第6章第15讲角（6.5～6.8）专题讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第6章 图形的初步知识　第15讲 角(6.5~6.8) 第6章 图形的初步知识 第15讲 角(6.5~6.8) 专题讲义 (一)角的表示方法 例题精析 例 1 完成以下各题。 (1)写出图中能用一个字母表示的角。 (2)写出图中以 A 为顶点的角。 (3)图中共有几个小于平角的角？请一一写出来。 ▍思路点拨 根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案。 ▍过程详解 解： (1)能用一个字母表示的角有 2 个：∠B，∠D。 (2)以 A 为顶点的角有 6 个：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE。 (3)小于平角的角有 10 个：∠BAD，∠BAC，∠DAC，∠CAE，∠DAE，∠D，∠ACD，∠ACB，∠BCD，∠B。 ▍总结升华 角的表示： ①用三个大写字母表示； ②用一个数字或希腊字母表示； ③在不混淆的情况下，也可以用角的顶点字母表示。 变式 1 如图所示，下列表示角的方法中，错误的是（　　） A. ∠1 与 ∠AOB 表示同一个角 B. ∠AOC 也可用 ∠O 表示 C. 图中共有三个角，分别是 ∠AOB，∠AOC，∠BOC D. ∠β 表示 ∠BOC (二)角的计数问题 例题精析 例 2 观察思考： 在 ∠AOB 内部画 1 条射线 OC，则图 1 中有 3 个不同的角。 (1)在 ∠AOB 内部画 2 条射线 OC，OD，则图 2 中有几个不同的角？ (2)3 条射线呢？你能发现什么规律，表示出 n 条射线能有几个不同的角？ ▍思路点拨 由于 ∠AOB 内有 n 条射线，加上 OA，OB 共有 (n+2) 条射线，故计数时可以套用 这个学过的公式，注意公式中的 n，这里是 (n+2)。 ▍过程详解 解： (1)在 ∠AOB 内部画 2 条射线 OC，OD，如图 1，则图中有 ∠AOC，∠AOD，∠AOB，∠COD，∠COB，∠DOB 共 1+2+3=6(个)不同的角。 (2)在 ∠AOB 内部画 3 条射线 OC，OD，OE，如图 2，在图 1 的基础上增加了 ∠AOE，∠COE，∠DOE 和 ∠BOE，共有 6+4=10(个)不同的角；若在 ∠AOB 内部画 n 条射线，则有 (个)不同的角。 ▍总结升华 角的个数计数可以类比线段的条数计数法：若在 ∠AOB 内部画 n 条射线，则有 (个)不同的角。 变式 2 如图，从点 O 引出的射线(任两条不共线)条数与角的总个数有如下关系：从点 O 引出 2 条射线形成 1 个角；如图 1 从点 O 引出 3 条射线共形成 3 个角；如图 2 从点 O 引出 4 条射线共形成 6 个角；如图 3 从点 O 引出 5 条射线共形成 10 个角…… (1)观察操作：当从点 O 引出 6 条射线共形成＿＿＿个角。 (2)探索发现：如图 4，当从点 O 引出 n 条射线共形成＿＿＿个角。(用含 n 的式子表示) (3)实践应用：某学校九年级 1 班有 45 名学生毕业留影时，全体同学拍 1 张集体照，每 2 名学生拍 1 张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要 1 张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？ (三)度、分、秒换算及角度计算 例题精析 例 3 计算： ″″(结果用度表示)； (结果用度表示)； ″×5(结果用度、分、秒表示)； (结果用度、分、秒表示)。 ▍思路点拨 根据度、分、秒之间的进率计算即可，要注意度、分、秒是六十进制。 ▍过程详解 解： (1)原式 ″； (2)原式 ； (3)原式 ″″； (4)原式 。 ▍总结升华 度、分、秒的加法、减法、乘法、除法计算，注意单位的转化，度、分、秒换算是六十进制。 变式 3 (结果用度表示)； (结果用度表示)； (结果用度、分、秒表示)； (4)(″)÷2(结果用度、分、秒表示)。 (四)角的大小比较 例题精析 例 4 已知 ，，，则下列说法中正确的是（　　） A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠3 C. ∠1<∠2 D. ∠2>∠3 ▍思路点拨 把角都化为同一种表示单位进行比较。 ▍过程详解 解：把它们都化成度：，，，因此 ∠1=∠3>∠2。故选 B。 ▍总结升华 角的大小比较要先统一单位，再比较大小。 变式 4 如果 ，，那么 ∠α 与 ∠β 之间的大小关系是（　　） A. ∠α>∠β B. ∠α<∠β C. ∠α=∠β D. 无法确定 (五)求某时刻时针与分针所成的钟面角 例题精析 例 5 在钟面上，点 O 为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆，时针与分针所成的角称为钟面角。为便于研究，我们规定：钟面圆的半径 OA 表示时针，半径 OB 表示分针，它们所成的钟面角为 ∠AOB；本题中所提到的角都不小于 ，且不大于 ；本题中所指的时刻都介于 0 点整到 12 点整之间。 (1)时针每分钟转动的角度为＿＿＿^{°}，分针每分钟转动的角度为＿＿＿^{°}。 (2)8 点整，钟面角 ∠AOB=＿＿＿^{°}，钟面角与此相等的整点还有：＿＿＿点。 (3)如图，设半径 OC 指向 12 点方向，在图中画出 6 点 15 分时半径 OA，OB 的大概位置，并求出此时 ∠AOB 的度数。 ▍思路点拨 先总结出钟面上时针、分针每分钟转动的度数，再利用钟表来计算分针和时针所成的角度。 ▍过程详解 解： (1)时针每分钟转过的角度是 ，分针每分钟转过的角度是 。故答案为 0.5；6。 (2)120 4 (3)如图，设半径 OD 指向 6 点方向，则 ，，所以 。 ▍总结升华 在钟面上时针每分钟转 ，分针每分钟转 ，有时也常把 和 理解为分针和时针的速度，可以利用角度和差求出具体时间时针与分针的夹角。 变式 5 时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转，请你解答以下有关时钟的问题： (1)中午 12 时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于 ？ (2)在(1)中所述分针与时针所成的钝角等于 后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于 ？ (六)角的和差倍分 例题精析 例 6 (角平分线的性质)已知 O 为直线 AD 上的一点，以 O 为顶点作 ，射线 OF 平分 ∠AOE。 (1)如图 1，若 ，则 ∠AOC=＿＿＿，∠COF=＿＿＿。 (2)若将 ∠COE 绕点 O 旋转至图 2 的位置，射线 OF 仍然平分 ∠AOE，请写出 ∠COF 与 ∠DOE 之间的数量关系，并说明理由。 (3)若将 ∠COE 绕点 O 旋转至图 3 的位置，射线 OF 仍然平分 ∠AOE，求 2∠COF+∠DOE 的度数。 ▍思路点拨 (2)通过观察角之间的关系并结合角平分线性质，可以知道 ，，进而得出 ∠COF 与 ∠DOE 之间的数量关系。 ▍过程详解 解： (1)因为 ，，所以 ，所以 。又因为射线 OF 平分 ∠AOE，所以 ，所以 。故答案为 ；。 。理由如下：因为 OF 平分 ∠AOE，所以 。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，即 。 (3)因为 ，所以 。因为 OF 平分 ∠AOE，所以 ∠AOE=2∠EOF，所以 。 ▍总结升华 本题考查了角平分线的定义，角度的和差倍分的计算，利用图形特点计算角的和差倍分关系。 变式 6 将三角板 COD 的直角顶点 O 放置在直线 AB 上。 (1)如图，，射线 OE 平分 ∠BOC，则 ∠BOE 的大小为＿＿＿。 (2)在(1)的条件下，射线 OF 平分 ∠BOD，求 ∠EOF 的度数。 (3)若将三角板 COD 绕点 O 旋转，射线 OE 平分 ∠BOC，射线 OF 平分 ∠BOD。请写出 ∠COD 与 ∠EOF 度数的等量关系：＿＿＿。 例 7 (余角与补角的概念及性质)如图，A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 平分 ∠BOC，设 ∠AOD=α()。 (1)当 时，求 ∠AOC 的度数。 (2)若在 ∠AOD 的内部画射线 OE，使 ，求证：∠DOE 与 ∠DOC 互余。 (3)若 ∠DOE 与 ∠DOC 互余，求 ∠BOE(可用含 α 的代数式表示)。 ▍思路点拨 (1)根据补角的定义，得到 ，再根据角平分线的定义，得到 ，即可求出 ∠AOC 的度数； (2)根据互余的性质，得到 ，再根据角平分线的定义，得到 ∠DOB=∠DOC，即可证明结论； (3)分两种情况讨论： ①当射线 OE 在 ∠AOD 的内部时； ②当射线 OE 在 ∠AOD 的外部时，根据余角和补角以及角平分线的定义分别求解，即可得到答案。 ▍过程详解 (1)解：因为 ，所以 。因为射线 OD 平分 ∠BOC，所以 ，所以 。 (2)证明：如图 1，在 ∠AOD 的内部画射线 OE，使 ，所以 。因为射线 OD 平分 ∠BOC，所以 ∠DOB=∠DOC，所以 ，即 ∠DOE 与 ∠DOC 互余。 (3)解： ①如图 1，当射线 OE 在 ∠AOD 的内部时，因为 ∠DOE 与 ∠DOC 互余，所以 。因为射线 OD 平分 ∠BOC，所以 ∠DOB=∠DOC，所以 ，所以 ； ②如图 2，当射线 OE 在 ∠AOD 的外部时，因为 ∠DOE 与 ∠DOC 互余，所以 ，所以 。因为 ∠AOD=α，所以 。因为射线 OD 平分 ∠BOC，所以 ，所以 。综上所述，∠BOE 的度数为 或 。 ▍总结升华 本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角度的计算，当角的位置不确定时利用分类讨论的思想解决问题是解题关键。 变式 7 如图，将一副三角板的两个直角顶点 O 重合在一起，放置成如图所示的位置。 (1)如图 1，若 ，猜想 ∠AOD=＿＿＿^{°}。 (2)小明推测：三角板 OCD 绕重合的点 O 旋转(三角板 OAB 保持不动)，不论转动到哪个位置，“∠AOD 与 ∠BOC 始终互补”，你同意他的结论吗？请说明理由。 例 8 (整体思想)阅读下列材料：利用折纸可以作出角平分线。 (1)如图 1，若 ，则 ∠BOC=＿＿＿^{°}。 (2)折叠长方形纸片，OC，OD 均是折痕，折叠后，点 A 落在点 A′处，点 B 落在点 B′处。 ①如图 2，当点 B′在 OA′上时，求 ∠COD 的度数； ②如图 3，当点 B′在 ∠COA′的内部时，若 ，，求 ∠A′OB′ 的度数。 ▍思路点拨 (1)根据 OC 为 ∠AOB 的平分线即可求出 ∠BOC 的度数； (2)①由折叠可知 ∠AOC=∠A′OC，∠BOD=∠B′OD，得出 ∠AOA′=2∠AOC，∠BOB′=2∠BOD，根据点 B′落在 OA′上，得出 ，即 ，求出 ，即可求 ∠COD； ②由折叠可知 ∠AOA′=2∠AOC，∠BOB′=2∠BOD，根据 ，，得出 ，，进而得出 ，即可求解。 ▍过程详解 解： (1)根据题意可知 OC 是 ∠AOB 的平分线，因为 ，所以 。故答案为 。 (2)①由折叠可知 ∠AOC=∠A′OC，∠BOD=∠B′OD，所以 ∠AOA′=2∠AOC，∠BOB′=2∠BOD。因为点 B′落在 OA′上，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ； ②由折叠可知 ∠AOA′=2∠AOC，∠BOB′=2∠BOD，因为 ，，所以 ，，所以 。故 ∠A′OB′ 的度数为 。 ▍总结升华 在求角度时，根据图形特点，整体思想是把两个角的和当作一个整体，代入求其他角。 变式 8 如图，已知 OC 是 ∠AOD 的平分线，OE 是 ∠BOD 的平分线。 (1)若 ，求 ∠COE 的度数。 (2)若 ∠AOB=α，则 ∠COE=＿＿＿。 例 9 (方程思想)如图，OB 是 ∠AOC 内部的一条射线，OM 是 ∠AOB 内部的一条射线，ON 是 ∠BOC 内部的一条射线。若 ，，且 ∠BOM:∠BON=3:2，求 ∠MON 的度数。 ▍思路点拨 设 ∠AOM=∠NOC=x，则 ∠AOB=4x，∠BOM=∠AOB-∠AOM=3x，∠BON=2x，则 ，求出 x 的值，然后根据 ∠MON=∠BOM+∠BON 进行计算。 ▍过程详解 解：设 ∠AOM=∠NOC=x，则 ∠AOB=4x，所以 ∠BOM=∠AOB-∠AOM=3x。因为 ∠BOM:∠BON=3:2，所以 ∠BON=2x，所以 ，所以 ，所以 。 ▍总结升华 在求角度时，已知角的比值，通常利用方程思想设一份为 x，其他角也用含 x 的代数式表示出来，建立方程先求解 x，进而求出其他角的度数。 变式 9 如图，∠AOC 与 ∠BOC 互余，OD 平分 ∠BOC，∠EOC=2∠AOE，若 ，求 ∠AOE 的度数。 例 10 (定值问题)(1)将一副直角三角板 ABC，ADE 按如图 1 所示位置摆放，，，分别作 ∠BAE，∠CAD 的平分线 AM，AN。试求 ∠MAN 的度数。 (2)将三角板 ADE 从图 1 位置开始绕点 A 逆时针旋转到图 2 所示的位置，AM，AN 仍然是 ∠BAE，∠CAD 的平分线。试求 ∠MAN 的度数。 (3)将三角板 ADE 从图 1 位置开始绕点 A 逆时针旋转 α()，AM，AN 仍然是 ∠BAE，∠CAD 的平分线。在旋转的过程中，∠MAN 的度数会发生改变吗？请说明理由。 ▍思路点拨 本题考查了角平分线的定义，角度的计算。 (1)由角平分线得 ，，再相加即可； (2)用已知 ，，∠DAB 来分别表示 ∠MAB，∠NAD，再根据 ∠MAN=∠MAB+∠NAD-∠BAD 计算即可； (3)根据旋转的不同位置，分情况讨论，通过画图根据(2)的思路解答即可。 ▍过程详解 解： (1)因为 AM，AN 是 ∠BAE，∠CAD 的平分线，，，所以 ，，所以 。 (2)因为 ，，所以 ，。因为 AM，AN 仍然是 ∠BAE，∠CAD 的平分线，所以 ，，所以 。 (3)不变。理由如下：当 时，∠EAC=α，如图 1，此时 ，，所以 ；当 时，∠EAC=α，如图 2，此时 ，，所以 ；当 时，∠EAC=α，如图 3，此时 ，，所以 ；当 时，∠EAC=α，如图 4，即为第(2)小问，此时，；当 时，，如图 5，此时 ，，所以 ；当 时，，如图 6，此时 ，，所以 。综上所述，在旋转的过程中，∠MAN 的度数保持 不变。 ▍总结升华 当角的位置不确定时，需要进行分类讨论，画出图形进行分析，在多种情况下计算出来的结果一样，即在旋转过程中所求角固定不变。 变式 10 现有一副三角板 △AOB 和 △COD 按如图方式放置，它们的直角顶点 O 重合，已知 OE 平分 ∠AOC，OF 平分 ∠BOD。 (1)若 ，求 ∠BOE 的度数。 (2)若 ，求 ∠BOF 的度数(用含 α 的式子表示)。 (3)在(2)的条件下，求 ∠EOF 的度数，并说明 ∠EOF 的度数是否随 α 的变化而变化。 (七)线段与角的类比探究 例题精析 例 11 阅读材料： 【特例感知】 (1)如图 1，已知线段 MN=30cm，AB=2cm，C，D 分别是 AM，BN 的中点。若 AM=12cm，则 CD=＿＿＿cm。 【知识迁移】 (2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图 2，已知 ∠AOB 在 ∠MON 内部转动，射线 OC 和射线 OD 分别平分 ∠AOM 和 ∠BON。 ①若 ，，求 ∠COD 的度数； ②请你猜想 ∠AOB，∠COD 和 ∠MON 三个角的数量关系，并说明理由。 【类比探究】 (3)如图 3，∠AOB 在 ∠MON 内部转动，若 ，，∠MOC=k∠AOC，∠NOD=k∠BOD，则 ∠COD 的度数为＿＿＿(用含有 k 的式子直接表示)。 ▍思路点拨 (1)欲求 CD，需求 AC+AB+BD，已知 AB，需求 AC+BD，C 和 D 分别是 AM，BN 的中点，得 ，，那么 ，进而解决此题； (2)①欲求 ∠COD，需求 ∠AOC+∠AOB+∠BOD，已知 ∠AOB，需求 ∠AOC+∠BOD，由 OC 和 OD 分别平分 ∠AOM 和 ∠BON，得 ，，进而解决此题； ②与①同理可证； (3)由 ∠MOC=k∠AOC，∠NOD=k∠BOD 可得，∠AOM=(1+k)∠AOC，∠BON=(1+k)∠BOD，所以 ，根据 ∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD 可得结论。 ▍过程详解 解： (1)因为 MN=30cm，AB=2cm，AM=12cm，所以 BN=MN-AB-AM=30-2-12=16(cm)。因为 C 和 D 分别是 AM，BN 的中点，所以 ，，所以 AC+BD=14cm。所以 CD=AC+AB+BD=2+14=16(cm)。故答案为 16。 (2)①因为 OC 和 OD 分别平分 ∠AOM 和 ∠BON，所以 ，，所以 。又因为 ，，所以 ，所以 ，所以 。 ②。理由如下：因为 OC 和 OD 分别平分 ∠AOM 和 ∠BON，所以 ，，所以 ，所以 。 (3)因为 ，，所以 。因为 ∠MOC=k∠AOC，所以 ∠AOM=(1+k)∠AOC，同理，∠BON=(1+k)∠BOD，所以 ，所以 。故答案为 。 ▍总结升华 角的和差倍分的研究路径可以类比线段的和差倍分，本题体现了类比思想。 变式 11 如图 1，已知线段 AB=44cm，CD=4cm，线段 CD 在线段 AB 上运动(点 C 不与点 A 重合)，E，F 分别是 AC，BD 的中点。 (1)若 AC=10cm，则 EF=＿＿＿cm。 (2)当线段 CD 在线段 AB 上运动时，试判断线段 EF 的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段 EF 的长度；如果变化，请说明理由。 (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图 2，已知 ∠COD 在 ∠AOB 内部转动，OE，OF 分别平分 ∠AOC 和 ∠BOD。类比以上发现的线段的规律，若 ，，求 ∠AOB 的度数。 链接好题 东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图 1 所示折叠，点 F 在边 BC 上，点 E，G 在其他三边上，FE 和 FG 为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层。东东在探究的过程中，发现 ∠B′FC′ 随着点 E，G 的位置变化而变化，为了研究方便，把 ∠BFE 记为 α，∠CFG 记为 β。 (1)如图 1，当 ， 时，求 ∠B′FC′ 的度数。 (2)如图 2，当点 F，B′，C′在同一直线上(即 )时，探究 α 和 β 的数量关系，并说明理由。 (3)在 ∠EFG 和 ∠B′FC′ 中，当其中一个角是另一个角的 3 倍时，求 α+β 的度数。 参考答案与方法指导 变式训练 1. B 2. (1)观察图形可知，2 条射线组成 1 个角，3 条射线就可以组成 2+1=3(个)角，4 条射线可以组成 3+2+1=6(个)角，依此可得 6 条射线组成角的个数是 1+2+3+4+5=15(个)。故答案为 15。 (2)根据(1)的规律可知 n 条射线组成角的个数是 。故答案为 。 (张)，45×(45-1)+1×45=2025(张)。答：共需拍照 991 张，共需冲印 2025 张纸质照片。 3. ″ 4. A 5. (1)设中午 12 时整后再经过 x 分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于 ，因为时针与分针转过的角度差是 ，所以 6x-0.5x=121，解得 x=22。答：中午 12 时整后再经过 22 分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于 。 (2)设再经过 y 分钟两针所成的钝角会第二次等于 ，则从 12 时算起经过 (y+22) 分钟两针所成的钝角会第二次等于 ，因为时针与分针转过的角度差超过 ，所以 6(y+22)-0.5(y+22)+121=360，解得 。答：再经过 分钟两针所成的钝角会第二次等于 。 6. (2)因为 ，所以 。因为射线 OE 平分 ∠BOC，所以 。因为 ，所以 。因为射线 OF 平分 ∠BOD，所以 ，所以 。 (3)∠COD=2∠EOF 7. (1)一副三角板的两个直角顶点 O 重合在一起，所以 。因为 ，所以 ，。故答案为 。 (2)同意。理由如下： ①如图 1，当 OC 在 ∠AOB 内时，因为 ，所以 ，所以 ∠AOD 与 ∠BOC 互补； ②如图 2，当 OB 在 ∠AOC 内时，因为 ，所以 ，所以 ∠AOD 与 ∠BOC 互补； ③如图 3，当 OD 在 ∠AOB 内时，因为 ，所以 ，所以 ∠AOD 与 ∠BOC 互补。综上所述，不论转动到哪个位置，∠AOD 与 ∠BOC 始终互补。 8. (1)因为 OC 是 ∠AOD 的平分线，OE 是 ∠BOD 的平分线，所以 ，，则 ，由 ，得 。 (2)因为 OC 是 ∠AOD 的平分线，OE 是 ∠BOD 的平分线，所以 ，，则 ，由 ∠AOB=α，得 。故答案为 。 9. 设 ，则 ，。因为 ∠AOC 与 ∠BOC 互余，所以 。因为 OD 平分 ∠BOC，所以 。当 时，，即 ，解得 x=20，所以 ∠AOE 的度数为 。 10. (1)因为 ，所以 。因为 OE 平分 ∠AOC，所以 。所以 。因为 ，所以 。 (2)因为 ，OF 平分 ∠BOD，所以 。 ，且度数不随 α 的变化而变化。理由如下：由(1)中结论 ，得 ，由(2)中结论 ，得 。 11. (1)因为 AC=10cm，CD=4cm，所以 BD=AB-AC-CD=44-10-4=30(cm)。因为 E，F 分别是 AC，BD 的中点，所以 ，，所以 EF=EC+CD+DF=5+4+15=24(cm)。故答案为 24。 (2)线段 EF 的长度不会发生变化。因为 E，F 分别是 AC，BD 的中点，所以 ，，所以 。 (3)因为 OE，OF 分别平分 ∠AOC 和 ∠BOD，所以 ∠AOC=2∠EOC，∠BOD=2∠DOF，所以 。 链接好题 (1)由折叠可得 ，，所以 。 。理由如下：由折叠可得 ∠B′FB=2∠BFE=2α，∠C′FC=2∠CFG=2β，所以 ，所以 。 (3)如图 1，由折叠可得 ∠B′FB=2∠BFE=2α，∠C′FC=2∠CFG=2β，所以 ，，当 ∠EFG=3∠B′FC′ 时，，解得 ；如图 2，，当 ∠EFG=3∠B′FC′ 时，，解得 ；如图 3，，当 ∠B′FC′=3∠EFG 时，，解得 。综上所述，在 ∠EFG 和 ∠B′FC′ 中，当其中一个角是另一个角的 3 倍时，α+β 的度数为 或 或 。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $