1.1.2空间向量的数量积运算 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

《1.1.2空间向量的数量积运算》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ⊙ B B D B BD AC 题号 11 答案 ABD 1.B 【详解】由m⊥，得mn=0,即(2+3泛2)(-42)=0， 所以2k-12=0,解得k=6. D 2.B 【详解】在直四棱柱ABCD-ABCD中，AC=AB+AD,AB,=AB+AA, B AC:AB-AB+ADAB+A4-AB'+ABA4+ADAB+ADA4. .ABL AA.:.4BA=0.BAD=2,:AD 4B2x xcos2=ADL AA ADA 3 3 .ACAB=4+0-2+0=2 3.C 【详解】由空间向量得CD=CA+AB+BD,两边平方得 》=赞+8+娜+2赞82苏28锈， CABD-6 1 整理得C4BD-6:所以o(CBD3年三则（何丽）1B0.放面直线4C与B0 所成角为60°. 故选：C 4.B 【详解】设OA=a,OB=b,OC=c, 由题意得1abc=a,(a,b)=(b,c)=(c,=60°， a.b=b.c=d.a=aa:cos60=a',OM=30A=3a, 4 4 因为N为8C中点，所以O丽=O丽+00=6+0. MN-ON-OM-16+163 a, 224 答案第1页（共9页） -+e2260-2a列-2号a司 16 22 24 女++品-0)) 4 16 M =c3+2+9+133 4416488 9d, 1 3 所以N= a. 4 5.D 【详解】过点M,P分别作MH,PE垂直CD,垂足分别为H,E, 因为AD⊥平面PCD,CDC平面PCD,所以ADL CD, 所以AM在DC上的投影向量为D匠，又DC/IAB,所以AM在AB上的投影向量为D匠， 因为∠PDC=120°，所以∠PDE=60°， 设AB=a,则DB=g,DC=2a,所以CB=5 2 又M/IPB，点M为棱PC上靠近点C的三等分点，所以CH=S 6 所以DH=2a-50=7a,所以D丽=乙4B 66 6 故选：D 6.c 【详解】取B,D的中点为M,BD的中点为N,连接PM,PN,MN, 则MN⊥平面ABCD,而PNC平面ABCD,故MN⊥PN. 而PB,·PD=(PM+MB)·PM+MD, D 而MB+MD=0,故PB.PD=PM-MB=3, M 而@-25-反，故即pm=5, B 由正方体的性质可得=AB=2,故PN=1, 故P的轨迹是以N为圆心，1为半径的圆，而NB=√2， 故线段PB的长度的最小值为√2-1， 当且仅当N,P,B三点共线且P在BN之间时PB的长度取最小值， 故选：C 7.C 【详解】由题意可得B,C1=BC=√42+42=4W2, 答案第2页（共9页） PC取值最小时，P其在平面B,CCB内，其在平面B,CCB的交线为如图所示的圆弧 故PC取值最小时，B,P,C三点共线，通过点P作PM⊥B,C于M, 则SPCw B CBC8,又CB=VBc+BR=45,故CP=CB-4=4W5-4, 所以454-C解得CM=4N2-46,从而BM= 4545 3 因tCAc瓦opB.C-区阿-+545.25 故选：C. 8.B 【详解】在棱长为1的正方体ABCD-AB,C1D中， CM.AC=(CA+AM)AC-CA.AC+AM.AC=-2+AM.AC--3 1 则4MAC-分，而4C=5,由数量积的几何意义知，M在aG上投影的数量为5 因此点M在与AC垂直的平面内，且点A到该平面的距离为 6 B G 在正方体.ABCD-4B,GD中易证ACL平面ABD,点A到平面4BD的距离为 3 取AB,AD,AA的中点E,F,G,易得平面EFGI1平面ABD, 则4C1平面BPG,且点A到平面ErG的距离为 6 所以点M的轨迹所形成区城为等边。BG,面积为Sn 4 4 、2 8 故选：B 9.BD 【详解】对于AB,由题知，AM=AB+AC, 2 A--------- 孤-0+)-0+}西+号4C亚+4c+D,放A错误，B正确 M 对于CD,设点D在平面ABC的投影为点O, 由正四面体ABCD得，底面ABC为等边三角形，且侧棱DA=DB=DC, 所以由正四面体的性质得，顶点D在底面的投影是底面△ABC的重心，AD在平面ABC的投影向量为AO, 则40=24M, 所以D在平面4C内的投影狗量为号，放c错误，D正璃。 答案第3页（共9页） 10.AC 【详解】：在平行六面体ABCD-ABCD中， 其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且彼此夹角都是60°， 所以A4=AB=AD=1,A4AB=AAAD=AD4AB=1×1×c0s60°= 对于A,因为AC=AA+AB+AD 所以4C=(4+AB+AD=A4+B+AD°+2A4B+2B4AD+2A4AD=1+1+1+3x2x)-6, 2 AG=AA+AB+A①=V6,故A正确： 对于B,因为DB,=AA+AB-AD, 且c丽-（网+西+而(4+派可-14片}1号分1-20 即AC1⊥BD不成立，故B错误； 对于C,BC=BG+B=-A4+AD,所以BG-VA4+AD-11=1, BCA4（-A4+AD)A4 -1+ 1 所以cos(BC,A4)= BC. BC. 2=1， =1x12 所以向量BC与A4夹角是120°，故C正确： 对于D,:BD=AD+AA-AB,AC=AB+AD, ..BD AC=(AD+AA-AB)(AB+AD) AD.AB+AD'+44AB+AA AD-AB'-AB.AD=1, m网西4可4112*兮232写 AC=B+D) BD·AC .cos BD,AC= 1V6 AG2xV36,故D错误 故选：AC 11.ABD 【详解】对于A,AP=AB+BC+CP=-CD-CB+CD+uCC =(2-1)CD-C8+uCG, 答案第4页（共9页） 所以a=[(a-1）c而-CB+ucG =(-1)CD'+CB+CC-20-1)CD.CB+2Q-1)CD.CC-2uCB.CC =V16(2-1)+16+162≥4， 当且仅当九=1,4=0时，取等号， 所以A团的最小值为4，故A正确： 对于B,连接CD, 若1+4=1，则C,D,P三点共线， 因为ADBC,所以A,D,B,C共面， 所以点P在平面ABC上，故B正确： 对于C,连接CD,则CD⊥CD,且CD,CD互相平分， 因为AD⊥平面CDDC,CDC平面CDD,C,所以AD⊥CD, 又AD∩CD=D,AD,CDC平面AB,C1D, 所以CD⊥平面AB,C,D, 所以点C到平面ABP的距离为CD=2√5， 因为M为棱CC的中点， 所以点M到平面A8P的距离为)x25=V5,故C错误： 对于D,如图，取AB的中点2，连接NQ,则AB,⊥Ng, B 所以孤不-网x=16,故D正确 故选：ABD 12.√6 【详解】由医意符单位向显ā，五，：且两两之间夹角为胥 所以国=同-=1，a6ac6cplo月 a+b+d=(a+b+c)(a+b+c)=+|++2a6+2ac+2bc -3+2号+2x+26 2 2 答案第5页（共9页） 所以a+b+d=V6 专 【详解】因为平面ABDC⊥平面ABEF,MP⊥AB, 且平面ABDCO平面ABEF=AB,MPC平面ABDC,可得MP⊥平面ABEF, 又因为ONC平面ABEF,则MP⊥QN, 即MP⊥Pg,NQ⊥Pg,MP⊥QN, 则m==2,P可-1，且护范0，范战*0，枷0， 因为MN=MP+PO+QN, 则=(M派+P0+N-Mm+PO+ON+2M证.P0+2迹ON+2POON-4H4S, 即N=3, 又因为.PO=(M亚+PO+QWPO=MP.PO+Pg+PQQN=1, 可得cos,PO= MN.PO 11 P回3x13' 所以向量P四与M瓜夹角的余弦值为 故答案为： 1 14.[0,8] 【详解】设内切球球心为0，可知0为WN的中点，则P0=(PM+PN),M6=ON=), loM"=oN"=1, 所以P.m=(Po-M⊙)(Po+ON=PO -OM -PO1, 设正四面体ABCD的棱长为a,外接球半径为R,如图所示， 可知H为正三角形ABC的外心，则Ai=子×5.5a 32a 3, B 在Rt△AOH和Rt△APH中，AH2=AO2-OH2=AP2-(OP+OH)}, 解#及-405.0m0 4 设正四面体ABCD的内切球半径为，内切球半径为图中OH,所以，-Y 12as1, 解得R=3,又PO的最大值为外接球半径R,最小值为内切球半径， 答案第6页（共9页） 所以1=r≤P可sR=3,进一步可得0≤P可-1≤8，即PM.PW的取值范围为[0,8]. 故答案为：[0,8]， 15.【详解】(1)由平行六面体的性质可知CC=A4=c, :M是CC的中点， .cM-icc AM-AG+CM-++ica++ ,AB⊥AD, .a.b=0, 网-a*6+f-+6+e+2a6-a-6 同++号f+oko60-k@6044+子23分x3于- 2 2 (24Ai=ca+万+，e=c.a+c-万+号c2=cos60+5cos60+ 2 1.921 =3x2×2+3x2x2 222 (3)BC=B,AC=a+b+c, 元AC-5a+5+e）-6a+公+5c=0+4+2x3x分7， 又|BC=2,AG=Va+5+c）=匠2+b2+2+五+五-c+五E =+5++2d同cos90+241cos60+补车cos60 4+4+9+02x2x3号2x2x3 -√29. 2 .cos BC,AC= BC.AC 7 7V29 BCAC22958, “异面直线BC与4G所成角的余弦值为7y29 58 解*群米 16.【详解】(1)由题意可知： 试诚2满-4，花捞帝册器滑x〔引-4， 因为B=BA+AM=-A正+AD+AM, 则箭「游游进 答案第7页（共9页） 帝+1册2带带帝研带 =4+4+4-0-4+4=12, 即=25，所以BM的长为25 (2)设cE=CC,则**楚=范苏本 可得疆薇浴济筋浴洒+上严 帝莎泾传蒂带任习云發 =-44-82-4合+432-81-4， 若AB⊥BM,则赞=8元-4=0，解得元- 所以西-2，知C张的长为2 17.【详解】(1)在空间四边形ABCD中，B、7分恋、DC所成的比为元，即E=D识元，则有： EB FC 证明，厭=丽+丽=丽++乐：之而+丽为c+中和 =.1AD+,1 DB+BC+,1 CB+BD) 1+2 1+2 1+ 047吸+r-c47四 .1 2)由)的结论可得亚丽+4-丽+号a, 回=+2西4a+4）62+c), -@+ (3)如图： DC //AB,BC//AD ·DC与BC所成的角为B, 又由1)的结论可得亚邓死， 厨-r2erc+(cj】 答案第8页（共9页） =1)2 (1+)2 (1+ =a21+2cos0+2 (1+2) e=a1++2cos日 1+2 答案第9页（共9页）1.1.2空间向量的数量积运算 编写教师：邱廷月 一、单选题 1.已知a,b是异面直线，且a⊥b,瓦，2分别为直线a,b的单位方向向量，且m=2g+32,n=ke,-42, ⊥，则实数k的值为() A.-6 B.6 C.3 D 已知直四棱柱ARCD-ABC巴的楼长均为2，BAD=,则AC1B三 A.4 B.2 C.-2 D.-4 3.如图，在空间四面体ABDC中，已知AC⊥AB,BD⊥AB,AB=2,AC=3,BD=4,CD=√7，则异面直 线AC与BD所成角是() A.30° B.45° C.60° D.120° 4.在棱长为a的正四面体OABC中，点M在OA上，且OM=3MA,N为BC中点，则MN为() A.3 a c. -a D.a 4 4 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD1平面PCD,∠PDC=120,AB1IDC,PD=AD=AB=DC,若点 M为棱PC上靠近点C的三等分点，则AM在上的投影向量为() A号 B. 5AB 4 7 D.二AB 6 6.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点P为底面ABCD中一动点（含边界），且PB,·PD=3,则 线段PB的长度的最小值为() A号 B.5-1 C.√2-1 D.25-2 2 5 7.已知直三棱柱ABC-ABC,△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=AA1=4,以点B为球心、半径为4的 球与此直三棱柱表面相交，交线为Γ，点P为T上的动点，当PC取最小值时，此时B,P.BC的值为() A.16 B.16W5 c.323 D.32V2 3 3 已知正方体A8CD-4BC凸的枝长为1，点M在正方体内（包含表面）运动，若CM.AC=一)，则 动点M的轨迹所形成区域的面积是() A.3 B.3 C. √3 16 8 4 D. 2 第1页（共4页） 二、多选题 9.如图所示，在正四面体ABCD中，BM=MC,DN=M,则() C 41 41 C.AD在平面BC内的投影向量为；A D.AD在平面ABC内的投影向量为M 10.如图，平行六面体ABCD-AB,CD中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°， 则下列说法中正确的是() A.AC=6 B.AC⊥DB C.向量B,C与A4的夹角是120° D.BD与AC所成角的余弦值为Y6 11.如图，在正方体ABCD-ABC,D中，AB=4,M为棱CC1的中点，动点P满足CP=CD+CC, 其中2∈[0,1]，4∈[0,1]，则下列结论正确的是() A.AF的最小值为4 M B.若+u=1,则点P在平面AB,C上 C.若2+u=1,则点M到平面ABP的距离为定值1 D D.若点N为△ABP外接圆的圆心，则AB·AN=16 三、填空题 12.已知空间中的三个单位向量a,万，：满足两两夹角是买，则+5+d 13.如图所示，平面ABDC与平面ABEF相互垂直，MP⊥AB,NQ⊥AB,MP=2,NQ=2,PO=1. 向量PQ与MN夹角的余弦值为 14.蚌埠又名“珠城”，《尚书·禹贡》中就有“准夷蚌珠”的记载，这表明4000多年前的夏禹时代，蚌埠所在 的淮河沿线就已是产珠之地，珍珠的镶嵌工艺亦历史悠久，在某工艺模型中，已知半径为1的球O内切于 正四面体ABCD,线段MN是球O的一条动直径，点P是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则PM.PN 的取值范围是 试卷第2页（共4页） 四、解答题 15.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，AB⊥AD,∠AAB=∠AAD=60°，AB=AD=2,AA=3, D M是CC的中点，设AB=a,AD=b,AA=c. (1)试用a,b,表示向量M,并求向量M的长度； (2)求A4·AM: (3)求异面直线BC与AC所成角的余弦值， 16.如图，在平行六面体ABCD-AB'CD中∠BAA'=∠DAA'=120,∠BAD=90°，AB=AD=2,AA=4, 点M为DD'的中点 (1)求BM的长； (2)已知E为CC'上的动点，若AE⊥BM,求CE的长 第3页（共4页） 17.在平面四边形ABCD中，B、下分西、DC所成的比为元，即经=D识=元，则有： EB FC EF=,1AD+,九8C】 1+元 1+元 D A B A Bu D D上 C D B C E B (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明： (2)在长方体ABCD-ABC1D中，AB=a,BC=b,AA=C,E、F分别为AB、AC的中点，利用上 述(1)的结论求线段EF的长度： (3)在所有棱长均为a平行六面体ABCD-ABCD中，∠AAB=∠AAD=∠DAB=B(B为锐角定值)，E、 F分DB、CC所成的比为2，求EF的长度.（用a,1,O表示） 试卷第4页（共4页）