26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第1课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2 二次函数的图象和性质 第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数y=a(x−h)2+k的图象和性质 第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 人教版九年级上册 这个函数的图象是如何画出来的？ x y O 情境导入 解：先列表： x ··· −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· ··· ··· 在同一直角坐标系中，画出二次函数 ， 的图象． 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 新知探究 y x −3 −2 −1 o 1 2 3 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象. 7 8 9 10 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 新知探究 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （0，1） （0，－1） y轴 y轴 想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？ 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 新知探究 例1 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（　　） A．其图象的开口方向向上 B．当x=0时，y有最大值4 C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为（0，4） B 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 新知探究 y -2 -2 4 2 2 -4 x 0 做一做： 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 新知探究 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向 ； (3)对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________； 抛物线 向下 y轴 ( 0，0)， ( 0，2)， ( 0，−2) 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 新知探究 (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________. (6) 函数的增减性都相同： __________________________ ___________________________. 高 大 y=0 y= −2 y=2 对称轴左侧y随x增大而增大， 对称轴右侧y随x增大而减小 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 新知探究 二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 y轴 y轴 （0，k） （0，k） 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 新知探究 例2 关于抛物线y=−x2+1与y=x2−1，下列说法正确的是 （　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 C 探究点1： 二次函数y=ax2+k的图象和性质 新知探究 做一做：画出二次函数 y=2x² ， y=2x2+1 ，y=2x2−1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2-1 … … 3.5 1 −0.5 1 −0.5 −1 3.5 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 y=2x2+1 y=2x2 y=2x2−1 观察上述图象，说说它们之间的区别与联系. 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 解析式 y=2x2 y=2x2+1 y=2x2−1 +1 −1 点的坐标 函数对应值表 x … −1.5 −1 0 1 y=2x2-1 … y=2x2 … y=2x2+1 … 4.5 3.5 5.5 2 1 3 2 1 (x， ) (x， ) (x， ) 2x2−1 2x2 2x2+1 从数的角度探究 3 −1 0 1 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下 y=2x2+1 上 从形的角度探究： y = 2x2 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2 的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 二次函数y＝−3x2＋1的图象是将(　　) A．抛物线y＝−3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝−3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝−3x2向上平移1个单位得到 解析：二次函数y＝−3x2＋1的图象是将抛物线 y＝−3x2向上平移1个单位得到的．故选D. D 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 【练一练】 新知探究 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？ 2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步，即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱个单位长度. 第二种方法：描点法，三步，即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标. 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 例3 在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝−x2+1的图象 大致是（　　） A B C D D 分析：∵y＝3x的比例系数k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，排除A、C； 又∵二次函数y＝−x2−1的图象开口向下，排除B. 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 【变式】 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　) 方法指导：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． D 探究点2： 二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 1. 二次函数y＝－x2－4的图象经过的象限为（　C　） A. 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、三象限 2. 函数y＝－2x2＋5与y＝－2x2－3的图象的不同之处是（　C　） A. 对称轴 B. 开口方向 C. 顶点 D. 形状 C C 随堂练习 3. 已知抛物线y＝2x2＋m2－4m的最低点为（0，－4），则m的值为 　2　. 4. 已知二次函数的图象以A（0，1）为顶点，且过点B（2，3）. 2　 （1） 求该二次函数的解析式； 解：（1） 由题意，可设该二次函数的解析式为y＝ax2＋c（a≠0）.将A（0，1），B（2，3）代入，得 解得 ∴ 该二次函数的解析式为y＝ x2＋1　 （2） 画出该二次函数的图象. 解：（2） 图象略 5. 下列函数中，当x＞1时，y随x的增大而减小的是（　B　） A. y＝x2＋1 B. y＝－x2＋1 C. y＝x－1 D. y＝x＋1 6. （易错题）对于二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（　C　） A. －1≤y≤5 B. －5≤y≤5 C. －3≤y≤5 D. －2≤y≤5 B C 7. 已知二次函数y＝－ x2＋1，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 　x＜0　. 8. 如果点（－4，y1），（－3，y2）在函数y＝x2＋1的图象上，那么y1 　＞　y2（填“＞”“＜”或“＝”）. x＜0　 ＞　 9. 顶点坐标为（0，－5），且与抛物线y＝－ x2的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为 　y ＝，将该抛物线向上平移3个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式为 　y＝ 　. y＝ x2－5　 y＝ x2－2 10. 已知二次函数y＝ax2与y＝－2x2＋c. （1） 随着a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变； 解：（1） 二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝－2x2＋c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是顶点坐标会发生改变（合理即可）　 （2） 若这两个函数图象的形状相同，求a的值； 解：（2） ∵ 函数y＝ax2与函数y＝－2x2＋c图象的形状相同， ∴ a＝±2　 （3） 若将抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位长度就能与抛物线y＝－2x2＋c完全重合，求c的值. 解：（3） ∵ 抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位长度得到抛物线y＝ax2－2，与抛物线y＝－2x2＋c完全重合，∴ c＝－2 11. 已知a＜－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a＋1，y3）都在函数y＝x2＋1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　C　） A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3 C 12. 将抛物线y＝x2－1向下平移8个单位长度后，与x轴的两个交点之间的距离为 　6　. 13. （1） 若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且当x＝1时，y＝－3，则a＝ 　－1　，k＝ 　－2　； （2） 如果将（1）中的抛物线关于x轴作对称变换，那么得到的抛物线对应的函数解析式为 　y＝x2＋2　. 6　 －1　 －2　 y＝x2＋2　 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝ x2于点B，C，则BC的长为 　8　. 8　 15. 已知抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标是（0，－2），且过点（1，1）. （1） 求此抛物线对应的函数解析式，并指出此抛物线的开口方向及对称轴； 解：（1） 由题意，得 解得 ∴ 此抛物线对应的函数解析式为y＝3x2－2，抛物线开口向上，对称轴为y轴 （2） 若M（x1，y1），N（x2，y2）是该抛物线上的两点，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系如何？ 解：（2） 当x＜0时，y随x的增大而减小.∵ x1＜x2＜0，∴ y1＞y2 16. 如图，正比例函数y＝2x的图象与抛物线y＝ax2＋3相交于点A（1，b）. （1） 求a与b的值； 解：（1） 把A（1，b）代入y＝2x，得b＝2. ∴ A（1，2）.把A（1，2）代入y＝ax2＋3，得a＝－1 （第16题） （2） 若点B（m，4）在函数y＝2x的图象上，抛物线y＝ax2＋3的顶点是C，求△ABC的面积； 解：（2） 把B（m，4）代入y＝2x，得m＝2. ∴ B（2，4）.∵ 易得抛物线y＝－x2＋3的顶点C的坐标是（0，3），∴ OC＝3.∴ S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝ ×3×2－ ×3×1＝ （第16题） （3） 在（2）的条件下，若P是x轴上的一个动点，求当PA＋PC最小时点P的坐标. 解：（3） 设点C关于x轴的对称点为C'，则点C'的坐标为（0，－3），连接AC'交x轴于点P，此时PA＋PC最小.设直线AC'对应的函数解析式为y＝kx＋n.把C'（0，－3），A（1，2）代入，得 解得 ∴ y＝5x－3.当y＝0时，5x－3＝0，∴ x＝ .∴ 点P的坐标是 （第16题） 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 1.开口方向由a的符号决定； 2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂小结 $