专题02 一元一次方程及其解法（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

专题02 一元一次方程及其解法（五大题型） 【题型1 解一元一次方程】....................................................................................................1 【题型2 一元一次方程的整数解问题】..................................................................................3 【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】...................................................4 【题型4 错解一元一次方程的问题】.....................................................................................5 【题型5 一元一次方程的解在新定义中运用】.......................................................................6 【题型1 解一元一次方程】 1．解方程： (1)； (2)． 2．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 3．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．解方程： (1) (2) 6．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 7.解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【题型2 一元一次方程的整数解问题】 1．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 2．已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 4．关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 5．k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 6．已知为整数，关于的方程有正整数解，则的值为 ． 7．关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 8．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 1．若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 2．如果关于的方程的解与方程的解相同，那么的值为 ． 3．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ． 4．关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 5．当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？ 6．已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 【题型4 错解一元一次方程的问题】 1．小明同学在把方程化成的形式时，把数看错了，解得．小明同学把看成了（    ） A． B． C．8 D．-8 2．小明同学在解方程时，把数字看错了，解得，则小明把看成了（   ） A． B．8 C． D．3 3．小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 3.小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 4.小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 5.学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 6.小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【题型5 一元一次方程的解在新定义中运用】 1．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1） ． （2）若，则x的值为 ． 2．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为 3．定义：叫作，的三等分点，叫做，的2倍距离．如：，，试求： (1) ， ． (2)若，则的值． 4．用“※”定义一种新运算，规则如下，． (1)计算：______； (2)若，求的值． 5.定义新运算： 例如： 求： (1)； (2)解方程： 6.用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如． (1)求的值； (2)若，求的值． 7.用“”定义一种新运算，规则如下：． (1)计算：______； (2)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程及其解法（五大题型） 【题型1 解一元一次方程】...................................................................................................1 【题型2 一元一次方程的整数解问题】................................................................................8 【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】...................................................12 【题型4 错解一元一次方程的问题】...................................................................................15 【题型5 一元一次方程的解在新定义中运用】.....................................................................19 【题型1 解一元一次方程】 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）移项，合并同类项，的系数化为，即可得到答案； （2）去括号，移项，合并同类项，的系数化为，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤，确保每一步变形符合等式的基本性质． （1）先将含未知数的项移到左边、常数项移到右边，再合并同类项，最后将未知数系数化为1； （2）先移项使含未知数的项集中在左边、常数项在右边，再合并同类项，最后系数化为1； （3）先去括号消除括号结构，再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （3）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 3．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）根据去分母， 移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （3）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． （4）根据去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 移项，合并同类项：， 系数化为1：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． （3）解：     去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． （4）解：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1：． 4．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程．根据移项、合并同类项，未知数系数化为1，即可． 【详解】（1）解：， 移项、合并同类项，得， 解得； （2）解：， 移项、合并同类项，得； （3）解：， 移项、合并同类项，得； （4）解：， 移项、合并同类项，得． 5．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． 6．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （3）根据解一元一次方程的方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可； （4）先利用分数的基本性质，把分子、分母化为整数，再按解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 将系数化为1，得 （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 （4）解： 原方程可变形为： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得 7.解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解：去分母，得。 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【题型2 一元一次方程的整数解问题】 1．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 2．已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故选：A． 3．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．先解一元一次方程可得，再由方程的解为正整数，则或，求出的值即可求解． 【详解】解：， ， ， 方程有正整数解， ， ， 方程的解是正整数， 或， 解得或， ， 故选：D． 4．关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 【答案】16 【分析】本题考查一元一次方程的解，先解方程，得到，再根据有正整数解，求出m的值，相加即可得到答案． 【详解】解：， ， 当时，， ∵是正整数， ∴整数， 所以，它们的和为； 故答案为：16． 5．k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有正整数解确定的取值即可，正确求出一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有正整数解， ∴， ∴， ∴或或， ∴或或， 故答案为：或或． 6．已知为整数，关于的方程有正整数解，则的值为 ． 【答案】1或6 【分析】本题考查含参数的一元一次方程的求解以及正整数的性质，解题的关键是用含的式子表示出方程的解，再根据正整数解的条件确定的值． 先对给定方程进行求解，得到关于的表达式，再根据是正整数且是整数这两个条件，确定的取值． 【详解】根据题意，可得， ， 因为为正整数，为整数，所以必须是整数． 6的因数有， 当时，，符合正整数解的条件； 当时，，不符合正整数解的条件； 当时，，不符合正整数解的条件； 当时，，符合正整数解的条件； 当时，，不符合正整数解的条件； 当时，，不符合正整数解的条件； 当时，，不符合正整数解的条件； 当时，，不符合正整数解的条件． 综上，的值为1或6． 故答案为：1或6． 7．关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，求的值． 【答案】 【分析】把看成常数，解方程，再根据方程有正整数解，求出即可． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以3，得． ∵是正整数，方程有正整数解， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 8．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 1．若方程与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】求出第一个一元一次方程的解得到的值，再代入第二个方程中即可求出的值． 【详解】解：解方程得 两个方程的解相同， 把代入,得 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了同解方程及解一元一次方程，两方程未知数的值相同即为同解方程，解决问题的关键是准确计算. 2．如果关于的方程的解与方程的解相同，那么的值为 ． 【答案】 【分析】先根据等式的性质求出方程的解，再把代入方程，即可求出． 【详解】解： 的解与方程的解相同 把代入得： . 故答案为：. 【点睛】本题考查了同解方程以及一元一次方程的解法，解题关键是先求出已知方程的解，再利用 “同解” 的条件代入含参数的方程求解参数. 3．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可．先将的解求出，然后将的相反数代入求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 解互为相反数， 将代入得， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 故答案为： ． 4．关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，相反数的定义，根据题意得出关于的一元一次方程的是解题关键．先解关于x的方程，再根据两个方程的解互为相反数，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程得：， 与的解互为相反数， ， 解得． 5．当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？ 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．分别解两个方程求得方程的解，然后根据关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，即可列方程求得m的值． 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， 根据题意得：， 解得：． 故当m为时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2． 6．已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． 分别求出两个方程的解，然后根据两个方程解的关系得到关于m的方程，由此求解即可． 【详解】解：方程， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得：， ∵关于x的方程的解比的解小5， 因此方程的解为， 将代入，得， 解得：． 【题型4 错解一元一次方程的问题】 1．小明同学在把方程化成的形式时，把数看错了，解得．小明同学把看成了（    ） A． B． C．8 D．-8 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 把代入方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：． 故选：C． 2．小明同学在解方程时，把数字看错了，解得，则小明把看成了（   ） A． B．8 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，将代入方程，求出此时对应的值，即为小明看错的． 【详解】解：将代入方程，得： ∴， 解得：， 因此，小明将看成了8， 故选：B． 3．小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案． 【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为 ， 解得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 3.小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是根据错误的去分母过程求出的值．根据错误解法求得，进一步求得，再代入原方程求解正确的解即可． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 4.小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】能，，方程正确的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．由题意得，小林得到的方程为，代入，求出的值，再对原方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程正确的解． 【详解】解：由题意得，小林得到的方程为， 代入得，， 解得：， 原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴方程正确的解为． 5.学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题意得：方程的为，将代入可求得得出原方程为，即可求解； 【详解】解：由题意得：方程的为， 将代入方程得：， 解得： ∴原方程为， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： 6.小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，由小玲解得，可求得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得，， ∵小玲解得， ∴， ∴； 正确解法如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【题型5 一元一次方程的解在新定义中运用】 1．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1） ． （2）若，则x的值为 ． 【答案】 2 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）根据新定义分情况列出方程并解方程即可． 【详解】（1）． 故答案为：， （2）当，即时，则． 因为，所以，解得． 当，即时，则． 因为，所以，解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，若，则x的值为2， 故答案为：2． 2．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合新定义得，整理得，再解得的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3 3．定义：叫作，的三等分点，叫做，的2倍距离．如：，，试求： (1) ， ． (2)若，则的值． 【答案】(1)；20 (2)9 【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，解一元一次方程等知识，理解题中的新定义是解题的关键； （1）由两个数的三等分点及2倍距离含义即可求解； （2）由两个数的三等分点及2倍距离含义得到关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，再代入可求出两个数的三等分点． 【详解】（1）解：；； 故答案为：；20； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：， 则． 4．用“※”定义一种新运算，规则如下，． (1)计算：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，理解新定义运算法则是解题关键． （1）根据已知新定义运算法则计算即可； （2）根据已知新定义运算法则得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：， ， 解得：． 5.定义新运算： 例如： 求： (1)； (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，化简绝对值，解一元一次方程； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）先根据新定义列出方程，再根据绝对值的意义，分类讨论，分别解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）由 得： ， 即 ， 分类讨论： 若 ，则 ，方程为 ， ， 解得：（舍去） ， 若 ，则 ，方程为 ， ， ， 解得：． 6.用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查新定义题型，理解新定义题型的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义计算即可得到的值； （2）根据新定义进行计算，解一元一次方程即可求得的值． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ， ， ， ， ． 7.用“”定义一种新运算，规则如下：． (1)计算：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数混合运算及新定义，解题的关键是理解新定义． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． 故答案为：． （2）解： 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $