第02讲 与三角形有关的线段【考点梳理+知识总结+8大题型+查缺补漏+课后作业】 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第02讲：与三角形有关的线段 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、三角形的中线 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线；       2.几何语言表述：如图，在中，是边的中点，因此线段是的中线； 3.重心：如图，三角形三条中线交于一点，这个交点叫三角形的重心； 4.中线模型：中线分得的三角形面积相等；如图，是的中线，得出; 知识点二、三角形的角平分线 1.定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线.           2.表示方法：如图，在中，线段平分交对边于点，因此线段是的角平分线； 3.内心：如图，三角形三条角平分线于一点，这个交点叫三角形的内心。 知识点三、三角形的高   1.定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做这个三角形的高线（简称高）. 2.表示方法：如图，在中，线段于点，垂直为，因此线段是的高； 3.垂心：如图，三角形三条高线于一点，这个交点叫三角形的垂心。 注意：三角形三条高交于一点. 三、常考的题型 考点一、根据三角形中线求长度 1．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ____． 3．已知的周长为，是边上的中线． (1)如图，当时，求的长． (2)若，能否求出的长？为什么？ 4．如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 5．如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 考点二、根据三角形中线求面积 6．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 7．如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（     ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线 8．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 9．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 10．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点三、重心的概念 11．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 12．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 13．如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 14．如图，点为 的重心，，，分别为，，的中点，且 的面积为，则 的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 15．综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，． 猜想证明： （1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： （2）如图2，在中，若，则的面积为________； （3）在图2中，求的值． 考点四、三角形角平分线的定义 16．如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 17．如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 18．如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有__________个． 19．如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 20．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 考点五、画三角形的高 21．下面四个图形中，线段是的高的是（     ） A． B． C． D． 22．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 23．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 24．分别指出图中的三条高． 25．作图题：作出下列各图中BC边上的高（写结论）． 考点六、与三角形的高有关的计算问题 26．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 27．已知是的高，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 28．如图所示，厘米，长方形中的厘米，阴影的面积是18平方厘米，则的面积是___________平方厘米． 29．已知的两条高分别为、，且第三条高也为整数，则的第三条高可能是（     ） A．和 B．和 C．2和3 D．1和2 30．如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 考点七、三角形中线、角平分线、高线综合辨析 31．如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 32．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，下面说法中：①；②；③．正确的有______请填写序号．    33．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 34．一定在△ABC内部的线段是（　　） A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线 C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高 D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 35．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线.4个结论中正确的有(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点八、三角形中线、角平分线、高线综合计算 36．如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（    ）    A．5 B．3 C．4 D． 37．如图中，，，，，是的角平分线，是边的中线，于点E，下列结论正确的有（　　）个 ①为中边上的高 ②线段、、中，线段的长度最短 ③若，则 ④D到的距离为． A．1 B．2 C．3 D．4 38．如图所示，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为36，，则点到边的距离是多少？ 39．如图，在中，于点，为边上的中线，为中边上的中线，已知，，的面积为6． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 四、查缺补漏 1．如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 3．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（　　）    A．AD⊥BC B．BF=CF C．BE=EC D．∠BAE=∠CAE 4．如图，中，，于．图中线段可作为的高的有(   )条． A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，已知，的平分线CD交AB于D，，且，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为______cm． 6．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积为______． 7．如图，在中，，求的值． 8．如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 五、课后作业 1．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的中线，点为的中点，连接，若的面积为2，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，、分别是的边、上的点，且，．若的面积为，的面积为，的面积为，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 5．如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则________． 6．如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是______． 7．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 8．按要求，画出图形并回答问题： (1)在下列三角形中，分别画出边上的高． (2)在方格纸中，过点C画线段的垂线，垂足为D，并量出C点到线段所在的直线的距离． 9．如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_____（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试填空：______，______，______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲：与三角形有关的线段 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、三角形的中线 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线；       2.几何语言表述：如图，在中，是边的中点，因此线段是的中线； 3.重心：如图，三角形三条中线交于一点，这个交点叫三角形的重心； 4.中线模型：中线分得的三角形面积相等；如图，是的中线，得出; 知识点二、三角形的角平分线 1.定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线.           2.表示方法：如图，在中，线段平分交对边于点，因此线段是的角平分线； 3.内心：如图，三角形三条角平分线于一点，这个交点叫三角形的内心。 知识点三、三角形的高   1.定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做这个三角形的高线（简称高）. 2.表示方法：如图，在中，线段于点，垂直为，因此线段是的高； 3.垂心：如图，三角形三条高线于一点，这个交点叫三角形的垂心。 注意：三角形三条高所在的直线交于一点. 三、常考的题型 考点一、根据三角形中线求长度 1．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ____． 【答案】/26厘米 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】根据中线的定义得，再结合比长可得与周长之差，由此得解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵比长， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中线的定义．能根据题意得出周长之差即线段与之差是解题关键． 3．已知的周长为，是边上的中线． (1)如图，当时，求的长． (2)若，能否求出的长？为什么？ 【答案】(1) (2) 不能，理由如下： ，， ． 又∵的周长为 ． ， 不能构成三角形， 则不能求出 的长． 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可； （2）根据三角形周长和边的关系解答即可． 此题考查三角形的中线以及三角形的三边关系，关键是根据三角形中线的性质解答． 【详解】（1）解： ，， ． 又∵的周长为， ． 是边上的中线， ． （2）略 4．如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【答案】8 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】由是的中线可得，由是的中线可得，结合已知条件即可求解． 【详解】解：是的中线 ， ， 是的中线 ， ， ． 5．如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 考点二、根据三角形中线求面积 6．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴ ∵的面积为24， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴． 7．如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（     ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】设的边上的高为，求出的面积为，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：设的边上的高为， ∵的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴是的中线． 8．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 【答案】4 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据等底同高的两个三角形面积相等，得到，，，，推出计算即可． 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ． 9．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【详解】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 10．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论． 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴． 考点三、重心的概念 11．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【知识点】重心的概念 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 12．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】重心的概念 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 13．如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的概念 【分析】本题考查三角形的重心的定义，三角形的中线，三角形的面积；根据题意可得，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：因为点O是的重心， 所以点、分别是的中点， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以． 故选：C． 14．如图，点为 的重心，，，分别为，，的中点，且 的面积为，则 的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形中线的性质，由线段的比例关系和的面积即可得的面积为，进而可得的面积为9，根据中线的性质，即可求解． 【详解】解：∵点为 的重心， ∴ ∵ 的面积为， 的面积为， 的面积为， 点为的中点， 的面积等于的面积， 的面积为． 故选：C． 15．综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，． 猜想证明： （1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： （2）如图2，在中，若，则的面积为________； （3）在图2中，求的值． 【答案】（1）， 证明：由题意可知，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）； （3）． 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的概念 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）由（1）中的结论即可得出． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）知，，， ∴的面积为， 故答案为；； （3）由（1）知，， ∵与等高， ∴，即． 考点四、三角形角平分线的定义 16．如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 17．如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 18．如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有__________个． 【答案】3/三 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【详解】∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 19．如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形角平分线的定义 【分析】由是的平分线可得，由得． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 20．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 考点五、画三角形的高 21．下面四个图形中，线段是的高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，据此逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高，D选项中线段是中边上的高． 22．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 23．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 24．分别指出图中的三条高． 【答案】在图（1）中的三条高分别为，，；在图（2）中的三条高分别为，，． 【知识点】画三角形的高 【详解】略 25．作图题：作出下列各图中BC边上的高（写结论）． 【答案】见解析 【知识点】画三角形的高 【分析】根据三角形的高的定义作出图形即可． 【详解】解：如图，线段AD即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，三角形的高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中考常考题型． 考点六、与三角形的高有关的计算问题 26．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】先根据面积求出，再分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，解得， 分两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 则； 当点在线段的延长线上时，如图所示： ； 综上所述，的长为或． 27．已知是的高，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高线，解题关键是涉及到三角形的高的时候，注意分情况考虑．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图1，当高在的内部时， ； ②如图2，当高在的外部时， ． 综上所述，的度数为或． 故选：D． 28．如图所示，厘米，长方形中的厘米，阴影的面积是18平方厘米，则的面积是___________平方厘米． 【答案】9 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据三角形的面积求边长成为解题的关键．由可得，再结合已知条件可得，即；同理可得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵ ； ∴，即，解得：， ∴； ∵， ∴，解得：， ∴的面积是平方厘米． 故答案为：9． 29．已知的两条高分别为、，且第三条高也为整数，则的第三条高可能是（     ） A．和 B．和 C．2和3 D．1和2 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的整数解、确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】设的面积为，长度为、的高对应的边分别为、，第三条边为，第三条高为，利用三角形面积公式将三边用含、的代数式表示出来，结合三角形三边关系列不等式求解高的取值范围． 【详解】解：设的面积为，第三条高为，长度为、的高对应的边分别为、，第三条边为， 则，，， ， ，即 ， ， 不等式两边同除以， 得：， 解得 ，即 ， 为整数， 或． 30．如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 【答案】40 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形的中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， 是的中线， ． 考点七、三角形中线、角平分线、高线综合辨析 31．如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键． 分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可． 【详解】解：是上的高线， ， 正确，不符合题意； 是的平分线， ， 错误，符合题意； 是上的中线， ， ， 正确，不符合题意． 故选：B． 32．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，下面说法中：①；②；③．正确的有______请填写序号．    【答案】①②③ 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、与三角形的高有关的计算问题、三角形角平分线的定义 【分析】①根据等底同高得出面积相等；②根据等角的余角相等求出，③根据角平分线的定义得出，再根据等角的余角相等求出，等量代换后得出． 【详解】解：是中线， ； ①正确； ， ， 是高， ， ， 是角平分线， ， ， ， ②正确； ，， ， 是角平分线， ， ． ③正确； 综上所述：①②③． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高的综合应用，其中用等角的余角相等求出相等的角是解题关键． 33．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 34．一定在△ABC内部的线段是（　　） A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线 C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高 D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 【答案】A 【知识点】三角形的高、三角形的中线、三角形角平分线的定义 【详解】试题分析：钝角三角形一条高在三角形内部，另两条高在三角形的外部，三条中线和三条角平分线都在三角形的内部，故B、C错误； 任意三角形的三条角平分线、三条中线、一条高一定在三角形内部，故D错误． 故选A． 35．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线.4个结论中正确的有(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【详解】（1）∵AD是△ABC的角平分线，可得∠BAO=∠CAO，∴①“AO是△ABE的角平分线”这种说法是正确的； （2）由BE是△ABC的中线可得AE=CE，但不能确定AO=DO，∴②“BO是△ABD的中线”这种说法是错误的； （3）由BE是△ABC的中线可得AE=CE，∴③“DE是△ADC的中线”这种说法是正确的； （4）∵由题中条件不能得到∠ADE=∠CDE，∴④“ED是△EBC的角平分线”这种说法是错误的； 即上述说法中正确的个数为：2． 故选B． 考点八、三角形中线、角平分线、高线综合计算 36．如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（    ）    A．5 B．3 C．4 D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】首先利用中线的性质可以求出的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∵为的高线，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，熟记三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键． 37．如图中，，，，，是的角平分线，是边的中线，于点E，下列结论正确的有（　　）个 ①为中边上的高 ②线段、、中，线段的长度最短 ③若，则 ④D到的距离为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三角形角平分线的定义 【分析】由三角形的高的含义可判断①，由垂线段最短可判断②，由平行线的性质结合三角形的角平分线的含义可判断③，由等面积法可判断④，从而可得答案． 【详解】解：不是中边上的高．故①不符合题意； 线段、、中，线段的长度最短，理由垂线段最短．故②符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴．故③不符合题意； 如图作于H． 由， ∵是边的中线， ∴， ∵，，， ∴， 解得，故④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的角平分线，中线，高的含义，垂线段最短，熟记概念并灵活运用是解本题的关键． 38．如图所示，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为36，，则点到边的距离是多少？ 【答案】(1) 如图所示，为边上的高； (2)3 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了作三角形的高，三角形中线的性质： （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得出，再利用三角形的面积公式进而得到点到边的距离． 【详解】（1）略 （2）解：是的中线，是的中线， ，， ， 的面积为36，， ， 解得， 即点到边的距离为3． 39．如图，在中，于点，为边上的中线，为中边上的中线，已知，，的面积为6． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查三角形的周长，中位线及中线性质，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义，得到，再根据三角形周长的公式，代入化简，即可求得答案； （2）依题意，为的中点，为的中点，为的中位线，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴与的周长之差为2． （2）∵为边上的中线，为中边上的中线， ∴为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 四、查缺补漏 1．如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据特殊三角形中边和角之间的关系，判断三角形中角之间的关系． 【详解】解：A选项：在中，， ， ， ， ， ， 故A选项一定成立； B选项：在中，，是边上的中线， ， ， 由A选项可知， ， 故B选项一定成立； C选项：是的外角， ， 由B选项可知， ， ， 故C选项一定成立； D选项：当时，是等边三角形， ， 平分， 则有， 若，则不成立， 故D选项不一定成立． 故选：D． 2．若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短、三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，据此可得答案． 【详解】解：∵线段分别是中线BC上的高和中线，而垂线段最短， ∴， 故选C． 3．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（　　）    A．AD⊥BC B．BF=CF C．BE=EC D．∠BAE=∠CAE 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形的高线，角平分线及中线的定义解答即可. 【详解】∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线， ∴AD⊥BC，∠BAE=∠CAE，BF=CF， ∴A、B、D正确，C错误. 故选C. 【点睛】本题考查了三角形的高线，角平分线及中线的定义，熟练掌握三角形的高线，角平分线及中线的定义所隐含的数量关系式解答本题的关键. 4．如图，中，，于．图中线段可作为的高的有(   )条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向它对边所作垂线段即是三角形的高，三角形共有三条高，它们交于一点．根据三角形高的概念求解即可．过的一个顶点且垂直于对边的线段是三角形的高． 【详解】解：根据三角形高的定义，上的高是，上的高是，上的高是．共3条， 故选：D． 5．如图，已知，的平分线CD交AB于D，，且，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为______cm． 【答案】12 【知识点】线段中点的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、三角形角平分线的定义 【分析】由角平分线可知，由平行可知，则，由等角对等边可知，然后根据计算求解即可． 【详解】解：∵的平分线CD交AB于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是AC中点， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，中点等知识．解题的关键在于求出． 6．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键．根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，然后根据三角形中线的性质可得答案． 【详解】解：∵为中点，， ∴， 同理， ∴， ∵为中点， ∴． 故答案为：． 7．如图，在中，，求的值． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，解题关键是看到垂直条件及一些边长，可利用等面积法求解． 根据题意，利用等面积法，用两种方法表示的面积，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据题意表示出的面积即可求解； 【详解】（1）解：∵cm，的长为， ∴ ∵高cm， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴的面积 ， ∵的面积比的面积大3 ∴， 解得：， ∴当时，的面积比的面积大3 五、课后作业 1．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、折叠问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，则：折痕即为边上的高； 故选D． 2．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线， ∴与不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．如图，是的中线，点为的中点，连接，若的面积为2，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 先根据三角形的中线的性质求得，再根据三角形的中线的性质求． 【详解】解∶∵点为的中点，的面积为2， ∴ ∵是的中线， ∴． 故选：B． 4．如图，、分别是的边、上的点，且，．若的面积为，的面积为，的面积为，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查根据中线求三角形的面积，解题关键是当两个三角形的高相同时，需知道面积之比等于底之比；且当三角形面积不容易直接求出时，注意转化思想的使用． 根据，可求分别求出和，和的比例关系，再通过公共四边形, 可知，进而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 同理，由， 得， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．如图，连接，设，利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论． 【详解】如图，连接，设，. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是______． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移和三角形的面积， 过点作,先求出边的高，再分当在线段上和在线段延长线上时两种情况求三角形面积即可. 【详解】解：如图，过点作, 与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，，，． ∴，，，， ∵ ∴， ∴， 当在线段上时，， 的面积， 当在线段延长线上时，， 的面积， 答案为或 . 7．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 8．按要求，画出图形并回答问题： (1)在下列三角形中，分别画出边上的高． (2)在方格纸中，过点C画线段的垂线，垂足为D，并量出C点到线段所在的直线的距离． 【答案】(1)如下图，即是要画的边上的高． (2) C点到线段所在的直线的距离是线段的长度，为． 【知识点】点到直线的距离、画三角形的高 【分析】（1）画三角形的高关键是从对顶点向边（或延长线）作垂线，钝角三角形的高会落在图形外面． （2）点到直线的距离指垂线段的长度，不是线段本身，作图后测量垂线段即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）略 9．如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_____（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试填空：______，______，______． 【答案】(1) (2)三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等 (3)；； 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线平分面积，理解题意是解决本题的关键． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断，面积相等，，面积相等，，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【详解】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离， ∴两个三角形等底同高， ∴面积相等． 故答案为：． （2）解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ∴． （3）解：由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，， ∵，， ∴，， 故答案为：；；． 学科网（北京）股份有限公司 $