6.3.2 角的比较与运算 教学设计 2026—2027学年数学人教版七年级上册

6.3.2 角的比较与运算 教学设计 课题 6.3　角（6.3.2 角的比较与运算） 学科 数学 年级 七年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1 课时 课型 新授课（概念课） 教学目标 1.掌握角的大小的比较方法。 2.理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题。 3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算。 教学重点 掌握角的大小的比较方法，理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述。 教学难点 能够解答角平分线和角的和、差、倍、分有关的问题，会进行涉及度、分、秒的角度的计算。 教学方法 类比探究、动手操作、讲练结合 教学准备 课件、纸片 课后练习 完成教科书本节“练习”。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习导入 一、复习导入 师生活动：教师引导学生回忆与梳理线段的知识点，然后告诉学生这节课我们学习角可以类比线段学习，比如上节课学习的定义、表示方法，这节课也会学习大小比较和运算，同学们可以思考能否也通过叠合法和度量法比较大小，运算是否也是计算角的和差倍分的关系。 回顾线段“定义—表示—大小—运算”的研究路径，类比猜想角的研究路径。 通过建立线段比较长短与角比较大小之间知识与方法的联系，使学生对学习进程心中有数，在对比中加深理解，帮助学生掌握研究问题的方法。 二、探究新知 （角的比较） 二、探究新知 知识点一　角的比较 类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？ 师生活动：学生先自主思考并小组交流，再由小组代表发言，预测会有两种方法，度量法和叠合法。教师引导和规范学生操作步骤，得出结果如下： 度量法：用量角器量得∠1＝55°，∠2＝40°。 因为 55°＞40°，所以∠1＞∠2。 叠合法： 想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗（两个角分别记作∠AOB，∠A′O′B′）？ 师生活动：学生画出图形，并用符号表示，指出两个角的大小关系有且仅有三种情况。 预设：∠AOB＜∠A′O′B′；∠AOB＝∠A′O′B′；∠AOB＞∠A′O′B′。 类比线段比较，用度量法量角、叠合法比角；画出图形并用符号表示两个角的大小关系，明确有且仅有三种情况。 采用类比的方法，按照“几何模型—图形—文字—符号”的学习程序，学生动手操作，自主探究；指出对于两个角的大小关系和两个实数的大小关系一样，有且仅有三种情况，为以后分类研究一些有关角的问题奠定基础。 二、探究新知 （角的运算） 二、探究新知 知识点二　角的运算 探究1：如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？ 师生活动：预测学生能确定角的个数，明确角之间的和差关系如下： 3 个：∠AOB、∠AOC、∠BOC；∠AOC＝∠AOB＋∠BOC；∠AOB＝∠AOC−∠BOC；∠BOC＝∠AOC−∠AOB。 教师关注学生是否能发现角的和差关系，教师可引导学生类比线段的和与差，发现角的和差关系。然后教师引导学生总结：共顶点的几个角，可进行加减。 探究2：如图，借助三角尺画出 15°，75° 的角。用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？试一试。 师生活动：学生动手操作，小组合作探究，师生归纳，如下： 用三角尺画特殊角，关键在于把它写成 30°，45°，60°，90° 角的和或差；凡是 15 的整数倍的角，都能用三角尺画出，而能用三角尺画出的，也只限于这样的角。 数出图中角的个数并写出角的和差关系；用一副三角尺拼画 15°、75° 等特殊角，归纳能画出的角的规律。 针对同一图形变换审视角度提出问题，可以提高学生的读图能力，用符号表示角的和差关系，仍遵循“几何模型—图形—文字—符号”的学习过程，在图形与等式之间建立一种关系；用一副三角尺画出一些特殊角，除让学生巩固角的和与差概念外，也使学生对这些特殊角的大小有直观的认识，培养对角的大小的估计能力和动手操作能力，加深学生对角的认识。 二、探究新知 （例1） 二、探究新知 例题精析 例1 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数。 师生活动：学生独立思考，请学生代表发言，教师予以适当的评价并整理板书。 解：由题意可知，∠AOB 是平角，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC，所以∠BOC＝∠AOB−∠AOC＝180°−53°17′＝126°43′。 总结： ①同单位加减（度与度、分与分、秒与秒分别相加、减）；②度分秒是 60 进制（相加时逢 60 要进位，相减时要借 1 作 60）。 师生活动：教师引导学生思考与总结解题思路与过程。 利用平角与角的和差关系求∠BOC，体会度分秒 60 进制的借位减法。 通过题目锻炼学生运算能力，初步学习几何语言在解题中的运用，体会几何与代数之间的联系与不同，加深学生的数形结合思想。 二、探究新知 （角平分线） 二、探究新知 知识点三　角平分线 探究3：你能在∠AOC 内找一条射线 OB，使∠AOB＝∠BOC 吗？ 师生活动：教师提问，学生自主思考，教师巡堂指导，预测会有不同方法，教师可让这些学生代表分别展示，预测两种方法（如下）： 对折法： 度量法： 教师追问：同学们知道图中三个角的数量关系吗？ 学生思考，学生代表回答，师生共同总结与填空： 此时 ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。 教师再以此引出角平分线的定义。 定义总结： 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言：因为射线 OB 平分∠AOC，所以 ∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。 师生活动：教师讲解，再让学生朗读定义，加深印象。 类比：仿照角平分线的结论，你能写出角的三等分线的结论吗？ 因为射线 OB、OC 是∠AOD 的三等分线，所以 ∠AOD＝3∠AOB＝3∠BOC＝3∠COD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD。 师生活动：学生独立思考，由学生代表发言，教师予以适当评价，帮助学生正确规范完成几何书写。 用对折法、度量法找出平分角的射线，填出三个角的数量关系；学习角平分线定义与几何语言；类比写出三等分线的结论。 从角的和差问题中，将射线 OB 的位置特殊化，并类比线段的中点，引出角的平分线的概念，不仅知识的产生、发展自然连续，也体现了由一般到特殊、由特殊到一般的研究方法，同时，也能建立知识间的联系，完善认知结构；进一步明晰角平分线的概念，为后续学习轴对称和研究有关图形的翻折问题打下基础；通过类比让学生学会举一反三，体会几何知识的关联性，巩固几何语言的书写。 二、探究新知 （例2例3） 二、探究新知 例题精析 例2 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角（精确到分）？ 师生活动：学生独立思考，由学生代表发言，教师与学生共同完成板书： 解：360°÷7＝51°＋3°÷7＝51°＋180′÷7≈51°26′。答：每份是 51°26′ 的角。 教师引导学生总结：注意度、分、秒是 60 进制的，要把剩余的度数化成分。 例3 如图，OC 是∠AOB 的平分线，OB 是∠COD 的三等分线，∠BOD＝15°，则∠AOB 等于 　　　　。 A. 75　　B. 70　　C. 65　　D. 60 答案：D。解析：OB 是∠COD 的三等分线且靠近 OD，所以∠COD＝3∠BOD＝45°，∠BOC＝2∠BOD＝30°；又 OC 平分∠AOB，所以∠AOB＝2∠BOC＝60°。 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师适时评价与引导。 思考：除此题所给图片的情况，你还能想出其他情况与答案吗？ 师生活动：学生独立思考，学生代表上台展示，教师予以评价与指导，得出另一种结果： 当 OB 是靠近 OC 的三等分线时，∠BOD＝2∠BOC＝15°，所以∠BOC＝7.5°，∠COD＝22.5°；又 OC 平分∠AOB，所以∠AOB＝2∠BOC＝15°。 用 60 进制把剩余度数化成分，完成周角 7 等分的计算；结合图形讨论例3 中三等分线的两种位置情况。 通过题目帮助学生巩固角平分线的知识与角的运算，提高学生的识图能力和运算能力；又通过思考题启发学生思考其他可能性，建立分类讨论思想，养成严谨思考的习惯。 三、当堂练习 三、当堂练习 1. 比较大小：60°25′　　　　60.25°（填“＞”“＜”或“＝”）。 答案：＞。解析：60.25°＝60°15′＜60°25′。 2. 计算： (1) 180°−98°24′30″；(2) 62°24′17″×4。 答案：(1) 81°35′30″（借 1° 作 60′、借 1′ 作 60″）；(2) 249°37′8″（68″＝1′8″，97′＝1°37′）。 3. 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，若∠AOB＝50°，∠DOE＝30°，那么∠BOD 是多少度？ 答案：80°。解析：OB 平分∠AOC，所以∠BOC＝∠AOB＝50°；OD 平分∠COE，所以∠COD＝∠DOE＝30°；所以∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝50°＋30°＝80°。 师生活动：学生独立完成，同桌互查，教师点评规范解题步骤。 统一单位比较角的大小；完成度分秒的加减与乘法运算；用角平分线性质求∠BOD。 通过练习巩固角的大小比较；通过练习巩固角度的运算；通过练习强化识图能力和运算能力。 四、课堂小结 布置作业 四、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。 师问：1. 比较角的大小有哪两种方法？2. 角平分线的几何语言有哪几种等价形式？3. 度分秒运算要注意什么？ 布置作业：完成教科书本节“练习”。 结合思维导图回顾角的比较、运算与角平分线；课后完成本节练习。 梳理本课知识框架，构建“比较—运算—角平分线”的知识体系；作业促使学生巩固度分秒运算与几何语言书写。 板书设计 6.3.2　角的比较与运算 一、角的比较 1.度量法 2.叠合法（两角一边重合，另一边落在同侧） 二、角的运算 和、差关系；度分秒 60 进制（逢 60 进 1、借 1 作 60） 三、角平分线 角平分线：∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠BOC＝ 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $