26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第2课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2 二次函数的图象和性质 第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数y=a(x−h)2+k的图象和性质 第2课时　二次函数y=a(x−h)2的图象和性质 人教版九年级上册 回顾导入 a,c的符号 a>0，c>0 a>0，c<0 a<0，c>0 a<0，c<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，c） （0，c） 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时， y随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. x=0时，y最小值=c x=0时，y最大值=c 问题1 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征. 回顾导入 问题2 二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a≠0)的图象有何关系？ 答：二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0) 的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移- k个单位长度得到. 问题3 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？ 回顾导入 引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 解：先列表： x ··· −3 −2 −1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 探究点1： 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质 新知探究 x y −4 −3 −2 −1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 探究点1： 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质 新知探究 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 y轴 x =2 (0,0) (2,0) 根据所画图象，填写下表： 探究点1： 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质 新知探究 试一试：画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· −3 −2 −1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· −2 −4.5 −2 0 0 −2 −2 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 −4.5 O x y −8 −8 探究点1： 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质 新知探究 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线x=-1 ( −1 , 0 ) 直线x=0 直线x=1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1, 0) 想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？ 探究点1： 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质 新知探究 二次函数 y=a(x-h)2(a≠0)的性质 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,0） （h,0） 最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 探究点1： 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质 新知探究 (1)完成下表； x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … (2)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象． 例1 已知二次函数y＝ (x﹣1)2． ﹣1 0 1 2 3 2 0 2 解：描点，画出该二次函数图象如下： 探究点1： 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质 新知探究 （3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （4）当x取何值时，y随x的增大而增大； （3）对称轴为直线x=1. 顶点坐标为(1,0). （4）当x＞1时，y随x的增大而增大. 探究点1： 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质 新知探究 （5）若3≤x≤5，求y的取值范围； 想一想：若−1≤x≤5，求y的取值范围； （5）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2;当x=5时，y=8, ∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8. ∵当−1≤x≤5时，y的最小值为0， ∴当−1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤8. 注意：已知自变量取值范围，求函数值的范围时，注意该函数是否在自变量取值范围内取最值 探究点1： 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质 新知探究 （6）若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小． ∵m＞1，∴1＜m＜m+1， 变式：若点A(m，y1)，B(m+1，y2)在抛物线的图象上，且m＞1，试比较y1，y2的大小，并说明理由． （6）∵当x＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2. ∵当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2. 探究点1： 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质 新知探究 向右平移 1个单位 问题：抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 向左平移 1个单位 探究点2： 二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 二次函数 y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系 可以看作互相平移得到. 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. y=a(x-h)2 当向左平移 ︱h︱ 时 y=a(x+h)2 当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2 探究点2： 二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x−3)2， 把x＝−1，y＝4代入，得4＝a(−1−3)2， ， ∴平移后二次函数关系式为y＝ (x−3)2. 方法指导：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 探究点2： 二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 将二次函数y＝−2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝−2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　) A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位 解析：抛物线y＝−2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝−2(x＋1)2的顶点坐标是(−1，0)．则由二次函数y＝−2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝−2(x＋1)2的图象．故选C. C 探究点2： 二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象之间的关系 【练一练】 新知探究 1. 在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x－1）2的图象可能是 （　D　） D 随堂练习 2. 若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x＋1）2上的是（　D　） A. （m，n＋1） B. （m＋1，n） C. （m，n－1） D. （m－1，n） D 3. 顶点坐标为（－3，0），且与抛物线y＝－ x2的形状、开口方向相同的抛物线对应的函数解析式为 　y ＝－. y＝－ （x＋3）2　 4. 若y＝2（x－m）2是关于x的二次函数，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　C　） A. m＝3 B. m＞3 C. m≤3 D. m≥3 5. 若点C（x1，m），D（x2，n）在抛物线y＝－2（x－3）2上，且x1＞x2＞3，则m与n的大小关系为 　m＜n　. 6. 已知二次函数y＝2（x－3）2，若当x取x1，x2且x1≠x2时，函数值y1＝y2，则当x＝x1＋x2时，y的值为 　18　. C m＜n　 18　 （1） 求该二次函数的解析式； 解：（1） 由题意，得 解得 ∴ 二次函数的解析式为y＝－ （x＋4）2 （2） 当x为何值时，函数值y随x的增大而增大？ 解：（2） 当x＜－4时，函数值y随x的增大而增大 7. 已知二次函数y＝a（x－h）2的图象的顶点坐标是（－4，0），且过点（0，－6）. 8. 将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式为（　D　） A. y＝x2＋1 B. y＝x2－1 C. y＝（x＋1）2 D. y＝（x－1）2 D 9. 抛物线y＝－2（x－3）2经过平移得到抛物线y＝－2x2，下列平移过程正确的是（　A　） A. 向左平移3个单位长度 B. 向右平移3个单位长度 C. 向上平移3个单位长度 D. 向下平移3个单位长度 A 10. 已知抛物线y＝a（x－h）2的对称轴为直线x＝－2，且过点（1，－3）. （1） 求该抛物线对应的函数解析式； 解：（1） ∵ 抛物线y＝a（x－h）2的对称轴为直线x＝－2，∴ h＝－2.将（1，－3）代入y＝a（x＋2）2，得a＝－ .∴ y＝－ （x＋2）2 （2） 该抛物线是由抛物线y＝ax2经过怎样的平移得到的？ 解：（2） 向左平移2个单位长度 11. 教材变式题 对于函数y＝3（x＋1）2，下列说法不正确的是 （　D　） A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线x＝－1 C. 其图象最低点的坐标是（－1，0） D. 当x＜－1时，y随x的增大而增大 D 12. 若抛物线y＝2（x－1）2经过（m，n）和（m＋3，n）两点，则n的值为（　A　） A. B. － C. 1 D. － A 13. 已知二次函数y＝4（x－a）2，当x＞1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 　a≤1　. 14. 若A ，B ，C（7，y3）为二次函数y＝ a（x－3）2（a＞0）图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为  　y1＞y3＞y2　（用“＞”连接）. a≤1　 y1＞y3＞y2　 （1） 求此抛物线对应的函数解析式. 解：（1） 由题意，可设此抛物线对应的函数解析式为y＝a（x－3）2.∵ 点B（0，4）在此抛物线上，∴ 9a＝4，解得a＝ .∴ 此抛物线对应的函数解析式为y＝ （x－3）2 （第15题） 15. 新考向 探究题 如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，A，B两点的坐标分别为（3，0），（0，4），连接AB. （2） 若将y轴向右平移6个单位长度，直接写出此时抛物线对应的函数解析式. 解：（2） y＝ （x＋3）2 （第15题） （3） 该抛物线上是否存在一点P，使得AB＝AP？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（3） 存在　点P的坐标为（6，4） 16. 新考向 探究题 如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a（x－h）2的顶点为A，且经过点B. （1） 求该抛物线对应的函数解析式. 解：（1） 在y＝－x－2中，令x＝0，则y＝－2；令y＝0，则x＝－2.∴ A（－2，0），B（0，－2）.∴ h＝－2.∴ y＝a（x＋2）2.把B（0，－2）代入y＝a（x＋2）2，得4a＝－2，解得a＝－ .∴ 该抛物线对应的函数解析式为y＝－ （x＋2）2 （第16题） （2） 若点C 在该抛物线上，求m的值. 解：（2） ∵ 点C 在抛物线y＝－ （x＋2）2上，∴ － （m＋2）2＝－ ，解得m1＝1，m2＝－5 （3） 若点D（－4，n）在抛物线上，求S△ABD. 解：（3） 把D（－4，n）代入y＝－ （x＋2）2，得n＝－2.∴ D（－4，－2）.易得BD∥x轴，∴ S△ABD＝ ×2×4＝4 （第16题） （4） 在对称轴上是否存在一点Q，使以Q，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（4） 存在　点Q的坐标为（－2，－2）或（－2，2） （第16题） 复习y=ax2+k 探索y=a(x-h)2的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线x=h （h,0） a>0,开口向上 a<0,开口向下 y=ax2 平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变. 课堂小结 $