第01讲 三角形概念【考点梳理+知识总结+7大题型+查缺补漏+课后作业】2026-2027学年人教版八年级数学上册

第01讲：三角形的概念 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、三角形的基本概念 知识点 典型范例 图示 1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.表示法及读法：三角形用符号“△”表示，如图，顶点是A、B、C的三角形记作△ABC，读作三角形三角形ABC。 3. △ABC的三边有时也用abc表示。 顶点A的对边a（BC） 顶点B的对边b（AC） 顶点C的对边c（AB） 知识点二、三角形的分类 1.按角分类 2.按边分类 知识点三、三角形的边（三边关系） 知识点 典型范例 图示 三角形的三边关系： ⑴三角形的任意两边之和大于第三边； ⑵三角形的任意两边之差小于第三边. 注意：如果有三条线段满足三角形三边关系定理或其推论，这三条线段就可以组成一个三角形 如图，在△ABC中 知识点四、三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。在生产和生活中，房屋的人字梁、大桥钢架等都利用了三角形的稳定性。特别说明：四边形不具有稳定性。 三、常考的题型 考点一、三角形的识别与有关概念 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 3．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，边BE所对的角是___，所对的边是__；在中，边AE所对的角是___，所对的边是____；以为内角的三角形有______． 【答案】 CE AC ，， 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【解析】略 5．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 【答案】(1) 图中有7个三角形，分别是，，，，，，． (2)的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，， (3)，， (4)，， 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【详解】略 考点二、三角形的个数问题 6．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】三角形的个数问题 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 7．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 8．如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【知识点】三角形的个数问题 【分析】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：D． 9．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 【答案】(1)3，6，10 (2) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、三角形的个数问题 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类． （1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形； （2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论； 【详解】（1）解：通过观察得知： 点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形； 点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形； 点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形； 故答案为：3，6，10 （2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形； 故答案为：． 10．通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … (1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； (2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； (3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 【答案】(1)7；9 (2)；2； (3)最多可以得到个三角形 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索、三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的个数问题，数字规律，图形类规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先充分理解题意，再调整图形，运用数形结合思想，进行作答即可； （2）先充分理解题意，观察式子特征，进行总结归纳，即可作答． （3）先充分理解题意，模仿（1）（2）的解题过程，且作图分析，进行总结归纳，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是，如图所示： 依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是7，如图所示： ∴， 同理：三角形内点的个数，最多三角形的个数是9，如图所示： 即当三角形的内部取4个点时，最多可以得到9个三角形； （2）解：观察和比较下面的式子：，，， 则下一个式子为 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加2个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到个三角形； （3）解：当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， …… 依次类推：十边形内点的个数为时，则最多三角形的个数， 即保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到个三角形． 考点三、三角形的分类 11．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 12．将三角形裁剪后，剩余部分如图所示，则这个三角形不可能是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键．根据三角形的内角和定理和三角形的分类逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 由图可知该三角形有一个内角为，则另两个角的度数可以为，为锐角三角形，该项正确，不符合题意； B． 由图可知该三角形有一个内角为，则另两个角的度数可以为，为钝角三角形，该项正确，不符合题意； C．等边三角形的每一个内角均为，由图可知该三角形有一个内角为，故不可能为等边三角形，该项错误，符合题意． D． 由图可知该三角形有一个内角为，则另两个角的度数可以为，为等腰直角三角形，该项正确，不符合题意； 故选：C． 13．如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 14．如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的分类 【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，， ∵于点， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∴、是直角三角形， 综上，直角三角形有、、、、，一共5个， 故选：C． 15．已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 【答案】(1)6；4 (2) (3) 【知识点】三角形的分类、三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到锐角三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形，然后可以找到边所对的角； 【详解】（1）解：由图可知， 图中三角形有，，，，，， ∴图中有6个三角形， ∵，， ∴， ∴图中直角三角形有，，，，共4个， 故答案为：6；4； （2）解：观察图形可得：为钝角三角形，，，，为直角三角形， ∴锐角三角形是， 故答案为：； （3）解：由图可知，线段所在的三角形是， ∴边所对的角是； 故答案为：． 考点四、构成三角形的条件 16．下面四组小棒，（     ）组中的三根小棒无法围成三角形．（单位：厘米） A． B． C． D．3、3、5 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】判断两种量是否成正比例，关键看二者的比值是否为定值，逐一判断即可． 【详解】解：A. 圆的周长，（一定），成正比例关系． B. 长宽长方形面积（一定），成反比例关系． C. 等分的段数每段的长度绳子总长（一定），成反比例关系． D. 底面积水高水的体积（一定），成反比例关系． 17．现有长度为，，，的四根木棒，任意选取三根，能够顺次首尾相连拼出三角形的组合的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】按顺序列举所有选取三根木棒的组合，再根据三角形三边关系筛选符合条件的组合． 【详解】解：从四根木棒中任选三根，所有组合为： ①、、， ∵， ∴能构成三角形； ②、、， ∵， ∴不能构成三角形； ③、、， ∵， ∴不能构成三角形； ④、、， ∵， ∴能构成三角形； 综上，符合条件的组合有2种． 18．等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________． 【答案】10 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】分腰长为2和腰长为4两种情况，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为时，底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴2，2，4不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为时，底边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴2，4，4能构成三角形； 此时等腰三角形的周长为； 综上，等腰三角形的周长为． 19．等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 【答案】4 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，先根据周长和比例求出两部分的长度，再分两种情况计算腰长与底边长，最后利用三角形三边关系验证是否成立，即可得到底边长； 【详解】解： 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分. 分成的两部分周长分别为，. 设等腰三角形的腰长为，底边长为； 分两种情况讨论： ① 若腰长与半腰长的和为，则， 解得； 则， 此时三角形三边长为； ，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立，舍去； ② 若腰长与半腰长的和为，则， 解得， 则， 此时三角形三边长为， ，，满足三角形三边关系，此情况成立. 综上，这个等腰三角形的底边长为； 20．已知线段，，． (1)判断和的大小，并说明理由； (2)用、、能构成三角形吗？为什么？ 【答案】(1)，理由： ， 线段， ， ， (2)不能构成三角形，理由： ， ， ， ， ，即、、不能构成三角形 【知识点】求一元一次不等式的解集、构成三角形的条件 【分析】（1）根据题意可得线段，再利用作差法即可解答； （2）得到，再利用作差法得到，结合三角形三边关系即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 考点五、确定第三边的取值范围 21．已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 22．如图，的值可能是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系．注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边关系得到，，再取公共部分即可． 【详解】解：∵两边长分别为8，9， ∴此时． 又∵两边长分别为5，18， ∴此时． ∵x的取值范围为：， ∴x的值可能是14． 故选：D． 23．在中，，，并且的长为偶数，则的周长为________． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴长是偶数， ∴为10， ∴的周长为：. 故答案为：21． 24．小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． (1)若x为奇数，求x的值； (2)若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)或或或 (2) 【知识点】构成三角形的条件、确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再取奇数即可； （2）根据等腰三角形的定义得到x的值，再结合三角形三边关系进行取舍，即可求出周长． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵x为奇数， ∴x的值为5或7或9或11． （2）解：边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架是等腰三角形， ∴或， 当时，三边长为4，8，4， 由于，不满足三角形的三边关系，故舍去； 当时，三边长为4，8，8，满足三角形三边关系， ∴这个等腰三角形的周长为． 25．按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）设，则，根据三角形的三边关系得出，结合的周长，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 考点六、三角形三边关系的应用 26．已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（   ） A．2a B． C． D．-2b 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系得出，，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B. 27．一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系及取不等式组的特殊解．由三角形三边关系和周长条件列不等式组确定的取值范围，结合周长为偶数的条件验证选项． 【详解】解：三角形最长边为，由三边关系得，解得． 周长为，由周长不大于，得，解得． 由周长为偶数，得为偶数，即为奇数． 综上，的取值范围是，且为奇数． 选项A、B、D均满足上述条件，选项C中不满足，无法构成三角形，不符合条件． 28．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 29．已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，找出范围内符合条件的正整数，统计其个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，，， ，即， 为正整数， 可以为、、、、，共个． 30．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于______． 【答案】5 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 考点七、三角形的稳定性 31．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 32．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要再钉一根木条．此做法的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：钉上一根木条把四边形分成两个三角形，此做法的依据是三角形的稳定性． 33．如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，使矩形镜框不易变形的是C． 故选：C． 34．如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（     ）的特点． A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．旋转不变性 【答案】B 【知识点】四边形的不稳定性 【详解】解：由题意得许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有不稳定性的特点． 35．从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三角架 C．伸缩门 D．旧木门钉木条 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性进行解答即可． 【详解】解；A、B、D这三个选项中的图形应用的是三角形的稳定性，C选项中的图形应用的是四边形的不稳定性． 四、查缺补漏 1．下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项B中活动衣架上没有三角形，其余A、C、D选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项B中没有利用三角形的稳定性，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 2．三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上___根木条． 【答案】2 【知识点】三角形的稳定性及应用、多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查三角形具有稳定性，多边形的对角线．要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有2条对角线， ∴至少要钉上2根木条， 故答案为：2． 3．观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 4．如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是熟练掌握三角形的分类；根据三角形的分类即可得到正确的结论 【详解】解：由图可知：三角尺露出的角是钝角， 故该三角形是钝角三角形， 故选D 5．如图，以点为顶点的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的个数，根据图形解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，以点为顶点的三角形有、、、，共个， 故选：． 6．如图，图中以BC为边的三角形的个数为_____．    【答案】4． 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC， ∴以BC为公共边的三角形的个数是4个． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题． 7．一个三角形两条边是、，第三条边不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】设第三边长为，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形的三边关系得，即， ∴x不能为11， ∴第三边不可能是． 8．设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、确定第三边的取值范围 【分析】已知三角形两边长，求第三边的取值范围，利用三角形三边关系计算即可． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，，， ∴边长a满足不等式， 将，代入不等式得， 化简得． 9．在平面内，分别用根、根、根、根……火柴首尾依次相接（不能折断，且需全部用完），能搭成不同的三角形．小嘉发现用根、根、根火柴分别可以搭成如下表所示的三角形： 火柴数 示意图 以此类推，根火柴能搭成（     ）种不同的三角形． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的整数解、三角形的个数问题、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及有序枚举的方法，不重不漏地找出所有满足周长为12的整数边长组合，并验证其能否构成三角形． 【详解】解：设三角形三边的火柴数为，均为正整数，． 总火柴数12根：． 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边： 又，所以是最大边， ． 的取值为：4、5 当时，，又，得， 当时， ， ， 或， 得到三组：、、 10．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 11．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 12．已知，分别是的其中两边的长，且，满足关系式． (1)求，的值． (2)若是等腰三角形，请计算的周长． 【答案】(1)， (2) 【知识点】绝对值非负性、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据非负数的性质，求得的值； （2）根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，， ，． （2）解：是等腰三角形，有两种情况： ①当是腰时，有、、三边，不能构成三角形，故此种情况不成立． ②当是腰时，有、、三边，能构成三角形，故此种情况成立，则． 等腰的周长为． 13．已知在中，，，边为最长边且为整数，求的周长． 【答案】或 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形三边关系求出的范围，结合边为最长边且为整数求出的值，从而求出的周长． 【详解】解：，， ，即， 边为最长边且为整数， ， 或8， 当时，的周长为， 当时，的周长为， 综上所述，的周长为16或17． 五、课后作业 1．（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 2．利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形具有稳定性，即三边确定后形状固定不变形，而四边形等不具备该特性，需逐一分析选项，判断是否利用三角形结构来增强稳定性． 【详解】解： A：车库起落杆通常为平行四边形结构，利用四边形的不稳定性实现升降功能，而非三角形稳定性； B：四条腿的方桌仅由四边形支撑，未添加三角形加固结构，易摇晃，属于四边形不稳定的实例； C：枪的准星瞄准目标时，三点一线原理属于几何应用，与结构稳定性无关； D：脚踏车三角车架通过三角形结构连接各部件，利用三角形的稳定性使车架坚固不易变形； 故选：D． 3．（1）如图，点D在内，写出图中所有三角形：________________________； （2）如图，线段是____________和____________的边； （3）如图，的3个内角是____________，三条边是____________．    【答案】（1），，，；（2）；；（3），，；，， 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】根据三角形的定义，三角形的边与内角，进行作答即可 【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，，， 故答案为： ，，，； （2）解：由题意知，线段是和的边， 故答案为：，； （3）解：由题意知，的3个内角是，，； 三条边是，，， 故答案为：，，；，，． 【点睛】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 4．如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 5．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 6．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成_____个． 【答案】7 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 7．已知三角形的三边长分别为3，，8．则正整数的值可以是________． 【答案】3 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解不等式组．根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围． 【详解】解：三角形的三边长分别为3，，8， ， 即， 故答案为：3． 8．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形，……    （1）完成下表： 连接个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 （2）若出现了45个三角形，则共连接了_____个点?若一直连接到An，则图中共有______个三角形． 【答案】（1），，，；（2）8，. 【知识点】三角形的个数问题 【分析】（1）根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数，当1个分点时，有三角形数为，当2个分点时，有三角形数为，由此可找出规律，据此即可得答案； （2）由（1）继续推导可解得若出现了45个三角形，若一直连接到An，由个分点，三角形数量为前一个分点数的三角形总数加个，可知个分点，则有个三角形． 【详解】（1）由图形可得：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数． 所以当1个分点时，有三角形数为； 2个分点时，有三角形数为； 3个分点时，有； 4个分点时，有； 5个分点时，有； 6个分点时，有； （2）若出现45=1+2+3+4+5+6+7+8+9个三角形，根据上述规律，则有8个分点； 若有个分点，则有． 【点睛】本题考查了三角形的扩展知识，需要注意此题数三角形的个数实际上就是数线段的条数，能够正确计算，解这类数列需要先设他们之和为，再重构一组倒序相同的数列，正序与倒序两式相加，合并可解． 9．已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若a，b，c满足，试判断的形状； (3)化简：． 【答案】(1)等边三角形 (2)等腰三角形 (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用、等边三角形的判定、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查非负数的性质，利用非负数的性质求得a、b、c关系是解题的关键． （1）由非负数的性质可分别求得a、b、c的关系可求得答案． （2）根据求出或，即可得出绪论； （3）根据三角形三边关系确定出，，，进一步化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴且， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：∵， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形． （3）解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴ ． 10．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、乘方的应用、加减消元法、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， 又∵c为最长边 ， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲：三角形的概念 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、三角形的基本概念 知识点 典型范例 图示 1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.表示法及读法：三角形用符号“△”表示，如图，顶点是A、B、C的三角形记作△ABC，读作三角形三角形ABC。 3. △ABC的三边有时也用abc表示。 顶点A的对边a（BC） 顶点B的对边b（AC） 顶点C的对边c（AB） 知识点二、三角形的分类 1.按角分类 2.按边分类 知识点三、三角形的边（三边关系） 知识点 典型范例 图示 三角形的三边关系： ⑴三角形的任意两边之和大于第三边； ⑵三角形的任意两边之差小于第三边. 注意：如果有三条线段满足三角形三边关系定理或其推论，这三条线段就可以组成一个三角形 如图，在△ABC中 知识点四、三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。在生产和生活中，房屋的人字梁、大桥钢架等都利用了三角形的稳定性。特别说明：四边形不具有稳定性。 三、常考的题型 考点一、三角形的识别与有关概念 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 3．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 4．如图，在中，边BE所对的角是___，所对的边是__；在中，边AE所对的角是___，所对的边是____；以为内角的三角形有______． 5．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 考点二、三角形的个数问题 6．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 8．如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 9．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 10．通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … (1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； (2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； (3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 考点三、三角形的分类 11．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 12．将三角形裁剪后，剩余部分如图所示，则这个三角形不可能是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 13．如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 14．如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 15．已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 考点四、构成三角形的条件 16．下面四组小棒，（     ）组中的三根小棒无法围成三角形．（单位：厘米） A． B． C． D．3、3、5 17．现有长度为，，，的四根木棒，任意选取三根，能够顺次首尾相连拼出三角形的组合的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________． 19．等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 20．已知线段，，． (1)判断和的大小，并说明理由； (2)用、、能构成三角形吗？为什么？ 考点五、确定第三边的取值范围 21．已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．如图，的值可能是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 23．在中，，，并且的长为偶数，则的周长为________． 24．小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． (1)若x为奇数，求x的值； (2)若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 25．按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 考点六、三角形三边关系的应用 26．已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（   ） A．2a B． C． D．-2b 27．一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 28．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 29．已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 30．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于______． 考点七、三角形的稳定性 31．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 32．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要再钉一根木条．此做法的依据是________． 33．如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　） A． B． C． D． 34．如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（     ）的特点． A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．旋转不变性 35．从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三角架 C．伸缩门 D．旧木门钉木条 四、查缺补漏 1．下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（    ） A． B． C． D． 2．三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上___根木条． 3．观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，老师讲桌上的一个三角形卡片被压在了书下．请你根据三角形卡片露出的部分判断该三角形的形状，是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 5．如图，以点为顶点的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，图中以BC为边的三角形的个数为_____．    7．一个三角形两条边是、，第三条边不可能是（     ） A． B． C． D． 8．设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 9．在平面内，分别用根、根、根、根……火柴首尾依次相接（不能折断，且需全部用完），能搭成不同的三角形．小嘉发现用根、根、根火柴分别可以搭成如下表所示的三角形： 火柴数 示意图 以此类推，根火柴能搭成（     ）种不同的三角形． A． B． C． D． 10．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 11．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 12．已知，分别是的其中两边的长，且，满足关系式． (1)求，的值． (2)若是等腰三角形，请计算的周长． 13．已知在中，，，边为最长边且为整数，求的周长． 五、课后作业 1．（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 2．利用到三角形的稳定性的生活实例是（    ） A．车库大门口的起落杆 B．四条腿的方桌 C．用枪的准星瞄准目标 D．脚踏车的三角车架 3．（1）如图，点D在内，写出图中所有三角形：________________________； （2）如图，线段是____________和____________的边； （3）如图，的3个内角是____________，三条边是____________．    4．如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 5．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 6．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成_____个． 7．已知三角形的三边长分别为3，，8．则正整数的值可以是________． 8．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形，……    （1）完成下表： 连接个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 （2）若出现了45个三角形，则共连接了_____个点?若一直连接到An，则图中共有______个三角形． 9．已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若a，b，c满足，试判断的形状； (3)化简：． 10．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $