第5章第12讲一元一次方程的解法（5.4）专题讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第5章 一元一次方程　第12讲 一元一次方程的解法(5.4) 第5章 一元一次方程 第12讲 一元一次方程的解法(5.4) 专题讲义 (一)解一元一次方程 例题精析 例 1 解一元一次方程： (1)3-2x=5x+10； ； ； 。 ▍思路点拨 根据一元一次方程的解法，通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解。 ▍过程详解 解： (1)移项，得-2x-5x=10-3，合并同类项，得-7x=7，两边同除以-7，得x=-1。 (2)去分母，得2(x-1)=6-(3x+1)，去括号，得2x-2=6-3x-1，移项、合并同类项，得5x=7，两边同除以5，得。 (3)移项，得，合并同类项，得2x+15=1，移项，得2x=-14，两边同除以2，得x=-7。 (4)原方程化为，去分母，得5x-10-2x-2=3，移项，得5x-2x=3+10+2，合并同类项，得3x=15，两边同除以3，得x=5。 ▍总结升华 观察方程(3)特点，可以巧用整体思想解方程。对于分母为小数的类型，通常先对分母化整变形，再按照一元一次方程的解法，求解方程。在变形过程中注意： ①分母化整与去分母区分，分母化整的依据是分数的基本性质，分子分母同乘一个非0数，不改变分数的值； ②去分母的依据是等式的性质2，去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，分子是多项式时要作为一个整体添上括号； ③移项时，从等号的一边移到另一边的项需要改变符号。 变式 1 解一元一次方程： (1)3x-1=5x+9； (2)4-4(x+2)=3(x+2)； ； 。 (二)方程的错解问题 例题精析 例 2 小王在解关于x的方程时，误将-2x看作+2x，得方程的解x=1。 (1)求a的值。 (2)求此方程正确的解。 ▍思路点拨 把x=1代入错误方程中计算即可求出a的值；把a的值代入原方程，求出解即可。 ▍过程详解 解： (1)把x=1代入，得，解得。 (2)把代入原方程，得，去分母，得6-(2x-4)=2-6x，去括号，得6-2x+4=2-6x，移项，得-2x+6x=2-6-4，合并同类项，得4x=-8，解得x=-2。 ▍总结升华 对于方程的错解问题，用将错就错法先求出方程中的参数，再求方程的正确解。 变式 2 小明解关于x的方程，去分母时方程右边的-1漏乘12，因而求得方程的解为x=3，试求a的值，并求出方程正确的解。 (三)方程的同解问题 例题精析 例 3 我们把解相同的两个方程称为同解方程。例如：方程2x=6与方程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程。 (1)若方程2x-3=11与关于x的方程4x+5=3k是同解方程，求k的值。 (2)若关于x的方程3[x-2()]=4x和是同解方程，求k的值。 (3)若关于x的方程和是同解方程，求的值。 ▍思路点拨 (1)先把方程2x-3=11的解求出来，再代入方程4x+5=3k中，即可求出k； (2)把两个方程的解都用k表示出来，再用解相同建立方程，即可求得k的值； (3)把两个方程的解用a,b表示出来，再用解相同建立方程，即可求得a,b的关系式，最后代入中，即可求得。 ▍过程详解 解： (1)解方程2x-3=11得x=7，把x=7代入4x+5=3k得28+5=3k，解得k=11。 (2)解关于x的方程3[x-2()]=4x得，解关于x的方程得，所以，解得。 (3)解关于x的方程得，解关于x的方程得，所以，所以，所以。 ▍总结升华 本题考查了同解方程的知识，解题的关键是理解同解方程的定义。根据两个方程同解的特点，求得字母值，再解决与字母有关问题。 变式 3 已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值。 (四)换元法解一元一次方程 例题精析 例 4 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”。例如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程”。 (1)若关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是“美好方程”，求m的值。 (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值。 (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解。 ▍思路点拨 (3)由“美好方程”定义，可求出的解，再将变形为，则y+1=x，即可求解。 ▍过程详解 解： (1)因为3x+m=0，所以。因为4x-2=x+10，所以x=4。因为关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是“美好方程”，所以，所以m=9。 (2)因为“美好方程”的两个解之和为1，所以另一个方程的解是1-n。因为两个解的差是8，所以1-n-n=8或n-(1-n)=8，所以或。 (3)因为，所以x=-2025。因为关于x的一元一次方程和是“美好方程”，所以关于x的一元一次方程的解为x=1-(-2025)=2026，所以关于y的一元一次方程可化为，所以y+1=x=2026，所以y=2025。 ▍总结升华 换元法解一元一次方程，是把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。 变式 4 已知关于x的一元一次方程的解为x=2，那么关于y的一元一次方程的解为＿＿＿。 (五)解含绝对值的一元一次方程 例题精析 例 5 解方程：|x| -1=4。 解法一：当x≥0时，原方程化为x-1=4，解得x=5。当x<0时，原方程化为-x-1=4。解得x=-5。所以原方程的解是x=5或x=-5。 解法二：移项，得|x| =4+1。合并同类项，得|x| =5。由绝对值的意义，得x=5或x=-5。所以原方程的解是x=5或x=-5。 问题：用你发现的规律解方程：2|x| -3=5。 ▍思路点拨 解法一：讨论x≥0与x<0两种情况即可求出解；解法二：方程变形后，利用绝对值的代数意义化简，即可求出解。 ▍过程详解 解：解法一：当x≥0时，原方程化为2x-3=5，解得x=4；当x<0时，原方程化为-2x-3=5，解得x=-4；解法二：方程变形为2|x| =8，即|x| =4，解得x=±4。则方程的解为x=4或x=-4。 ▍总结升华 本题考查了含绝对值符号的方程的解法，解题时运用了分类讨论思想。 变式 5 阅读下面的解题过程： 解方程：|x+3| =2。 解：当x+3≥0时，原方程可化成为x+3=2，解得x=-1，经检验x=-1是方程的解；当x+3<0，原方程可化为-(x+3)=2，解得x=-5，经检验x=-5是方程的解。所以原方程的解是x=-1或x=-5。 利用上述方法解方程：|3x-2| -4=0。 (六)方程解的情况分析 例题精析 例 6 阅读：关于x的方程ax=b在不同的条件下解的情况如下： ①当a≠0时，有唯一解； ②当a=0，b=0时有无数解； ③当a=0，b≠0时无解。请你根据以上知识作答： (1)已知关于x的方程3x-5+a=bx+1，问当a,b取何值时：Ⅰ.方程有唯一解；Ⅱ.方程有无数解；Ⅲ.方程无解。 (2)已知关于x的方程· 无解，求a的值。 (3)若关于x的方程|2x-2013| +m=0无解，|3x-2014| +n=0只有一个解，|4x-2015| +k=0有两个解。用“<”将m,n,k由小到大排列：＿＿＿。 ▍思路点拨 将方程移项合并后，根据方程有唯一解、有无数解及无解的条件确定出字母值即可。 ▍过程详解 解： (1)方程整理得(b-3)x=a-6，Ⅰ.由方程有唯一解，得到b-3≠0，即b≠3，a为任意实数；Ⅱ.由方程有无数解，得到b-3=0，a-6=0，即a=6，b=3；Ⅲ.由方程无解，得到b-3=0，a-6≠0，即a≠6，b=3。 (2)去分母，得2ax=3x-(x-6)，去括号，得2ax=3x-x+6，移项、合并同类项，得(2a-2)x=6，因为无解，所以2a-2=0，即a=1。 (3)因为方程|2x-2013| +m=0无解，所以-m<0，即m>0。因为|3x-2014| +n=0有一个解，所以n=0。因为|4x-2015| +k=0有两个解，所以-k>0，即k<0。所以k<n<m。故答案为k<n<m。 ▍总结升华 最简方程ax=b，当a,b取不同值时，解的情况分析： ①当a≠0时，有唯一解； ②当a=0，b=0时有无数个解； ③当a=0，b≠0时无解。含绝对值的方程由绝对值的非负性进行分析讨论。 变式 6 知识链接：对于关于x的方程ax=b(a,b为常数)， ①当a≠0时，此方程是一元一次方程，方程有唯一解； ②当a=0，b≠0时，没有任何数x能满足方程使等式成立，此时，我们说方程无解； ③当a=0，b=0时，所有数x都能使方程成立，也就是说方程的解为任意数，所以我们说方程有无数个解。 (1)解关于x的方程：(m-1)x=2。 (2)解关于x的方程：mx-4=2x+n。 链接好题 定义：关于x的方程ax-b=0与方程bx-a=0(a,b均不等于0的常数)称互为“关联方程”。例如：方程2x-1=0与方程x-2=0互为“关联方程”。 (1)若关于x的方程2x-3=0与方程3x-c=0互为“关联方程”，则c=＿＿＿。 (2)若关于x的方程4x-(3m-1)=0与方程5x-n+2=0互为“关联方程”，求m,n的值。 (3)若关于x的方程2x-b=0与其“关联方程”的解都是整数，则整数b的值为＿＿＿。 参考答案与方法指导 变式训练 1. (1)移项，得3x-5x=9+1，合并同类项，得-2x=10，系数化成1，得x=-5。 (2)移项、合并同类项，得7(x+2)=4，两边同除以7，得，移项，得。 (3)去分母，得2(2x-1)-(5-x)=-12，去括号，得4x-2-5+x=-12，移项，得4x+x=-12+5+2，合并同类项，得5x=-5，两边同除以5，得x=-1。 (4)原方程化为，去分母，得1-20x=3+20x，移项、合并同类项，得40x=-2，两边同除以40，得。 2. 根据题意得8x-4=3x+3a-1，把x=3代入得24-4=9+3a-1，解得a=4，方程为，去分母，得4(2x-1)=3(x+4)-12，去括号，得8x-4=3x+12-12，移项、合并同类项，得5x=4，两边同除以5，得x=0.8。 3. 解方程，去分母，得x+1=6x-4，移项、合并同类项，得5x=5，系数化为1，得x=1。因为两个方程的解互为相反数，所以方程的解为x=-1，把x=-1代入方程中，得，解得。 4. y=12 5. 当3x-2≥0时，原方程可化为3x-2=4，解得x=2，经检验x=2是方程的解；当3x-2<0时，原方程可化为-(3x-2)=4，解得，经检验是方程的解；所以原方程的解是x=2或。 6. (1)(m-1)x=2， ①当m-1=0即m=1时，方程无解； ②当m-1≠0即m≠1时，方程有唯一解。 (2)mx-4=2x+n，(m-2)x=n+4， ①当m-2≠0即m≠2时，方程有唯一解； ②当m-2=0即m=2时，若n+4≠0即n≠-4，则不存在这样的x使等式成立，故无解； ③当m-2=0即m=2时，若n+4=0即n=-4，方程有无数个解。 链接好题 (1)根据“关联方程”定义，2x-3=0与3x-c=0互为“关联方程”，所以c=2。故答案为2。 (2)方程4x-(3m-1)=0与方程5x-n+2=0互为“关联方程”，那么n-2=4，3m-1=5，解得n=6，m=2。 (3)方程2x-b=0的解为，关联方程为bx-2=0，其解为。因为两个解均为整数，所以b=2或-2。故答案为2或-2。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $