13.2与三角形有关的线段2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦三角形线段知识，以基础巩固为核心，通过分层设计构建“概念理解-能力应用-综合拓展”路径，适配新授课教学，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|三角形三边关系、稳定性、中线/角平分线/高的定义|教材变式题（如P7T1变式）、概念辨析题（如稳定性应用），夯实基础| |能力提升层|三边关系应用、中线与面积计算|易错题（等腰三角形周长）、新情境题（小棒围三角形），培养分类讨论能力| |综合拓展层|推理证明、跨知识点综合|推理能力题（AB+AC>PB+PC证明）、规律探究题（倍长三角形面积），发展逻辑思维与创新意识|

13.2与三角形有关的线段 课时1 三角形的边 知识点 1 三角形的三边关系 1. 教材P7T1变式[2026 惠州期末]下列长度的三条线段，能组成三角形的是 () A.1,3,4 B.2,2,7 C.4,5,7 D.3,3,6 2. [2026孝感孝南区期末]如图，为了估计池塘岸边A，B两点之间的距离，在池塘外选取一点P，测得PA=80米,PB=60米,则A,B两点之间的距离不可能是 ( ) A.30米 B.70米 C.110米 D.150米 3. 新情境[2026金华期末]三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示.若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是 ( ) A.2 B.3 C.4或5 D.6 4. [2026武汉武昌区期末] 从长为9 cm,6 cm,4 cm,3c m的四根木条中选取三根组成三角形，不同的选法有 种. 5. 易错题[2026周口期末]若等腰三角形的两边长分别为3 和7，则它的周长为 . 6. [2026安康期末]若一个三角形的三边长均为整数，其中的两边长分别为1，5，则第三边的长为 . 7. [2025 北京房山区期末] 如图，在△ABC 中,点 D,E 分别在边AB,AC上,将△ABC沿DE所在的直线裁去一个角得到四边形DBCE,则四边形DBCE的周长 (填“大于”“等于”或“小于”)△ABC的周长. 8. [2026南宁三中月考]某学校要用钢管制作一个三角形框架的宣传栏，已经购买两根长度分别为2m和 5m的钢管，还需要再购买一根，某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应的价格如下表. 规格/m 1 2 3 4 5 6 价格/(元/根) 10 15 20 25 30 35 (1)有哪几种规格的钢管可供选择? (2)若要求做成的三角形框架的周长为偶数，则做这个三角形框架一共需要花多少钱购买钢管? 知识点 2 三角形的稳定性 9. [2026开封河大附中期末]伞的伞骨设计暗藏数学智慧，手工艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了如图的三角形结构.这其中蕴含的数学原理是 10.[2025湛江期末]下列实例中没用到三角形的稳定性的是 () 11.[2026洛阳瀍河回族区期末]把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是 () 12.新考法 [2025厦门集美区期中]八一中学八(2)班的学生杨冲和李锐，他们两家到学校的直线距离分别是5k m和3 km，那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是 () A.1 km B.2km C.3km D.8k m 13.[2026南京科利华中学月考]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为 . 14.[2026黄冈期中]已知三角形的三边长分别为2，a-4,4,则化简|a-3|+|a-11|的结果是 . 15.[2026六安皋城中学期中]若一个三角形的三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”.例如，三边长为6，8，10 的三角形是“好运三角形”. 【概念运用】 (1)在△ABC中,AB=2,BC=4,若△ABC为“好运三角形”，求AC的长； 【变式运用】 (2)已知△ABC的周长为16,AC=4,AB的长为偶数，求出AB 的长，并判断△ABC 是不是“好运三角形”. , 16.>推理能力|教材P21T3 变式 数 学课本第21 页复习题的第3题如下： 如图1，填空：由三角形两边的和大于第三边,得AB+AD> BD ,PD+CD> PC .将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD> ,即AB+AC> BP+PC . (1)补全上面的步骤. (2)如图2,过点P作直线MN分别交AB,AC于点 M,N,连接PB,PC.仿照图1 的方法,试说明AB+AC>PB+PC.(不添加辅助线) (3)一题多解如图3，点O是△ABC内一点，连接OB,OC.若AB=5,AC=6,BC=7,求OB+OC的取值范围. (3)如图,延长BO,交AC于点D,在△ABD中,AB+AD>BD.在△ODC中,OD+CD>OC.将不等式左边、右边分别相加,得AB+AD+OD+CD>BD+OC,即AB+AC>OB+OC. 课时2 三角形的中线、角平分线、高 知识点 1 三角形的中线 1. [2026 嘉兴期末]如图,在锐角三角形ABC中,AD为BC边上的中线，则 () A. BD=AD B. BD=CD C. AD=AC D. AB=BC 2.[2026广州增城区期中]如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G均在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是 () A.点G B.点D C.点 E D.点F 3.[2026 广州清华附中湾区学校期中]如图，CM 是△ABC的中线,BC=8cm .若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm,则AC的长为 () A.3cm B.4 cm C.6cm D.10cm 4. [2026昆明期中]如图,点O 是△ABC的重心,连接AO并延长，交BC于点D，连接BO并延长，交AC于点 E.若△BEC的面积是4,则△ADC的面积为 . 知识点2 三角形的角平分线 5.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论错误的是 () A. BD 是△ABC的角平分线 B. CE是△BCD的角平分线 C. D. CE是△ABC的角平分线 知识点 3 三角形的高 6. 》易错题 [2026台州黄岩区期末]作△ABC 的AB 边上的高，其中直角三角尺摆放正确的是 () 7.[2026 淮南十九中期中]如图,在△ABC中,关于高的说法正确的是 () A.线段AD是BC边上的高 B.线段BE是AB边上的高 C.线段CF是AC边上的高 D.线段CF是BC边上的高 8. >教材P10T7变式如图,△ABC的边 BC上的高为AF,中线为AD,AC边上的高为BG,已知AF=7.2,BD=5,BG=6. (1)求△ABC的面积; (2)求AC的长. 一题多变 三角形中线的应用——求面积 1.>多次运用中线的性质[2026三亚崖州区期中]如图,BD 是△ABC 的边AC 上的中线，AE是△ABD 的边BD上的中线，视频解题BF是△ABE 的边 AE 上的中线,连接CE,CF.若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积为 . 2.◇中线结合线段比与面积比的关系 [2026 重庆南川区期末]如图,在△ABC中,点D,E分别是BC,AB边的中点,连接AD,DE,点F在AD上,且DF=2AF,连接EF,CF,若△ABC的面积是12,则四边形CDEF的面积是 . 3.整体法求面积差如图，在△ABC中，E 为边AC的中点,点D 在边BC上,BD:DC=5:8,AD,BE 交于点 F. 若△ABC 的面积为 26,则 4. >规律型[2026日照期末]如图,△ABC的面积为1,分别倍长(延长一倍)AB,BC,CA 得到△A₁B₁C₁,再分别倍长A₁B₁,B₁C₁,C₁A₁得到△A₂B₂C₂……按此规律,倍长2026次后得到的△A₂₀₂₆B₂₀₂₆C₂₀₂₆的面积为 一题多变 面积法的运用 1. 双高图(内内)[2026重庆铜梁区期末]如图,AE,CD是△ABC的高,AE=6,CD=4,则 课内提分区 C.32 A. B. D. 2. 面积分割 [2026 濮阳期末]如图,在△ABC 中,BA=BC=5,AC=6, 点 D 是边 AC上一动点(不与点A，C重合)，过点D 分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则DE+DF的值为 () A.2.4 B.4.8 C.6 D.无法确定 3.结合中线[2026 东莞中学期中]如图,AD为△ABC的中线,DE,DF 分别为△ADB,△ADC 的高若AB=3,AC=4,DF=1.5,则DE的长为 () A.2 B.3 C.4 D.6 4.双高图(内外)[2026烟台芝罘区期中]如图，在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,点D 为线段BC上的一动点(点D 与点C，B不重合)，作BE⊥AD于点E,CF⊥AD,交AD 的延长线于点F.若点D沿CB方向运动，则在点D 的运动过程中，BE+CF的值 () A.逐渐变小 B.逐渐变大 C.不变 D.无法确定 解释版 13.2与三角形有关的线段 课时1 三角形的边 知识点 1 三角形的三边关系 1. 教材P7T1变式[2026 惠州期末]下列长度的三条线段，能组成三角形的是 (C) A.1,3,4 B.2,2,7 C.4,5,7 D.3,3,6 2. [2026孝感孝南区期末]如图，为了估计池塘岸边A，B两点之间的距离，在池塘外选取一点P，测得PA=80米,PB=60米,则A,B两点之间的距离不可能是 ( D ) A.30米 B.70米 C.110米 D.150米 3. 新情境[2026金华期末]三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示.若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是 (C) A.2 B.3 C.4或5 D.6 4. [2026武汉武昌区期末] 从长为9 cm,6 cm,4 cm,3c m的四根木条中选取三根组成三角形，不同的选法有 2 种. 5. 易错题[2026周口期末]若等腰三角形的两边长分别为3 和7，则它的周长为 17 . 6. [2026安康期末]若一个三角形的三边长均为整数，其中的两边长分别为1，5，则第三边的长为 5 . 7. [2025 北京房山区期末] 如图，在△ABC 中,点 D,E 分别在边AB,AC上,将△ABC沿DE所在的直线裁去一个角得到四边形DBCE,则四边形DBCE的周长 小于 (填“大于”“等于”或“小于”)△ABC的周长. 8. [2026南宁三中月考]某学校要用钢管制作一个三角形框架的宣传栏，已经购买两根长度分别为2m和 5m的钢管，还需要再购买一根，某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应的价格如下表. 规格/m 1 2 3 4 5 6 价格/(元/根) 10 15 20 25 30 35 (1)有哪几种规格的钢管可供选择? (2)若要求做成的三角形框架的周长为偶数，则做这个三角形框架一共需要花多少钱购买钢管? 解：(1)设第三根钢管的长度为 xm，则5-2<x<5+2,即3<x<7,∴长度为4m，5m，6m的钢管可供选择. (2)∵三角形框架的周长为偶数，∴三边长分别为2m,5m,5m ,则一共需要花15×1+30×2=75(元). 答：做这个三角形框架一共需要花75 元购买钢管. 知识点 2 三角形的稳定性 9. [2026开封河大附中期末]伞的伞骨设计暗藏数学智慧，手工艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了如图的三角形结构.这其中蕴含的数学原理是 三角形具有稳定性 . 10.[2025湛江期末]下列实例中没用到三角形的稳定性的是 (D) 11.[2026洛阳瀍河回族区期末]把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是 (B) 12.新考法 [2025厦门集美区期中]八一中学八(2)班的学生杨冲和李锐，他们两家到学校的直线距离分别是5k m和3 km，那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是 (A) A.1 km B.2km C.3km D.8k m 13.[2026南京科利华中学月考]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为 3 . 14.[2026黄冈期中]已知三角形的三边长分别为2，a-4,4,则化简|a-3|+|a-11|的结果是 8. 15.[2026六安皋城中学期中]若一个三角形的三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”.例如，三边长为6，8，10 的三角形是“好运三角形”. 【概念运用】 (1)在△ABC中,AB=2,BC=4,若△ABC为“好运三角形”，求AC的长； 【变式运用】 (2)已知△ABC的周长为16,AC=4,AB的长为偶数，求出AB 的长，并判断△ABC 是不是“好运三角形”. 解:(1)在△ABC中,AB=2,BC=4, ∴BC-AB<AC<BC+AB,∴4-2<AC<4+2,∴2<AC<6. ∵△ABC为“好运三角形”, ∴AC为偶数,∴AC=4. (2)设AB=x(x为偶数),则BC=16-4-x=12-x, 根 据 三 角 形 两 边 的 和 大 于 第 三 边，得 解得4<x<8. ∵AB的长为偶数,∴AB=6,∴BC=12-6=6. ∵AC=4,∴△ABC是“好运三角形”. 16.>推理能力|教材P21T3 变式 数 学课本第21 页复习题的第3题如下： 如图1，填空：由三角形两边的和大于第三边,得AB+AD> BD ,PD+CD> PC .将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD> BD+PC ,即AB+AC> BP+PC . (1)补全上面的步骤. (2)如图2,过点P作直线MN分别交AB,AC于点 M,N,连接PB,PC.仿照图1 的方法,试说明AB+AC>PB+PC.(不添加辅助线) (3)一题多解如图3，点O是△ABC内一点，连接OB,OC.若AB=5,AC=6,BC=7,求OB+OC的取值范围. 解:(2)在△AMN中,AM+AN>MN. 在△MPB中,MB+MP>PB. 在△NPC中,NP+NC>PC. 将三个不等式左边、右边分别相加，得AM+AN+MB+MP+NP+NC>MN+PB+PC,即AB+AC>PB+PC. (3)如图,延长BO,交AC于点D,在△ABD中,AB+AD>BD.在△ODC中,OD+CD>OC.将不等式左边、右边分别相加,得AB+AD+OD+CD>BD+OC,即AB+AC>OB+OC. 根据三角形的三边关系可得OB+OC>BC. ∵AB=5,AC=6,BC=7, ∴7<OB+OC<11. 课时2 三角形的中线、角平分线、高 知识点 1 三角形的中线 1. [2026 嘉兴期末]如图,在锐角三角形ABC中,AD为BC边上的中线，则 (B) A. BD=AD B. BD=CD C. AD=AC D. AB=BC 2.[2026广州增城区期中]如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G均在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是 (B) A.点G B.点D C.点 E D.点F 3.[2026 广州清华附中湾区学校期中]如图，CM 是△ABC的中线,BC=8cm .若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm,则AC的长为 (C) A.3cm B.4 cm C.6cm D.10cm 4. [2026昆明期中]如图,点O 是△ABC的重心,连接AO并延长，交BC于点D，连接BO并延长，交AC于点 E.若△BEC的面积是4,则△ADC的面积为 4 . 知识点2 三角形的角平分线 5.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论错误的是 (D) A. BD 是△ABC的角平分线 B. CE是△BCD的角平分线 C. D. CE是△ABC的角平分线 知识点 3 三角形的高 6. 》易错题 [2026台州黄岩区期末]作△ABC 的AB 边上的高，其中直角三角尺摆放正确的是 (C) 7.[2026 淮南十九中期中]如图,在△ABC中,关于高的说法正确的是 (A) A.线段AD是BC边上的高 B.线段BE是AB边上的高 C.线段CF是AC边上的高 D.线段CF是BC边上的高 8. >教材P10T7变式如图,△ABC的边 BC上的高为AF,中线为AD,AC边上的高为BG,已知AF=7.2,BD=5,BG=6. (1)求△ABC的面积; (2)求AC的长. 解:(1)∵△ABC的中线为AD,BD=5, ∴BC=2BD=10. ∵AF为△ABC的高,AF=7.2, ∴ △ABC 的面积为 BC·AF= ×10×7.2=36. (2)∵△ABC的面积为 AC·BG=36,BG=6,∴AC=12. 一题多变 三角形中线的应用——求面积 1.>多次运用中线的性质[2026三亚崖州区期中]如图,BD 是△ABC 的边AC 上的中线，AE是△ABD 的边BD上的中线，视频解题BF是△ABE 的边 AE 上的中线,连接CE,CF.若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积为 12 . 2.◇中线结合线段比与面积比的关系 [2026 重庆南川区期末]如图,在△ABC中,点D,E分别是BC,AB边的中点,连接AD,DE,点F在AD上,且DF=2AF,连接EF,CF,若△ABC的面积是12,则四边形CDEF的面积是 6 . 3.整体法求面积差如图，在△ABC中，E 为边AC的中点,点D 在边BC上,BD:DC=5:8,AD,BE 交于点 F. 若△ABC 的面积为 26,则 4. >规律型[2026日照期末]如图,△ABC的面积为1,分别倍长(延长一倍)AB,BC,CA 得到△A₁B₁C₁,再分别倍长A₁B₁,B₁C₁,C₁A₁得到△A₂B₂C₂……按此规律,倍长2026次后得到的△A₂₀₂₆B₂₀₂₆C₂₀₂₆的面积为 一题多变 面积法的运用 1. 双高图(内内)[2026重庆铜梁区期末]如图,AE,CD是△ABC的高,AE=6,CD=4,则 课内提分区 C.32 A. B. D. 2. 面积分割 [2026 濮阳期末]如图,在△ABC 中,BA=BC=5,AC=6, 点 D 是边 AC上一动点(不与点A，C重合)，过点D 分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则DE+DF的值为 (B) A.2.4 B.4.8 C.6 D.无法确定 3.结合中线[2026 东莞中学期中]如图,AD为△ABC的中线,DE,DF 分别为△ADB,△ADC 的高若AB=3,AC=4,DF=1.5,则DE的长为 (A) A.2 B.3 C.4 D.6 4.双高图(内外)[2026烟台芝罘区期中]如图，在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,点D 为线段BC上的一动点(点D 与点C，B不重合)，作BE⊥AD于点E,CF⊥AD,交AD 的延长线于点F.若点D沿CB方向运动，则在点D 的运动过程中，BE+CF的值 (B) A.逐渐变小 B.逐渐变大 C.不变 D.无法确定 学科网（北京）股份有限公司 $