精品解析：广东省湛江市霞山实验学校2025-2026学年度九年级第二学期第二次调研测试

2025-2026学年度九年级第二学期第二次调研测试 数学试卷 （满分：120分 考试用时：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．） 1. 我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若零上记为“”，则零下可记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查主要了正负数的实际应用，根据正负数的意义，零上温度记为正数，零下温度记为负数． 【详解】解：∵零上记为， ∴零下应记为， 故选B 2. 博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，其图案不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该文字图案是轴对称图形，不合题意； B．该文字图案不是轴对称图形，符合题意； C，该文字图案是轴对称图形，不合题意； D，该文字图案是轴对称图形，不合题意． 故选：B． 3. 位于白鹅潭大湾区艺术中心的广东省非遗馆，自2024年5月开放以来，已成为粤港澳文化交流的重要平台．截至2025年10月，该馆已累计接待观众超万人次．数据“”用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， 故选：C 4. 已知不等式x﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：∵x﹣1≥0， ∴x≥1． 故选C． 【点睛】不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．因此不等式x≥1即x﹣1≥0在数轴上表示正确的是C． 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此计算求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，求出的度数，等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ∴，， ∴； 故选B． 7. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干，将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查求概率，直接运用概率公式求解即可． 【详解】解：在4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干中，属于物理变化的是①冰化成水和④衣服晾干两张卡片， 所以，所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心为（ ） A. 点A B. 点N C. 点O D. 点P 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，交于点P，根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接，交于点P， 则点P为位似中心． 故选：D． 9. 为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找出题中的等量关系． 设乙组每小时做个虾饺，根据“甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同”列出方程． 【详解】解：设乙组每小时做个虾饺，则甲组同学平均每小时做个虾饺， 根据题意，得， 故选： A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当轴时，线段最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式即可求a的值． 【详解】解：根据题意知，当轴时，线段最短． ∵点C的坐标为， ∴点D的坐标为． 将其代入，得， 解得． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一组数据5，5，6，x，7，7，8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查中位数与平均数，先求出x的值，再进行排序，求出中位数即可 【详解】解：， 所以， 数据排序后：4，5，5，6，7，7，8， ∴中位数为6 答案为：6 12. 分解因式： _______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 13. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】利用根的判别式解答． 本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ． 故答案为：． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的系数k的几何意义和图象所在的象限是解决问题的关键． 根据的面积为2，可以得到的面积也是2，再根据反比例函数k的几何意义和所在的象限，确定k的值即可 ． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 又∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 对于任意正整数，定义一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 由新运算，可知， 则， ∴． 三、简答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 下面是小星同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 计算． 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 （1）任务一：以上步骤中，从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； （2）任务二：请写出正确的计算过程． 【答案】（1）一，乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算 （2） 依题意，正确的计算过程： 原式． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）乘除同级运算，应是从左到右运算，即可作答． （2）先运算除法，再运算乘法，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次计算； 【小问2详解】 略 17. 如图，在和中，在同一条直线上．下面给出四个论断：①；②；③；④．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？选择一个真命题进行证明． 【答案】可得到4个命题，其中真命题有2个；①②④为条件，③为结论， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故本命题为真命题． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据三角形判定定理，进行分析证明即可，注意：不能判定两个三角形全等． 【详解】解：可得到4个命题， ②③④为条件，①为结论，为假命题， ①③④为条件，②为结论，为真命题， ①②④为条件，③为结论，为真命题， ①②③为条件，④为结论，为假命题． 所以，其中真命题有2个． 选择以下一个真命题进行证明： ①②④为条件，③为结论． 18. 如图，在矩形中，是对角线． （1）在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接、，判断四边形的形状． 【答案】（1） 所作的图形如下： （2）四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了作图：作线段的垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）作的垂直平分线即可； （2）由矩形的性质、翻折性质及线段垂直平分线的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是菱形．理由如下， ∵四边形为矩形， ∴， 由翻折知，， 由作图知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 四、简答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图： （1）数据整理：此次调查的学生人数为_______人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数为_______，请补全条形统计图； （2）合理预测：若该校共有名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数； （3）分析决策：商家需选择一名角色作为盲盒的隐藏款，你认为应选择哪个角色作为隐藏款？请说明理由． 【答案】（1），，补全条形统计图如图所示： （2）人 （3）应选择殷夫人作为隐藏款，因为调查可知喜欢殷夫人的人数最少．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，解题关键是能读懂统计图，从中获取有用信息． （1）根据喜爱哪吒的有人，占，可求出此次调查的学生人数；根据喜爱“太乙真人”有人除以此次调查的学生数乘以度可求得扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数；出此次调查的学生人数减去其他人数可得喜爱“殷夫人”的人数； （2）根据此次调查的学生中最爱“敖丙”的有人除以此次调查的学生人数乘以即可； （3）选择调查中人数比较少的，答案不唯一，言之有理即可． 【小问1详解】 解： 此次调查的学生有（人）， 扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角为， 喜爱“殷夫人”的有（人）， 【小问2详解】 （人）， 答：估计全校最爱“敖丙”的人数大约为人； 【小问3详解】 略 20. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水筒的最大深度为1米（即米）． （1）求的半径； （2）若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的6米变为8米，且圆心仍在水面上方时，求水面上涨了多少米？ 【答案】（1）该圆的半径为5米 （2）水面上涨的高度为1米 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得米，设圆的半径为米，则米，米，利用勾股定理得，即，解方程即可得解； （2）设水面升到如图的位置，则，与相交于点，根据垂径定理得米，由勾股定理求出，再根据即可得解． 【小问1详解】 解：如图，由题意可知，米，米， ，且经过圆心，米， 米， 设圆的半径为米，则米，米， 在中， ，即， 解得， 即该圆的半径为5米； 【小问2详解】 解：设水面升到如图的位置，则，与相交于点， ，且经过圆心， 米， 连接，在中，米，米， 米， （米）， 即水面上涨的高度为1米． 21. 根据以下素材，探索完成任务 设计小区大门灯笼的悬挂方案 素材一 图1是某小区的正门，图2是正门的示意图， 小航查阅相关资料获得以下信息：①正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，②矩形的宽为，高为，抛物线形拱的高为． 素材二 为迎接龙年春节，拟在图1正门抛物线形拱上悬挂直径为的灯笼，如图3为了美观，要求悬挂灯笼的数量为双数，且平均分布，间隔在之间． 问题解决 任务1 确定拋物线形拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式 任务2 探究悬挂数量 给出符合所有悬挂条件的灯笼数量． 任务3 拟定设计方案 根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标 【答案】任务1： 建立如图所示的平面直角坐标系， ； 任务2：4个； 任务3：最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用； 任务1：以中点为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，可得抛物线的顶点，且过点，然后利用待定系数法求解即可； 任务2：设悬挂个灯笼，先根据“间隔在之间”列不等式求解，再根据“悬挂灯笼的数量为双数”得出答案； 任务3：先求出间隔的距离，然后计算即可． 【详解】解：任务1：以中点为原点，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， ∵矩形的宽为，高为，抛物线形拱的高为， ∴抛物线的顶点，且过点， 设抛物线的解析式为：， 把点代入得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为：； 任务2：设悬挂个灯笼， 依题意得：， 解得：， 因为灯笼的个数为双数， 所以符合悬挂条件的灯笼数量为4个； 任务3：由题意得间隔为， 所以最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为． 五、简答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______； （2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，请求出的长． 【答案】（1）； （2）． 理由：如图， 过点作于点， ， ，， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，得出，证明，可得出答案； （3）过点作于点，过点作，交延长线于点，先得出，再得出，设，则，得出，根据相似三角形的性质得出，得出，在求出x的值即可． 【详解】解：（1）当时，和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ． ． 线段绕点顺时针旋转得到线段， ． ． 是以为底边的等腰三角形，， ，． ． ． ． ， ． 设，则， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点，点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标； （3）如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图象上存在一点Q，使得，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）最小值为，点F的坐标为 （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由可得两点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；再由点A在反比例函数的图象上，由待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）易得直线的解析式为，作轴于点G，轴于点H，交直线于点，设，则，则可表示出，，，从而求得，则，当A，P，G在同一直线上，且轴时，的值最小，此时最小值为的长．作点A关于y轴的对称点为，连接交y轴于点，则可得，，当三点共线时，的值最小，且可求得最小值；再由待定系数法求得直线的解析式为，即可求得点F的坐标； （3）过点D作y轴的垂线l，过点A，N作直线l的垂线，垂足分别为U，T，则由易证，从而得，从而得到，并求得直线的解析式为，由此可得点R的坐标，待定系数法求得直线的解析式，与反比例函数联立，求得x的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 把上述两点坐标分别代入一次函数中，得， 解得：, ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴， 把点A的坐标代入中，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把点B的坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析式为． 如图1，作轴于点G，轴于点H，交直线于点， 设，则，易知所求点P在点B的左侧． ∴，，， ∴， ∴， ∴， 当A，P，G在同一直线上，且轴时，的值最小，此时最小值为的长． ∵， ∴， 如图1，作点A关于y轴的对称点为，连接交y轴于点， 由轴对称的性质可得，， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为． 由待定系数法得直线的解析式为， 当时，， ∴，即此时点F的坐标为． 【小问3详解】 解：如图2，过点D作y轴的垂线l，过点A，N作直线l的垂线，垂足分别为U，T， 则， ∴， ∴， 由旋转知， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 设直线与直线交于点R． ∵，， ∴轴， ∴． 又∵． ∴， ∴， 作于点K，则， ∴点R的横坐标为， 当时，，即， ∴直线的解析式为． 联立解得或， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级第二学期第二次调研测试 数学试卷 （满分：120分 考试用时：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．） 1. 我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若零上记为“”，则零下可记为（ ） A. B. C. D. 2. 博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，其图案不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 位于白鹅潭大湾区艺术中心的广东省非遗馆，自2024年5月开放以来，已成为粤港澳文化交流的重要平台．截至2025年10月，该馆已累计接待观众超万人次．数据“”用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知不等式x﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（） A. B. C. D. 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干，将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心为（ ） A. 点A B. 点N C. 点O D. 点P 9. 为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一组数据5，5，6，x，7，7，8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是________． 12. 分解因式： _______． 13. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是__________． 15. 对于任意正整数，定义一种新运算：．例如，规定，则，．若规定，则__________． 三、简答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 下面是小星同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 计算． 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 （1）任务一：以上步骤中，从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； （2）任务二：请写出正确的计算过程． 17. 如图，在和中，在同一条直线上．下面给出四个论断：①；②；③；④．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？选择一个真命题进行证明． 18. 如图，在矩形中，是对角线． （1）在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接、，判断四边形的形状． 四、简答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图： （1）数据整理：此次调查的学生人数为_______人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数为_______，请补全条形统计图； （2）合理预测：若该校共有名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数； （3）分析决策：商家需选择一名角色作为盲盒的隐藏款，你认为应选择哪个角色作为隐藏款？请说明理由． 20. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水筒的最大深度为1米（即米）． （1）求的半径； （2）若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的6米变为8米，且圆心仍在水面上方时，求水面上涨了多少米？ 21. 根据以下素材，探索完成任务 设计小区大门灯笼的悬挂方案 素材一 图1是某小区的正门，图2是正门的示意图， 小航查阅相关资料获得以下信息：①正门是由一个矩形和一个抛物线形拱组成的轴对称图形，②矩形的宽为，高为，抛物线形拱的高为． 素材二 为迎接龙年春节，拟在图1正门抛物线形拱上悬挂直径为的灯笼，如图3为了美观，要求悬挂灯笼的数量为双数，且平均分布，间隔在之间． 问题解决 任务1 确定拋物线形拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式 任务2 探究悬挂数量 给出符合所有悬挂条件的灯笼数量． 任务3 拟定设计方案 根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标 五、简答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______； （2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，请求出的长． 23. 如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若直线过点，且与反比例函数交于点D，点F是y轴上的一个动点，点P是直线上的一个动点，当最小时，求的最小值及此时点F的坐标； （3）如图2，若点，连接，将线段以点D为圆心，逆时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数图象上存在一点Q，使得，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $