浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期数学周末练13

**基本信息** 杭州学军中学高二下数学周测卷，涵盖复数、概率、函数、立体几何等，解答题融合解三角形、三棱台、双曲线、概率应用及函数性质证明，梯度设计兼顾基础巩固与能力提升，适配周测教学需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数运算、互斥与对立条件、函数最值、立体几何翻折|结合动态二面角旋转，考查空间想象与数学思维| |多选题|3题|向量数量积、摸球概率|设置条件概率与方差计算，强化逻辑推理| |填空题|3题|函数性质、基本不等式、单位向量|融入取整函数，提升数学眼光的抽象能力| |解答题|5题|解三角形、三棱台面面角、双曲线渐近线、细菌培养概率模型、函数性质P证明|综合应用数学语言构建概率模型，论证函数性质，体现创新应用|

《杭州学军中学2025学年高二（下）数学周末练（13）》参考答案 题号 1 1 2 3 4 5 6 7 9 10 答案 C B D A C B C B ACD ACD 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】 则． 2．B 【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“、为互斥事件”是“、为对立事件”的必要非充分条件. 3．D 【详解】因为，所以；，所以. 由，因为，， 所以. 综上可得. 故选项D是错误的. 4．A 【分析】根据给定条件，利用等式左右两边的系数相等列式得解. 【详解】显然展开式中没有项，而展开式中含的项为， 因此，解得，经验证符合题意，所以. 5．C 【分析】由正弦函数的性质和题给不等式可确定为的最小值，为的最大值，进而得到的周期，确定的最小值. 【详解】已知对任意的实数x，都有成立， 所以，， 当最小时，的最小正周期最大，此时有，即， 则，得，故的最小值为. 6．B 【分析】取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．由正三角形边长和折叠后长度不变，可写出的坐标，再设外接球球心为，利用求外接球半径． 【详解】因为是边长为的正三角形，是的中点， 所以，，且． 取为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 则可设 将沿直线翻折后，点落到点，所以． 又二面角的大小为，且，， 所以，从而可设 设该三棱锥外接球的球心为，半径为． 因为为原点，所以 由，得，所以． 由，得，所以． 由，得，整理得 把代入，得． 所以 故外接球的表面积为 7．C 【分析】根据已知条件作出函数的大致图象，再利用图象找出方程的不同实数根. 【详解】由题意得的定义域为， 所以. 因为，是的两个极值点，所以，是方程， 即的两个正根. 又因为，所以当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 又因为，如图，作出函数的大致图象， 在方程中，令，则. 因为，所以或. 当时，，由图可得与只有一个交点， 即有一个实数根. 当时，，由图可得与有两个交点， 即有两个不等实数根，. 由图可知，所以不同实数根个数为. 8．B 【分析】作出二面角的平面角，利用余弦定理用表示出，通过分析的变化情况，分析随的变化情况. 【详解】过作，垂足为， 在平面内过作的垂线，交于点. 设，因为，所以. 中，. 中，. 中， ， 当为直角时，，随的增大而增大；所以C错误； 当为锐角或钝角时，. 当为锐角时，， 所以为锐角，先从锐角增大到直角，再增大到钝角，所以先增大，后减小， 即的值先增大后减小，所以先减小再增大；所以B正确； 当为钝角时，， 所以为钝角，，所以随的增大而减小，且， 即的值随的增大而减小. 所以D错误. 综上所述，A错误.    9．ACD 【详解】因为， 所以，所以，所以B错误； 所以， 因为，所以，所以A正确； 因为，所以C正确； 因为， 且，所以，所以D正确. 10．ACD 【分析】A 直接用红球总数除以总球数得到首次摸红球概率；B 借助全概率分先红后红、先白后红两类求和算出第二次摸红球概率，对比题干数值判断对错；C 利用条件概率，第一次摸走红球后更新剩余球的数量再求比值；D 先写出红球数量 所有取值的对应概率，依次计算期望、平方期望，再用方差公式 算出方差，最后汇总判断正确选项. 【详解】袋子中有白球3个，红球2个，共5个球，不放回连续摸2个球. 选项A：总球数，红球共个，第一次摸到红球概率，故A正确. 选项B：用全概率公式计算第二次摸到红球的概率. 情况1：第一次红，第二次红：. 情况2：第一次白，第二次红：. 合计概率，故B错误. 选项C：第一次摸到红球后，剩余4个球，其中红球剩1个，条件概率，故C正确. 选项D：设摸出红球个数为，的取值为. ，，. 期望，，方差，故D正确. 11．BCD 【分析】先利用函数的周期性，将任意自变量的函数值转化到区间内，再代入对应的分段表达式计算。 选项A，先确定、的取值范围，再将、用已知分段式表示，联立方程判断是否有属于的解； 选项B，先根据周期性得到落在（为非负整数）时的表达式，再结合分段讨论方程的解的个数； 选项C，将代入方程，利用周期性将转化到内，结合分段函数表达式求满足条件的最小正整数； 选项D，设为有理数，将其写为分数形式，再根据的取值特点，构造对应的使得满足的条件. 【详解】由可知函数的一个周期为，即对任意，（为自然数）， 由，可得当时，则方程的所有解都在内. 对于A ， 要满足，，则： 当时，由，可得，不满足； 当时，，可得，符合要求. 此时，，故不存在满足条件的，A错误； 对于B，  对分类讨论： 设，，： 若：由可得，要求，共个解； 若：，要求，共个解。 总解数：，对任意成立，故B正确; 选项C   若是解，则，则 或 ,， 整理得： 或 ，其中，, 对于 ，当时不符合，时，时符合； 对于，最小整数，周期转换后，故符合； 验证，代入得，代入得，均不符合，因此最小值为，C正确; 选项D  对任意有理数，设，（互质，）, D正确. 12．4 【详解】 ， 对任意的恒成立，所以 ，即， 所以. 13．1 【分析】由对数运算得出，再根据基本不等式即可求解． 【详解】， 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 所以． 14． 【分析】先根据单位向量点积范围和取整函数性质，确定的可能取值为，排除的矛盾情况；再分和两种情况，分别计算的取值，最后综合得到结果. 【详解】由及，可知． 若，则，即，此时为偶数，不可能为1，矛盾； 若，则，即，此时 （此时只要不为整数，则）满足条件； 若，不妨设． 记． 当或时，，当时，，均不合要求； 当时，，满足要求， 此时， 由可得，则，故 综上，的取值范围是． 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）由可得，进而求出的正弦值，再求面积．因为在上且，所以与同高，面积比等于底边比． （2）由和得到，再结合正弦定理和求出，最后求． 【详解】（1）因为在上，所以． 在中，，所以，从而 因为，所以 又，所以 因此 又，所以． 因为与有相同的高，所以 （2）设．因为，所以 又，即，所以 由正弦定理，得 因为，所以 于是即 因为，所以，从而 又，所以. 故． 16．(1)证明：因为平面，平面，所以，    因为，且，分别为棱与的中点，则， 又因为，且平面，故平面， 因为平面，所以． (2)． 【分析】（1）由平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）作于点，证得平面，得到为直线与平面所成角，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：作于点， 由平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在等腰梯形中，由， 可得，则， 又由，可知，则，， 以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 可得，，，    设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值为．    17．(1)，渐近线方程为：； (2)直线的方程为； (3)存在两个不同的点，使得与均以为顶点的等腰三角形，理由如下： 假设存在满足题意的点， 则有, 所以的中点重合，且的中垂线重合， 当时， 设直线的方程为，， 由，可得， 设, 则, , 所以中点为； 由，得，即； 由，得，即； 所以中点为； 由此可得的中点重合， 所以直线两直线的中垂线方程为：， 即， 由，得， 则， 所以原方程始终有两个不同实数根， 即直线与双曲线始终有两个不同交点， 所以此时存在两个不同的点，满足题意； 当时，直线的方程为， 此时当为双曲线的左、右顶点时，满足题意； 综上，存在两个满足题意的点.    【分析】（1）将双曲线化成标准形式，求出,即可得答案； （2）由题意可求得此圆的方程为，，分和两种情况分别求解即可； （3）假设存在满足题意的点，则可得的中点重合，两直线的中垂线也重合，当时，求通过联立直线与双曲方程，求出中点，中垂直线方程，与双曲线方程联立，通过判别式的正负即可得结论；当时，为双曲线的左、右顶点时，满足题意，从而即可得结论. 【详解】（1）将双曲线化成标准形式为：， 所以， 所以， 所以； 渐近线方程为：； （2）因此，渐近线方程为：， 设以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切的圆的半径为， 点到直线的距离为， 则， 所以此圆的方程为， 又因为此圆与直线切于点， 所以，又因为， 解得， 所以， 因为直线倾斜角为 ，且， 当时，直线的斜率存在，且， 设直线的方程为， 即， 所以， 即，无解； 当时，直线的方程为； 综上，直线的方程为；    （3）略. 18．(1) (2) (3)1 【分析】（1）先定义状态概率，并得到递推关系，依次计算出答案； （2）在（1）的基础上，利用条件概率公式进行求解； （3）根据期望公式得到，从而得到答案 【详解】（1）定义状态概率：记，，，. 由细菌分裂规则，得递推关系：，，， 初始条件：，，. 依次计算状态概率：，，因此 . （2）依次计算相应概率：，， .由条件概率公式， . （3）由数学期望定义，， 代入递推关系推导：， 即为常数列. 由，得. 19．(1)函数在上不具有性质．在上具有性质． (2) (3)证明： 函数的定义域为， 要证是奇函数，只要证：对任意的实数，即可． 对任意实数，由函数具有性质，可知： 当时，．①    设， 当，即时，由①得， 即当时，；②    当，即时，由①得， 即当时，；③    由曲线的连续性，可知在上存在零点，即．④ 由于函数在上单调递增，故在上也单调递增， 由②得，由③得，故有． 代入④得，． 故为奇函数．    【分析】（1）证明函数不具有性质P时，可通过举反例的方式快速验证；证明函数具有性质P时，需对目标表达式进行代数变形，通过配方等方式证明其恒正. （2）首先根据性质P的定义转化出对应不等式，再结合函数的奇偶性，将不等式转化为函数单调递增的判定条件，最后通过导数恒非负求解参数的取值范围. （3）围绕奇函数定义，构造辅助函数，结合性质判断在不同区间的符号，再利用的单调性与零点存在性确定零点位置，即可推导出奇函数定义式. 【详解】（1）函数在上不具有性质，在上具有性质． 一方面：对于函数，取，，则有， 故函数在上不具有性质． 另一方面：对任意的，，， ， 故函数在上具有性质． （2）函数的定义域为，由具有性质，可知 对任意的，，，都有， 因为，即函数为奇函数，所以可化为， 从而在上单调递增，故， 即，即在上恒成立， ∵，∴， 从而． （3）略 【点睛】1. 处理新定义类函数问题的关键是准确翻译定义规则，否定类结论优先采用举反例法简化运算，肯定类结论需进行严谨的代数推导. 2. 求解函数单调性相关的参数范围问题时，可将单调性条件转化为导数恒成立问题，结合定义域求解参数的取值范围. 3. 证明抽象函数奇偶性结合新定义性质的问题，可以围绕奇偶性定义构造辅助函数，结合函数单调性、零点存在定理推导定义式成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年高二(下)数学周末练(13) 一、单选题 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 2．已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 5．已知（），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知正三角形的边长是2，是的中点，将沿直线翻折，构成三棱锥，使得二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数有两个极值点，，且，，记函数的导函数为，则关于的方程的不同实数根个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，已知二面角的大小为，点在半平面内，且．现将射线在平面内绕点逆时针旋转形成射线，直至时停止旋转．记，，则在旋转过程中，随着的增大，（    ） A．，也随之增大 B．当为锐角时，先减小再增大 C．当为直角时，先减小再增大 D．当为钝角时，先减小再增大 二、多选题 9．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 10．袋子中有大小相同且质地均匀的白球3个，红球2个．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，连续摸出两个球，则（    ） A．第一次摸到红球的概率是 B．第二次摸到红球的概率是 C．在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是 D．摸出红球个数的方差是 11．已知函数的定义域为，且.当时，，设k为大于1的正整数，则下列四个结论中正确的是（    ） A．存在，使得且 B．方程的解的个数为k C．若为方程的解，则k的最小值为4 D．对任意有理数，存在k，使得 三、填空题 12．设函数，，若对任意的，，则______． 13．已知正实数满足，则的最大值是_____． 14．平面中的3个单位向量满足（其中表示不超过实数的最大整数），则的取值范围是_____． 四、解答题 15．在中，内角，，的对边分别为，，，点在边上，且，． (1)若，求的面积； (2)若，求， 16．如图所示，在三棱台中，，其中，分别为棱与的中点，且平面． (1)求证：； (2)若直线与平面所成角为，求平面 与平面的夹角的正弦值． 17．已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为 ，，设直线与交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，其中、在第一象限，在第四象限，是双曲线的右焦点. (1)求点的坐标和渐近线方程； (2)以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点，求直线的方程； (3)对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得与均以为顶点的等腰三角形，请说明理由. 18．一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每个活性细菌1分钟后分裂成2个细菌的概率为，死亡的概率也为，分裂生成的新细菌亦如此，当细菌数为0个或4个时，停止培养实验，之后细菌数不再发生变化.记第n（）分钟后，该实验室拥有此种细菌数为. (1)求的概率； (2)已知，求的概率； (3)求的数学期望. 19．若函数满足：对任意的，，，都有，则称函数在区间上具有性质． (1)设函数，，分别判断，是否在上具有性质； (2)设函数，若在其定义域上具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数具有性质，且图象是一条连续曲线，若在上单调递增，求证：是奇函数． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $