培优课　与集合有关的新定义问题导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

学案导学 编号：gqlx-bx1-1-10 培优课　与集合有关的新定义问题 课堂讲练 学习目标　 1.理解与集合有关的新定义的含义. 2.能够将新定义问题转化为集合问题，提升学生理解问题、解决创新问题的能力. 题型探究 一、与集合定义有关的新定义问题 例1、设A是正整数集的非空子集，称集合B={|u-v||u，v∈A，且u≠v}为集合A的生成集.当A={1，3，6}时，则集合A的生成集B=　　　　;若A是由5个正整数构成的集合，则其生成集B中元素个数的最小值为　　　　. 1-1、 (多选)设A，B是R中的两个子集，对于x∈R，定义:m=n= 若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为(　　) A.B=∁RA B.B=∁R(A∩B) C.A=∁RB D.A=∁R(A∩B) 二、与集合运算有关的新定义问题 例2、对于集合M，N，定义M-N={x|x∈M，且x∉N}，M⊕N=(M-N)∪(N-M)， 设A=，B={x|x<0，x∈R}，则A⊕B=　　　　. 2-1、(多选)给定集合A，B，定义A-B={x|x∈A，且x∉B}，则AΔB=(A-B)∪(B-A)叫做集合A与集合B的对称差，若集合A={y|y=x2-2x-1，0<x≤3}，B=[1，5)，则下列说法中正确的是(　　) A.A=[-2，2] B.AΔB=[-2，1]∪(2，5) C.AΔB=BΔA D.AΔB=(A∪B)-(A∩B) 三、与集合性质有关的新定义问题 例3 、设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足:①A⊆I，②|A|≤min(A)，(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为　　　　.  3-1(多选)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合A={-1，-，0，1}，B={x|(ax+1)(x-a)=0}，若A与B构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值可以是(　　) A.-2 B.0 C.1 D.2 课堂达标 1.定义运算:a☉b=ab-b.若集合A={0，1，2}，B={x|x=a☉2，a∈A}，则A∩B=(　　) A.{0} B.{1} C.{0，2} D.{1，2} 2.若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合A=，则其“2元子集”的个数为(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 3.设A、B是两个非空集合，定义AΔB={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知集合A=[0，2]，B=(1，+∞)，则AΔB=　　 　　.  4.给定集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x+1∉S，x-1∉S， 那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素” 的集合共有多少个？ 课后练 1.对于集合A，B，定义集合A-B={x|x∈A，且x∉B}，已知集合U={x|-3<x<7，x∈Z}， E={-1，0，2，4，6}，F={0，3，4，5}，则∁U(E-F)=(　　) A.{-2，0，1，3，4，5} B.{0，1，3，4，5} C.{-1，2，6} D.{-2，0，1，3，4} 2.若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B={x∈Z|-3<x<4}，则A∩B真子集个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 3.若集合A同时具有以下三个性质:(1)0∈A，1∈A;(2)若x，y∈A，则x-y∈A;(3)若x∈A且x≠0，则∈A.则称A为“好集”.已知命题:①集合{1，0，-1}是好集;②对任意一个“好集”A，若x，y∈A，则x+y∈A.以下判断正确的是(　　) A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 4.(多选)若对任意x∈A，∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(　　) A.{-1，1} B. C.{x|x2>1} D.{x|x>0} 5.(多选)整数集合Z中,被4所除余数为K的所有整数组成一个“类”,记作[K],以下判断正确的是(　　) A.2 025∈[1] B.-2∉[2] C.[2]∪[3]=∁Z[1] D.a∈[2],b∈[3],则a+b∈[1] 6.已知集合A={0，2，3}，定义集合运算A※A={x|x=a+b，a∈A，b∈A}，则A※A=　　　　. 7.设集合I={1，2，3}，A⊆I，若把集合M∪A=I的集合M叫做集合A的配集， 则A={1，2}的配集有　　　　个. 8.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集表示由0，1组成的6位字符串，如{2，4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000. (1)若M={2，3，6}，则∁UM表示的6位字符串为　　 　　; (2)若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是　　 　. 9.数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合S为 第一象限连同边界上的格点集，即S={(x，y)|x∈N，y∈N}，已知集合P={(x，y)|y=-2x+3}，Q={(x，y)|y=-x2+3}. (1)分别求P∩S和Q∩S; (2)求(P∩S)∪(Q∩S). 10.设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件: ①1∉S; ②若a∈S，则∈S. (1)求证:若a∈S，则1-∈S; (2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素. 11.定义区间(c，d)、[c，d)、(c，d]、[c，d]的长度均为d-c，其中d>c. (1)不等式-2<x-1<2的解区间的长度是多少? (2)如果数集A=，B=都是集合的子集，那么A∩B的长度的最小值和最大值分别是多少?(直接写出答案) 1 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学 编号：gqlx-bx1-1-10 培优课　与集合有关的新定义问题（解析） 课堂讲练 题型探究 一、与集合定义有关的新定义问题 例1.设A是正整数集的非空子集，称集合B={|u-v||u，v∈A，且u≠v}为集合A的生成集.当A={1，3，6}时，则集合A的生成集B=　　　　;若A是由5个正整数构成的集合，则其生成集B中元素个数的最小值为　　　　. 答案　{2，3，5}　4 解析　(1)若A={1，3，6}，则|1-3|=2，|1-6|=5，|3-6|=3，所以B={2，3，5}. (2)若A是由5个正整数构成的集合， 不妨设x1>x2>x3>x4>x5，可得x1-x5>x2-x5>x3-x5>x4-x5，即B中元素至少有4个元素， 例如A={1，2，3，4，5}，则|1-2|=|2-3|=|3-4|=|4-5|=1， |1-3|=|2-4|=|3-5|=2，|1-4|=|2-5|=3，|1-5|=4，此时B={1，2，3，4}有4个元素， 所以生成集B中元素个数的最小值为4. 1-1 (多选)设A，B是R中的两个子集，对于x∈R，定义:m=n=若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为(　　) A.B=∁RA B.B=∁R(A∩B) C.A=∁RB D.A=∁R(A∩B) 答案　AC 解析　因为m=n=且对任意x∈R，m+n=1， 所以m，n的值一个为0， 另一个为1，即x∈A时，x∉B，或x∈B时，x∉A， 所以A，B的关系为B=∁RA或A=∁RB，故选A、C. 二、与集合运算有关的新定义问题 例2.对于集合M，N，定义M-N={x|x∈M，且x∉N}，M⊕N=(M-N)∪(N-M)，设A=，B={x|x<0，x∈R}，则A⊕B=　　　　. 答案　∪[0，+∞) 解析　A⊕B=(A-B)∪(B-A)={x|x≥0}∪=. 2-1.(多选)给定集合A，B，定义A-B={x|x∈A，且x∉B}，则AΔB=(A-B)∪(B-A)叫做集合A与集合B的对称差，若集合A={y|y=x2-2x-1，0<x≤3}，B=[1，5)，则下列说法中正确的是(　　) A.A=[-2，2] B.AΔB=[-2，1]∪(2，5)C.AΔB=BΔA D.AΔB=(A∪B)-(A∩B) 答案　ACD 解析　对于A，∵A={y|y=x2-2x-1，0<x≤3}，∴A={y|-2≤y≤2}，即A=[-2，2]，故A正确;对于B，∵A=[-2，2]，B=[1，5)，∴AΔB=(A-B)∪(B-A)=[-2，1)∪(2，5)， 故B错误;对于C，AΔB=(A-B)∪(B-A)=(B-A)∪(A-B)=BΔA，故C正确; 对于D，∵(A∪B)-(A∩B)=[-2，5)-[1，2]=[-2，1)∪(2，5)， 又∵AΔB=[-2，1)∪(2，5)，∴AΔB=(A∪B)-(A∩B)，故D正确. 三、与集合性质有关的新定义问题 例3 设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足:①A⊆I，②|A|≤min(A)，(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为　　　　.  答案　8 解析　①当|A|=1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为:{1}，{3}，{5}，{7}， ②当|A|=2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为:{3，5}，{3，7}，{5，7} ③当|A|=3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为:{3，5，7}， 所以I的所有好子集的个数为8. 3-1 (多选)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”;当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合A={-1，-，0，1}，B={x|(ax+1)(x-a)=0}，若A与B构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值可以是(　　) A.-2 B.0 C.1 D.2 答案　BCD 解析　当a=0时，B={0}，B⊆A，所以A与B构成“全食”; 当a>0时，B=，如果a=1，-=-1，B={-1，1}，A与B构成“全食”; 如果a=2，∴-=-，B=，此时A与B构成 “偏食”; 当a<0时，如果a=-1，则-=1，B={-1，1}，B⊆A，所以A与B构成“全食”; 如果a=-2，则-=，B=，所以A错误.故选BCD. 课堂达标 1.定义运算:a☉b=ab-b.若集合A={0，1，2}，B={x|x=a☉2，a∈A}，则A∩B=(　　) A.{0} B.{1} C.{0，2} D.{1，2} 答案　C 解析　由题意得B={x|x=2a-2，a∈A}={-2，0，2}，所以A∩B={0，2}. 2.若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合A=，则其“2元子集”的个数为(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 答案　A 解析　集合A=的所有“2元子集”为，{-2，3}，{-2，4}，，{3，4}共6个. 3.设A、B是两个非空集合，定义AΔB={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知集合A=[0，2]，B=(1，+∞)，则AΔB=　　　　.  答案　[0，1]∪(2，+∞) 解析　A∩B=(1，2]，A∪B=[0，+∞)，∴AΔB=[0，1]∪(2，+∞). 4.给定集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x+1∉S，x-1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有　　　　个.  答案　6 解析　若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共有6个. 课后练 1.对于集合A，B，定义集合A-B={x|x∈A，且x∉B}，已知集合U={x|-3<x<7，x∈Z}， E={-1，0，2，4，6}，F={0，3，4，5}，则∁U(E-F)=(　　) A.{-2，0，1，3，4，5} B.{0，1，3，4，5} C.{-1，2，6} D.{-2，0，1，3，4} 答案　A 解析　结合新定义可知E-F={-1，2，6}，又U={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}， 所以∁U(E-F)={-2，0，1，3，4，5}. 2.若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B={x∈Z|-3<x<4}，则A∩B真子集个数为(　　)A.3 B.4 C.7 D.8 答案　C 解析　由题中定义可知A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，而B={x∈Z|-3<x<4}，所以A∩B={1，2，3}，因此A∩B真子集个数为23-1=7. 3.若集合A同时具有以下三个性质:(1)0∈A，1∈A;(2)若x，y∈A，则x-y∈A;(3)若x∈A且x≠0，则∈A.则称A为“好集”.已知命题:①集合{1，0，-1}是好集;②对任意一个“好集”A，若x，y∈A，则x+y∈A.以下判断正确的是(　　) A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 答案　D 解析　对于①，因为1∈{1，0，-1}，-1∈{1，0，-1}，而-1-1=-2∉{1，0，-1}， 所以集合{1，0，-1}不是好集，故①错误; 对于②，因为集合A为“好集”， 所以0∈A，0-y=-y∈A， 所以x-(-y)=x+y∈A，故②正确. 4.(多选)若对任意x∈A，∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(　　) A.{-1，1} B. C.{x|x2>1} D.{x|x>0} 答案　ABD 解析　根据“影子关系”集合的定义，可知{-1，1}，，{x|x>0}为“影子关系”集合， 由{x|x2>1}={x|x<-1，或x>1}， 当x=2时，∉{x|x2>1}，故不是“影子关系”集合.故选ABD. 5.(多选)整数集合Z中,被4所除余数为K的所有整数组成一个“类”,记作[K],以下判断正确的是(　　) A.2 025∈[1] B.-2∉[2] C.[2]∪[3]=∁Z[1] D.a∈[2],b∈[3],则a+b∈[1] 答案　AD 解析　对于A,因为2 025=506×4+1, 所以2 025∈[1],故A正确; 对于B,因为-2=(-1)×4+2,所以-2∈[2],故B错误; 对于C,因为Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3], 所以∁Z[1]=[0]∪[2]∪[3],故C错误; 对于D,a∈[2],b∈[3],则a=4n+2,n∈Z,b=4m+3,m∈Z,a+b=4n+2+4m+3=4(n+m)+5=4(n+m+1)+1,m∈Z,n∈Z, 所以n+m+1∈Z,所以a+b∈[1],故D正确. 6.已知集合A={0，2，3}，定义集合运算A※A={x|x=a+b，a∈A，b∈A}，则A※A=　　　　. 答案　{0，2，3，4，5，6} 解析　由题意知，集合A={0，2，3}，则a与b可能的取值为0，2，3， ∴a+b的值可能为0，2，3，4，5，6，∴A※A={0，2，3，4，5，6}. 7.设集合I={1，2，3}，A⊆I，若把集合M∪A=I的集合M叫做集合A的配集，则A={1，2}的配集有　　　　个. 答案　4 解析　由题意，M可以是{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共4个. 8.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集表示由0，1组成的6位字符串，如{2，4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000. (1)若M={2，3，6}，则∁UM表示的6位字符串为　　　　; (2)若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是　　　　. 答案　(1)100110　(2)4 解析　(1)M表示的6位字符串是011001， 则∁UM表示的6位字符串为100110; (2)若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001， ∴集合B可能是{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，共4个. 9.数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合S为第一象限连同边界上的格点集，即S={(x，y)|x∈N，y∈N}，已知集合P={(x，y)|y=-2x+3}，Q={(x，y)|y=-x2+3}. (1)分别求P∩S和Q∩S; (2)求(P∩S)∪(Q∩S). 解　(1)y=-2x+3，令x=0，解得y=3， 令x=1，解得y=1，故P∩S={(0，3)，(1，1)}，y=-x2+3， 令x=0，解得y=3， 令x=1，解得y=2，故Q∩S={(0，3)，(1，2)}， (2)(P∩S)∪(Q∩S)={(0，3)，(1，1)，(1，2)}. 10.设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件: ①1∉S;②若a∈S，则∈S. (1)求证:若a∈S，则1-∈S; (2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素. (1)证明　因为1∉S，由a∈S，则∈S，所以1-a≠0，可得∈S， 即==1-∈S，故若a∈S，则1-∈S. (2)解　由2∈S，得=-1∈S;由-1∈S，得=∈S;而当∈S时，=2∈S，…， 因此当2∈S时，集合S中必含有-1，两个元素. 二、综合运用 11.定义区间(c，d)、[c，d)、(c，d]、[c，d]的长度均为d-c，其中d>c. (1)不等式-2<x-1<2的解区间的长度是多少? (2)如果数集A=，B=都是集合的子集，那么A∩B的长度的最小值和最大值分别是多少?(直接写出答案) 解　(1)不等式-2<x-1<2的解为-1<x<3，即不等式的解集为(-1，3)， ∴该不等式的解区间的长度是3-(-1)=4. (2)由题意知解得0≤a≤≤b≤1， 取a=0，b=1，则A=，B=， 得A∩B=，∴集合A∩B的长度取到最小值，最小值为=; 取a=0，b=，则A=，B=，得A∩B=， ∴集合A∩B的长度取到最大值，最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $