1.1.2 空间向量的数量积运算 课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.2　空间向量的数量积运算 一、基础落实 1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=,且a与2b-a互相垂直,则<a,b>等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 3.已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°,其模均为1,则|a+b-2c|=(　　) A. B. C.2 D. 4.已知空间向量|a|=,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为-,则a在b上的投影向量为(　　) A.-b B.b C.b D.-b 5.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为(　　) A.10 B. C. D. 6.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为　　　　　.  7.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,求异面直线AB1和BM所成的角的大小. 8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面ABB1A1的中心,F为A1D1的中点.试计算: (1); (2); (3). 二、素能提升 9.在空间四边形ABCD中,等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.不确定 10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CC1上任意一点,则=(　　) A.- B.-1 C.1 D. 11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=,则上的投影向量为(　　) A.- B.- C.- D.- 12.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=3,E,F分别为棱AB,A1C1的中点,则=　　　.  13.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为　　　　.  14.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=1,且∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=. (1)求B1D的长; (2)求夹角的余弦值. 参考答案 一、基础落实 1.A 解析a·b=|a||b|⇒cos<a,b>=1⇒<a,b>=0°,即a与b共线.反之不成立,即当a与b反向共线时,a·b=-|a||b|. 2.B 解析由已知得,a·(2b-a)=0,即2a·b=|a|2=4,所以a·b=2,所以cos<a,b>=,又0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°. 3.B 解析|a+b-2c|== .故选B. 4.D 解析∵|a|=,|b|=5,a与b夹角的余弦值为-,∴a在b上的投影向量为=-=-b. 故选D. 5.B 解析如图, 由题知,=16,=9,=25,=4×3×cos 90°=0,=4×5×cos 60°=10,=3×5×cos 60°=. ∵, ∴+2+2+2=16+9+25+2×0+2×10+2×=85, ∴||=,即AC'的长为.故选B. 6.-13 解析因为a+b+c=0, 所以(a+b+c)2=0, 所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0, 所以a·b+b·c+c·a=-=-13. 7.解不妨设棱长为2. 因为, cos<>==0, 所以异面直线AB1和BM所成的角的大小为90°. 8.解设=a,=b,=c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0. (1)∵c-a+b,=b, ∴=b·=|b|2=16. (2)∵=c-a+b,=a+c, ∴(a+c)=|c|2-|a|2=0. (3)∵c-a+b, b+a, ∴|b|2-|a|2=2. 二、素能提升 9.B 解析令=a,=b,=c, 则 =a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a) =a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0. 故选B. 10.B 解析由题图可得,故=()·, 由正方体性质可得, 所以=0,=0, 所以, 又||=1,||=1,方向相反, 所以=-1.故选B. 11.D 解析∵,且=0, ∴=-=-1. 又||=,||=, ∴cos<>==-, ∴上的投影向量为||cos<=-=-. 12.9 解析因为BB1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,则BB1⊥AB,同理可知BB1⊥A1C1, 所以=()·=()·=9. 13. 解析由题意可知=16,=9,'2=25,=4×3×cos 90°=0,'=4×5×cos 60°=10,'=3×5×cos 60°=.∵'=',∴'2=(')2='2+2+2'+2'=16+9+25+2×0+2×10+2×=85,∴|'|=,即AC'的长为. 14.解(1)由题可知,, 那么||2=()2=-2-2+2=12+22+32-2×(1×2+1×3-2×3)×=15,因此B1D的长为. (2)由题知,,则||=, =()·()==3×1×-3×2×-32-2×1×+22+2×3×=-,所以,cos<>==-. 学科网（北京）股份有限公司 $