26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第3课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2 二次函数的图象和性质 第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数y=a(x−h)2+k的图象和性质 第3课时　二次函数y=a(x−h)2+k的图象和性质 人教版九年级上册 问题1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况: (1)y=ax2 (2)y=ax2+k (3)y=a(x−h)2 y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O 回顾导入 问题2 请说出二次函数y=−2x2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？ 问题3 把y=−2x2的图象 ①向上平移3个单位长度 y=−2x2+3 ②向左平移2个单位长度 y=−2(x+2)2 问题4 猜测一下，二次函数y=−2(x+2)2+3的图象是否可以由y=−2x2的图象平移得到？你认为该如何平移呢？ 回顾导入 O X y 3 -2 O y 3 -2 X 回顾导入 例1 画出函数 的图象.指出它的开口方向、对称轴和顶点. 探究点1： 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知探究 … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 解：先列表 再描点、连线 −5.5 −3 −1.5 −1 −1.5 −3 −5.5 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 直线x=−1 开口方向向下； 对称轴是直线x=-1； 顶点坐标是(-1，-1). 探究点1： 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知探究 画出函数y=2(x+1)2−2的图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 开口方向向下； 对称轴是直线x=−1; 顶点坐标是(−1,−2). −2 2 x y O -2 4 6 8 −4 2 4 探究点1： 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知探究 7 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x−h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,k） （h,k） 最值 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 探究点1： 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知探究 顶点式 探究点1： 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知探究 例2 二次函数y＝−2(x+1)2−4，下列说法正确的是( ) A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为(1，4) D．当x＜−1时，y随x的增大而增大 D 探究点1： 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知探究 例3 已知抛物线y＝a(x − 3)2+2经过点(1，− 2)． （1）指出抛物线的对称轴； （2）求a的值； 解：（1）由y＝a(x﹣3)2+2可知顶点为（3，2），对称轴为直线x＝3. （2）∵抛物线y＝a(x﹣3)2+2经过点(1，﹣2)， ∴﹣2＝a(1﹣3)2+2， ∴a＝﹣1. 探究点1： 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知探究 （3）若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小． ∴y1＜y2． （3）∵y＝﹣(x﹣3)2+2， ∴此函数的图象开口向下， 当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小， ∵点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上， 探究点1： 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知探究 向左平移 1个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 平移方法1 向下平移 1个单位 探究点2： 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系 例4 怎样移动抛物线 才可以得到抛物线 ？ 新知探究 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 平移方法2 向左平移 1个单位 向下平移 1个单位 探究点2： 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系 例4 怎样移动抛物线 才可以得到抛物线 ？ 新知探究 二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2+k的关系 可以看作互相平移得到的. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x − h )2 y = a( x −h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 探究点2： 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 例5 将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　） A．y=2(x−4)2−1 B．y=2(x+4)2+1 C．y=2(x−4)2+1 D．y=2(x+4)2−1 B 探究点2： 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 【变式】将抛物线y＝5(x﹣1)2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝5(x+2)2+3 B．y＝5(x﹣4)2﹣1 C．y＝5(x﹣4)2+3 D．y＝5(x﹣3)2+4 C 探究点2： 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 例6 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　) 解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A. A 探究点2： 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 例7 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长? 探究点2： 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 19 C(3,0) B(1，3) A x O y 1 2 3 1 2 3 解：如图建立直角坐标系， 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 ∵这段抛物线经过点(3,0)， ∴ 0=a(3－1)2＋3. 解得 因此抛物线的解析式为 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). 当x=0时，y=2.25. 答:水管长应为2.25 m. 3 4 a=－ y= (x－1)2＋3(0≤x≤3) 3 4 － 探究点2： 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系 新知探究 20 1. 将抛物线y＝（x－1）2＋2关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线对应的函数解析式为（　C　） A. y＝－（x－1）2＋2 B. y＝－（x＋1）2＋2 C. y＝－（x－1）2－2 D. y＝－（x＋1）2－2 C 随堂练习 2. 二次函数y＝a（x＋1）2－k的部分图象如图所示，则a－k＝ 　4. （第2题） 4　 3. 教材变式题 写出下面抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1） y＝3（x＋4）2－1； 解：（1） 开口向上，对称轴为直线x＝－4，顶点坐标为（－4，－1） （2） y＝－ （x－5）2＋2. 解：（2） 开口向下，对称轴为直线x＝5，顶点坐标为（5，2） 4. [2025威海]已知点（－2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝－（x－2）2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　C） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y2＞y1 5. 点A（m－1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x－1）2＋n的图象上，若y1＜y2，则m的取值范围是 　 m＞. C m＞ 　 （1） 求a的值； 解：（1） ∵ 抛物线y＝a（x－3）2＋2经过点（1，－2）， ∴ a·（1－3）2＋2＝－2，解得a＝－1 （2） 若点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小. 解：（2） 由（1），得抛物线对应的函数解析式为y＝－（x－3）2＋2，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，∴ 当x＜3时，y随x的增大而增大.∵ m＜n＜3，∴ y1＜y2 6. 已知抛物线y＝a（x－3）2＋2经过点（1，－2）. 7. 教材变式题 将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式为（　A　） A. y＝（x－3）2＋4 B. y＝（x＋3）2＋4 C. y＝（x－3）2－4 D. y＝（x＋3）2－4 A 8. 将抛物线 y＝a（x－h）2＋k先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到二次函数y＝－2x2的图象. （1） 求a，h，k的值； 解：（1） 由题意，得a＝－2，－h＋2＝0，k－3＝0.∴ a＝－2，h＝2，k＝3 （2） 写出二次函数y＝a（x－h）2＋k的增减性和最值. 解：（2） 由（1）知，y＝－2（x－2）2＋3.∴ 当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小；当x＝2时，y取最大值，为3 9. 当3≤x≤5时，二次函数y＝ （x－1）2＋k的最小值是3，则k的值为（　C　） A. 5 B. －5 C. 1 D. －1 C 10. 已知二次函数图象的顶点坐标为（1，－4），且经过点（3，0），将二次函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，经过点 ，在平移后的图象对应的二次函数中，当n－2≤x≤n＋1时，取得最小值－3，则n的值是（　A　） A. － 或 B. 或 C. 1 D. － A 11. 已知二次函数y＝－（x－1）2＋2，当t＜x＜5时，y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是 　1≤t＜5　. 12. 小明同学在用描点法画二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象时，列出表格如下： x … －1 0 1 2 3 … y … m 3 2 3 6 … 则表中m的值是 　6　. 1≤t＜5　 6　 13. [2025浙江]在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝（x－m）2＋k的图象经过点A（m＋1，0）. （1） 求k的值； 解：（1） ∵ 二次函数y＝（x－m）2＋k的图象经过点A（m＋1，0），∴ （m＋1－m）2＋k＝0，解得k＝－1 （2） 若该函数图象上有两点（t，y1），（t＋2，y2），且y1－y2＝－4，求y1＋y2的值. 解：（2） 由题意，得y1－y2＝（t－m）2－1－（t＋2－m）2＋1＝－4（t－m＋1）＝－4，∴ t－m＝0.∴ y1＋y2＝（t－m）2－1＋（t＋2－m）2－1＝2 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝a（x－m）2－3（a＞0）上有A（x1，y1），B（x2，y2）两点. （1） 若对于x1＝－1，x2＝3，有y1＝y2，求该抛物线的顶点坐标； 解：（1） 由题意，得抛物线的顶点坐标为（m，－3）， ∵ x1＝－1，x2＝3，有y1＝y2， ∴ m＝ ＝1. ∴ 该抛物线的顶点坐标为（1，－3） 解：（2） ∵ 抛物线的对称轴是直线x＝m，m－2＜x1＜m－1，x2＞m＋2，∴ 点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧.设点A（x1，y1）关于对称轴的对称点为A'（x1'，y1），则易得m＋1＜x1'＜m＋2.∵ 点A'，B在对称轴右侧，且m＋1＜x1'＜m＋2＜x2，a＞0，∴ y1＜y2.∵ y1·y2＜0，∴ y1＜0，y2＞0.∴ 当x＝m＋2时，y＝0.把（m＋2，0）代入y＝a（x－m）2－3，得a（m＋2－m）2－3＝0，解得a＝ （2） 对于任意实数m，当m－2＜x1＜m－1，x2＞m＋2时，都有y1·y2＜0，求a的值. 一般地，抛物线 y = a(x−h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 二次函数y=a(x−h)2+k的图象和性质 图象的特点 当a>0，开口向上；当a<0，开口向下. 对称轴是x=h， 顶点坐标是(h，k). 平移规律 左右平移： 括号内左加右减； 上下平移： 括号外上加下减. 课堂小结 $