浙江省杭州学军中学2026-2027学年第一学期高二数学周末练（3）

《杭州学军中学2026学年第一学期高二数学周末练（3）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B D B C C ABD ACD 题号 11A 11B 答案 AC ACD 1．A 【分析】根据法向量的定义，转化为两个向量垂直，即可列式求解. 【详解】由条件可知，，得. 故选：A 2．D 【分析】只需由正弦定理以及三角恒等变换得的外接圆的半径即可. 【详解】设的外接圆的半径为, 则， 解得，所以的外接圆的面积为. 故选：D. 3．D 【分析】由可得，根据题得，从而可求得答案 【详解】， 由，得，即， 因为在有唯一零点， 所以． 所以m的最大值是 故选：D． 4．B 【分析】过作圆与直线相切于，在直线上任取一点，连接交圆于，由 得点即为所求点，利用几何关系求点坐标即可. 【详解】如图所示过作圆与直线相切于，在直线上任取一点，连接交圆于， 因为，所以切点即为所求点， 因为点坐标为，所以由切割线定理得， 又由直线的倾斜角为可得，且 由余弦定理可得. 所以轴， 所以点横坐标为3，代入直线方程得点坐标为， 故选：B 5．D 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 6．B 【分析】先利用余弦差角公式求出，然后再用同角三角函数关系求出，再用诱导公式与二倍角公式求解即可 【详解】， ， 则 故选：B 7．C 【分析】体积最大时，即两个面垂直时，然后利用几何关系找到外接球圆心即可. 【详解】如图所示， 当平面 平面时,三棱锥体积最大， 取AC中点E，连接BE，DE，由条件知 设分别为的外心，过作平面的垂线m，过作平面ADC的垂线n 则m，n的交点即为三棱锥外接球的球心； 所以 所以，表面积为 故选：C. 8．C 【分析】根据函数的对称性，奇偶性得到的一个周期为8，由变形得到在上单调递减，故在上单调递减，由函数周期，奇偶性，对称性得到在R上的最小值为，故，解得，求出的最大值为2. 【详解】为偶函数，故关于对称，， 又为奇函数，故，即， 所以， 所以，故， 的一个周期为8， 区间上的任意都有， 令，则在上单调递减， 故在上单调递减， 因为为奇函数，所以在上单调递减， 又的一个周期为8，故在上单调递减， 又关于对称，故， 故在上单调递减， 由对称性可知在上单调递增， 且的一个周期为8， 故在R上的最小值为， 不等式对任意的恒成立， 故，解得， 当时，，当时，， 当时，， 故的最大值为2 故选：C 【点睛】结论点睛：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 9．ABD 【分析】利用互斥事件与独立事件的定义与概率公式，对选项一一验证即可. 【详解】对于AB，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次， 第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥， 第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立，故AB正确； 对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次， 若第一次的点数为2，第二次的点数3点， 则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误； 对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其总的基本事件为件， 事件 “第一次出现2点”的基本事件有，故， 事件“两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故， 事件“第一次出现2点，且两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故， 所以，则与相互独立，故D正确. 故选：ABD. 10．ACD 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 11A．AC 【分析】根据外接球的圆心为中点,即可根据表面积公式求解A，根据线线垂直即可结合三角形全等得矛盾求解B，根据面面垂直的性质即可求解高的最大值，进而可求C，根据全等的性质，由线面垂直即可得线面角，进而根据三角形的边角关系求解D. 【详解】对于A, 和是全等三角形，，，． 可得中点到，，，的距离相等，故为棱锥的外接球的球心，为直径， 外接球的半径为2，三棱锥的外接球表面积值为，故A正确， 对于B：假若存在存在，使得，由于，平面，所以平面，由于平面,故, 由于和是全等三角形，所以,故不可能，因此 不存在满足条件，故B错误； 对于C：三棱锥体积最大时，平面平面， 由已知,,所以， 又,故为等边三角形， 过作，则 ，故到平面的距离为1， ，故C正确； 对于D,由于在翻折过程中，, 故当，可得，平面，平面， 则是与平面所成的角， 由，，由勾股定理可得， 在△中，，故D错误． 故选：AC． 11B．ACD 【分析】对于A，由题意可证平面，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，据此判断A；对于B，根据题意求出正方体边长及的长，由此可知点的运动轨迹；对于C，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，假设点的坐标，求出的方向向量，假设平面，则平面的法向量和的方向向量共线，进而求出点的坐标，再判断点是否满足B中的轨迹即可；对于D，利用空间直角坐标系求出点到平面的距离，求出距离的最大值即可. 【详解】对于A，如图，连接、， 依题意，，而平面平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值， 所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确； 对于B，因为正方体的体积为8，故，则，而， 故， 故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为，故B错误； 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 设为平面的法向量，则故 令，故为平面的一个法向量， 设，故， 若平面，则， 则，解得，但， 所以不存在点点，使得平面，故C正确； 对于D，因为为等腰三角形，故， 而点到平面的距离， 令，则， 则，其中， 则四面体体积的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 12．/ 【分析】由题可知等边三角形的边长，进而可得点的坐标，从而求出，再椭圆的定义列方程求离心率. 【详解】依题意知， 不妨设点在第一象限，则点，又， 所以， 由椭圆的定义知：， 则， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】先由题设条件求得，再将不等式转化为上半圆上任意一点到直线的距离小于或等于，结合图像，可得，由此可得k的取值范围. 【详解】由题意可得，得， 则原不等式可转化为在上恒成立， 设直线，上半圆，即，半径为， 则由点线距离公式可知，表示上半圆上任意一点到直线的距离小于或等于，且直线过定点，如图， 设圆心（原点）到直线的距离为，由于上半圆上的点到直线的最大距离为，所以，即，即，解得或， 所以k的取值范围为. 故答案为：. 14A． 【分析】设，由题意可得可得点圆上，根据结合数量积的坐标公式可得两点重合，则，点到直线和的距离之和的倍，再结合圆上的点到直线和点的最值问题即可得解. 【详解】设， 由， 可得点在以为圆心为半径的圆上， ， 所以，所以， 所以两点重合，故， 则， 表示，点到直线的距离的倍， 表示，点到直线的距离的倍， 故 表示点到直线和的距离之和的倍， 设直线和的交点为，则， 设点到直线和的距离分别为， 则， 因为， 所以， 当且仅当时，取等号， 而， 所以， 此时，， 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，再借助三角函数的性质求出最值. 14B． 【详解】原问题等价于以为圆心的圆与圆有两个交点， AB中点坐标为，以为圆心的圆的半径， 且圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距为：， 结合可得关于实数的不等式组： ， 求解关于实数的不等式组可得实数的取值范围为. 点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化角为边结合余弦定理计算即可； （2）利用余弦定理先计算与，再根据三角形内角和计算，利用正弦定理得c，由面积公式计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，则， 所以， 因为，所以； （2）根据题意及余弦定理有， 所以， 则， 根据正弦定理有， 所以. 16．（1）或；（2）. 【解析】（1）求出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求出实数的值，进而可得出直线的方程； （2）求出以为直径的圆的方程，确定该圆的圆心坐标和半径长，结合已知条件转化为两圆相交即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）已知是圆上一点，，. 圆心为，半径，直线的斜率为. 直线的方程为，即. 直线与圆相切，，解得或. 因此，直线的方程为或； （2）因为、， 所以的中点，且. 则以为直径的圆的圆心为，半径为. 存在两个点使得，所以圆与圆相交， 即，即， 解得且. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求直线方程，以及与圆相关的动点问题，将问题转化为两圆的位置关系是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 17．(1)； (2)；； (3)为定值. 【分析】（1）将直线方程整理后可得方程组，解方程组可求得定点坐标. （2）由（1）结合直线的点斜式写出方程，再利用圆心到直线距离小于半径求解即可. （3）设出直线的方程，与圆方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式求解作答. 【详解】（1）将直线方程整理为：， 令，解得：，所以直线恒过定点. （2）直线斜率为，由（1）得，直线的点斜式方程为：，即， 圆：的圆心，半径， 因为直线与圆交于两点，则圆心到直线距离，即，解得：， 所以直线斜率的取值范围为. （3）设，，当时，与圆仅有一个交点，不合题意，即有， 则直线，令直线方程为， 由得：，由（2）知：，，， 因此， 所以为定值. 18．(1)证明： 设的中点为，连接,如图所示， A 因为与均为等腰直角三角形，， 故,且, 因为为等边三角形，故, 故,即, 且平面,, 故平面,且平面， 故平面平面. (2) 【分析】（1）设的中点为，证明平面,然后利用线面垂直证明面面垂直即可； （2）作出二面角的平面角，然后利用线面关系作出二面角的平面角，然后利用余弦定理求余弦值即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，,且平面平面, 故 即二面角的平面角，即， 故为等边三角形，则， 因为，,且平面, 所以平面,且,故平面, 且平面,故，则 设和的中点分别为,连接,    则,故, 又因为,故， 且平面,平面, 故即二面角的平面角， 且, 因为,故, 则, 所以. 故二面角的平面角的余弦值为. 19A．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； （3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【详解】（1）由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，,显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. （3）由题意，, 设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得， 所以 所以 所以， 同理联立消去得， 所以 所以 所以， 即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值. 19B．(1) (2) 【分析】（1）根据可求得，再由离心率可得c，于是可求得b，进而得到椭圆的方程． （2）结合直线和椭圆的位置关系求解．将直线方程和椭圆方程联立消元后得到二次方程，由判别式大于零可得，结合可得，从而得到关于的不等式组，解不等式组可得所求范围． 【详解】（1）由，得，故， 又，得，∴， ∴椭圆C的方程为. （2）联立，整理得， 则，即，且， ∵，∴， 又，， ∴，故，且，得. ∴实数m的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2026学年第一学期高二数学周末练（3） 班级：___________姓名：___________ 一、单选题 1．已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，若直线l在平面内，则的值是 A． B． C．2 D．16 2．在中，内角所对的边分别为，若，则的外接圆的面积为 A． B． C． D． 3．若在有唯一零点，则m的最大值是 A． B． C． D． 4．已知点，，为直线上一动点，当最大时，点的坐标是 A． B． C． D． 5．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为 A．4 B．6 C．8 D． 6．已知，，则的值为 A． B． C． D． 7．在边长为1的菱形ABCD中，，将沿对角线AC折起得三棱锥. 当三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 8．表示不超过实数x的最大整数，已知奇函数的定义域为R，为偶函数，，对于区间上的任意都有，若关于x的不等式对任意的恒成立，则的最大值是 A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有 A．与不互斥 B．与相互独立 C．与互斥 D．与相互独立 10．已知点在圆上，点、，则 A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 11A．如图，在平面四边形ABCD中，和是全等三角形，，，．下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥．折法①将沿着AC折起，形成三棱锥，如图1；折法②：将沿着BD折起，形成三棱锥，如图2．下列说法正确的是 A．按照折法①，三棱锥的外接球表面积值为 B．按照折法①，存在，满足 C．按照折法②，三棱锥体积的最大值为 D．按照折法②，存在满足平面，且此时BC与平面所成线面角的正弦值为 11B．已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．动点的轨迹长度为 C．不存在点，使得平面 D．四面体DEFG体积的最大值为 三、填空题 12．已知、是椭圆的左，右焦点，点P为椭圆上一点，O为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为___________. 13．关于x的不等式恒成立，则k的取值范围是__________. 14A．已知实数满足：，则的最大值是_______． 14B．在平面直角坐标系中，已知圆和两点，且，若圆上存在两个不同的点，使得，则实数的取值范围为__________． 四、解答题 15．已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若的平分线交边于点，且，，求的面积. 16．已知是圆上一点，，，其中． （1）若直线与圆相切，求直线的方程： （2）若存在两个点使得，求实数的取值范围． 17．已知直线与圆交于两点． (1)求出直线恒过定点的坐标； (2)用点斜式写出直线方程，并求直线的斜率k的取值范围； (3)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 18．如图，三棱柱中，，且与均为等腰直角三角形，． (1)若为等边三角形，证明：平面平面； (2)若二面角的平面角为，求二面角的平面角的余弦值． 19A．已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； (3)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 19B．已知椭圆C：的离心率为，直线交椭圆C于A、B两点，椭圆C的右顶点为P，且满足. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C交于不同的两点、，线段MN的中点为，且定点，满足，求实数m的取值范围. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $