 是 的中位线，． 因为 在平面 内， 不在平面 内，所以 平面 ． （向量法），，取平面 的法向量 ，则 ，．而 ，，又 ，即 不在平面 内，故 平面 ． （2）（8 分），，取 ，则 ，，所以 是平面 的法向量．平面 的方程为 ，即 ． 所以点 到平面 的距离 18．（17 分） 建系：由 及 平面 ，以 为原点， 为 轴正方向，则 （1）（5 分），，因为 ，所以 ． 又 平面 ， 在平面 内，所以 ． 因为 ， 都在平面 内，所以 平面 ．又 在平面 内，所以平面 平面 ． （2）（6 分）平面 即平面 ，法向量 ． ，，取 ，则 ，，所以 是平面 的法向量． 设平面 与平面 所成角为 ，则 （3）（6 分）存在．设 （），由 得 ． ，，取平面 的法向量 （可由 得到）．平面 的法向量为 ．设两平面所成角为 ，则 令 ，得 ，即 ，亦即 ． 因为 ，解得 ． 所以存在满足条件的点 ，此时 ． 19．（17 分） 建系：以 为原点， 为 轴正方向，则 （1）（5 分）．平面 内两条相交直线 、 的方向向量分别为 ，． 因为 ，，且 ，所以 平面 ． （2）（6 分）设 （），由 得 ． ， 所以当 时 取得最小值 ，此时点 为线段 的中点（即 ）． （3）（6 分）当 为 的中点时 ．，，取平面 的法向量 所以平面 的方程为 ，即 ． 所以点 到平面 的距离 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学选择性必修一 第一章《空间向量与立体几何》单元检测卷 满分 150 分　考试时间 120 分钟　 学校＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿＿ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡（卷）指定位置。 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸上无效。 4．非选择题的作答：用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡（卷）上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。 5．本卷所有立体图形均为示意图，不按比例绘制。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在空间四边形 中，（　　） A． B． C． D． 2．已知 三点不共线， 为空间中不与 重合的一点，且对空间任意一点 都有 ，则（　　） A． 四点共面 B．点 在平面 外 C．点 与 中的某一点重合 D．以上结论都不正确 3．已知空间向量 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知点 ，，则与 同方向的单位向量是（　　） A． B． C． D． 5．若平面 的一个法向量为 ，直线 的方向向量为 ，且 ，则 可以是（　　） A． B． C． D． 6．如图 1，在正方体 - 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A．B．C．D． 图 1 7．已知空间三点 ，，，则原点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 8．如图 2，在棱长为 的正方体 - 中， 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A．B．C．D． 图 2 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知 是空间的一组基底，则下列向量组中能构成空间的一组基底的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．已知平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，则（　　） A． B． C． 或 在平面 内 D．直线 与平面 所成角的正弦值为 11．如图 1（同第 6 题图），在正方体 - 中，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知 ，，若 与 互相垂直，则 ＿＿＿＿＿． 13．已知 是空间的一组基底，且 ，，，若 ，则 ＿＿＿＿＿． 14．已知点 ，，，，则平面 与平面 所成角的余弦值为＿＿＿＿＿． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知空间向量 ，，，． （1）求 与 ； （2）判断 能否构成空间的一组基底，并说明理由； （3）若 ，求 的值及 ． 16．（15 分）如图 3，在直三棱柱 - 中，，，， 为 的中点． （1）证明：； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值． 图 3 17．（15 分）如图 4，在四棱锥 - 中，底面 是边长为 的正方形， 平面 ，， 为棱 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离． 图 4 18．（17 分）如图 5，在四棱锥 - 中，底面 是直角梯形，，，，， 平面 ，． （1）证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 所成角的余弦值； （3）在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 图 5 19．（17 分）如图 6，在棱长为 的正方体 - 中， 为棱 的中点， 为线段 上的动点． （1）证明： 平面 ； （2）求线段 长的最小值，并指出此时点 的位置； （3）当 为 的中点时，求点 到平面 的距离． 图 6 学科网（北京）股份有限公司 $