0203 函数的奇偶性、周期性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习—— 函数的奇偶性、周期性 专项训练 0203函数的奇偶性、周期性 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、函数奇偶性的判断 例1．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 训练1-1．以下函数既是奇函数，又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 训练1-2．（多选）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 训练1-3．（多选）已知函数对任意实数x，y都满足，且，则（   ） A．或1 B．是偶函数 C． D． 二、函数奇偶性的应用（求解析式、参数或值） 例2．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 训练2-1．已知函数是定义在上的奇函数，则__________，__________. 训练2-2．已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 训练2-3．已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 三、函数奇偶性的应用（解不等式） 例3．已知函数，则的解集为_____________． 四、函数奇偶性的应用（中值模型） 例4．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为_______． 训练4-1．函数在上的最大值和最小值分别为，则______. 训练4-2．已知，若，则________． 训练4-3．已知f（x）＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f（3）＝________. 五、函数的周期性及应用 例5．若定义在上的函数满足，且，则________． 训练5-1．已知函数满足．当时，，则________． 训练5-2．已知函数满足，则的值为________． 训练5-3．已知是定义域为的奇函数，且满足.若，则_______________. 训练5-4．已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习—— 函数的奇偶性、周期性 专项训练 0203函数的奇偶性、周期性 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、函数奇偶性的判断 例1．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)奇函数 【分析】（1）求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，化简函数解析式，根据其与的关系判断结论； （2）求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，结合定义判断结论； （3）方法一：求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，结合定义判断结论， 方法二：画出函数图象，结合图象判断结论. 【详解】（1）由，得， 即函数的定义域是，关于原点对称． 因此，所以， 因此函数是偶函数． （2）的定义域为，关于原点对称． 又，所以既是奇函数又是偶函数． （3）方法一（定义法）  当时，； 当时，， 所以为奇函数． 方法二（图象法） 如图，    作出函数的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数为奇函数． 训练1-1．以下函数既是奇函数，又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数为奇函数，但在上单调递减，故A符合条件； 函数为奇函数，但在上单调递增，故B不符合条件； 函数定义域为，为非奇非偶函数，故C不符合条件； 函数为非奇非偶函数，故D不符合条件. 训练1-2．（多选）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】由奇偶性的定义确定为奇函数，由此得与奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨论即可. 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 训练1-3．（多选）已知函数对任意实数x，y都满足，且，则（   ） A．或1 B．是偶函数 C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法进行求解即可，选项A：令，选项B：，选项C:令，选项D：利用函数的奇偶性和周期性求解即可. 【详解】令，可得，故A错； 令，可得，即，故B对； 令，可得，即，再令，得，所以对； 又是偶函数，所以有， 函数是以2为周期的周期函数，，故D错. 故选：BC. 二、函数奇偶性的应用（求解析式、参数或值） 例2．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 训练2-1．已知函数是定义在上的奇函数，则__________，__________. 【答案】 2 0 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，可得a，b关系，结合，可求得a，b的值，验证即可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以. 此时，， 所以是定义在上的奇函数，满足题意. 故答案为：；. 训练2-2．已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】有题目所给解析式及函数的奇偶性，可以求解出的解析式，再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】①, , 为奇函数，为偶函数 ， ②， ①+②得， ①-②得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为， 故选：B. 训练2-3．已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 3、 函数奇偶性的应用（解不等式） 例3．已知函数，则的解集为_____________． 【答案】 【分析】根据题意，求得函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 所以为偶函数，当时，， 可得在上单调递增， 根据偶函数的性质，不等式，即为， 可得，整理得，解得， 所以的解集为． 故答案为：． 4、 函数奇偶性的应用（中值模型） 例4．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为_______． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，设，知其为奇函数，从而易推得，代入计算即得. 【详解】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 训练4-1．函数在上的最大值和最小值分别为，则______. 【答案】 【分析】依题意可得，令，，判断的奇偶性，即可得到的对称性，从而得解. 【详解】因为， 令，， 定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数，函数图象关于对称， 所以关于对称，所以. 故答案为： 训练4-2．已知，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意可得，即可得到结论. 【详解】因为， 故，则． 故答案为：. 【点睛】本题考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法，属于基础题． 训练4-3．已知f（x）＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f（3）＝________. 【答案】7 【解析】设g（x）＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g（x）是奇函数，由，求出，得出，即可求出结论. 【详解】令g（x）＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g（x）是奇函数， ∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g（3）＋2，又f(－3)＝－3， ∴g（3）＝5.又f（3）＝g（3）＋2，所以f（3）＝5＋2＝7. 故答案为:7. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，属于基础题. 5、 函数的周期性及应用 例5．若定义在上的函数满足，且，则________． 【答案】 【分析】利用所给等式求得的周期为4后即可求解 【详解】因为，所以，所以， 4为的一个周期，则． 训练5-1．已知函数满足．当时，，则________． 【答案】8 【详解】因为，所以是以3为周期的周期函数，所以． 训练5-2．已知函数满足，则的值为________． 【答案】0 【分析】首先根据题意得到，即的周期为4，再分别计算出，即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 又因为，所以，即的周期为4. 令，则， 令，则， 令，则， 又因为，所以. 所以. 故答案为：0 训练5-3．已知是定义域为的奇函数，且满足.若，则_______________. 【答案】0 【解析】由可知的周期为4，结合是奇函数，可求，即可求的值. 【详解】由知：，即的周期为4， ∵是定义域为的奇函数，有，又， ∴，，， ∴， ∴. 故答案为：0 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、周期性求值，属于基础题. 训练5-4．已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则______． 【答案】1 【分析】先求出函数的周期为4，再利用函数的周期性求值即得解. 【详解】由题得， 所以函数的周期为4. , 所以. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查函数的周期的计算及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $