第5章第11讲认识方程（5.1～5.3）专题讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第5章 一元一次方程　第11讲 认识方程(5.1~5.3) 第5章 一元一次方程 第11讲 认识方程(5.1~5.3) 专题讲义 (一)认识方程 例题精析 例 1 下列各式中①m=1； ②； ③6x-7>0； ④2x+y； ⑤； ⑥y+2x=6。其中是方程的有（　　） A. ①②④⑤ B. ②③⑥ C. ②④⑤⑥ D. ①②⑤⑥ ▍思路点拨 根据方程的定义，对每个式子逐一判断是否是方程。 ▍过程详解 解： ①m=1是方程； ②是方程； ③6x-7>0是不等式，不是方程； ④2x+y是多项式，不是方程； ⑤是方程； ⑥y+2x=6是方程。其中是方程的有①②⑤。故选D。 ▍总结升华 方程的定义：含未知数的等式是方程。紧扣定义进行判断，抓住关键词“未知数”“等式”。 变式 1 下列各式属于方程的是＿＿＿。 ①； ②2x-3=6x+2； ③2003+22=2025； ④5p<4； ⑤6-2y； ⑥x+y=1。 例 2 (1)我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”。若设有牧童x人，根据题意，则可列方程为＿＿＿。 (2)飞机在两城中飞行，顺风需要4小时，逆风需要4.5小时，风速为45千米/时。设飞机无风时速度为x千米/时，则可列方程为＿＿＿。 (3)在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，则可列方程为＿＿＿。 (4)一个长方形场地的面积为160米，长比宽的2倍少1米。若设这个场地的宽为x米，则可以列出方程为＿＿＿。 ▍思路点拨 仔细审题，根据数量关系列方程。 ▍过程详解 解： (1)6x+14=8x (2)4(x+45)=4.5(x-45) (4)x(2x-1)=160 ▍总结升华 在实际问题中，理清题意找出等量关系，从而抽象出方程来解决问题，这里体现了方程思想。 变式 2 根据题意，列方程。 (1)《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为x，则可列方程为＿＿＿。 (2)收割一块小麦，第一组需要5小时收割完，第二组需要7小时收割完。第一组收割1小时后再增加第二组一起收割，两组共同收割了x小时完成任务，则可列方程为＿＿＿。 (3)要挖一条水渠，共有72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走。解决此问题，可设派x人挖土，其他的人运土，则可列方程为＿＿＿。 (4)某圆环形状的工件如图所示，它的面积是，外沿大圆的半径是10cm，内沿小圆的半径是多少厘米？设内沿小圆的半径是r厘米，则可列方程为＿＿＿。 例 3 检验下列各小题括号内字母的值是不是相应方程的解。 (1)3y=8-y(y=2)； (2)2a-1=-a+3()。 ▍思路点拨 将字母的值各自代入原方程并计算等号左边和右边的值，若左边=右边，则为方程的解，若左边≠右边，则不是方程的解。 ▍过程详解 解： (1)把y=2代入方程，左边=3×2=6，右边=8-2=6，因为左边=右边，所以y=2是该方程的解。 (2)把代入方程，左边，右边，因为左边≠右边，所以不是该方程的解。 ▍总结升华 使得方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此把未知数的值代入方程等号左右两边计算进行验证是不是方程的解。 变式 3 请填写下表，然后说出方程3x-8=x的解。 (二)等式的基本性质 例题精析 例 4 写出下列各等式变形的根据： (1)由4x-3=0，得。 (2)由，得m=-4。 ▍思路点拨 (1)根据等式的性质1，两边同时加3，再根据等式的性质2，两边同时除以4，即可得到答案； (2)根据等式的性质1，两边同时加2，再同时减m，再根据等式的性质2，两边同时乘-2，即可得到答案。 ▍过程详解 解： (1)两边同时加上3，得4x=3(等式的性质1)，两边同时除以4，得(等式的性质2)。 (2)两边同时加2，得(等式的性质1)，两边同时减去m，得(等式的性质1)，两边同时乘以-2，得m=-4(等式的性质2)。 ▍总结升华 等式的性质是等式变形的基本依据，观察等式特点进行合理变形。 变式 4 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并在括号内填上理论依据。 (1)如果2x+7=10，那么2x=10-＿＿＿(＿＿＿)。 (2)如果-3x=8，那么x=＿＿＿(＿＿＿)。 例 5 已知，求的值。 ▍思路点拨 由等式的性质，把变形，求得的值，则的值即可求得。 ▍过程详解 解：由，得，解得。所以。 ▍总结升华 本题主要考查等式的性质，观察已知等式特点进行合理变形，从而得到所求代数式的值。 变式 5 有下列等式： ①由a=b，得5-2a=5-2b； ②由a=b，得ac=bc； ③由a=b，得； ④由，得3a=2b； ⑤由，得a=b。其中正确的是＿＿＿(填序号)。 (三)一元一次方程及其解 例题精析 例 6 已知方程是关于x的一元一次方程，则m=（　　） A. 2 B. ±1 C. -2 D. ±2 ▍思路点拨 根据一元一次方程的定义进行求解即可。 ▍过程详解 解：因为方程是关于x的一元一次方程，所以m-2≠0，|m|-1=1，解得m=-2。故选C。 ▍总结升华 一元一次方程未知数的次数为一次，同时注意未知数的系数不为0。 变式 6 若方程是关于x的一元一次方程，则k+2025=＿＿＿。 例 7 已知方程是关于x的一元一次方程。 (1)求m的值及方程的解。 (2)求代数式的值。 ▍思路点拨 (1)根据方程为一元一次方程可得且m+1≠0，求解可得m的值，据此可得一元一次方程，然后求解即可； (2)根据去括号法则、合并同类项法则对原式进行化简，然后将x,m的值代入进行计算。 ▍过程详解 解： (1)因为方程是关于x的一元一次方程，所以且-(m+1)≠0，所以m=1，原一元一次方程化为-2x+8=0，解得x=4。 (2)原式，当x=4，m=1时，原式。 ▍总结升华 根据一元一次方程的定义，未知数的二次项系数为0，且一次项系数不为0。 变式 7 已知关于x的方程3a-x=x+2的解为x=2，求代数式的值。 (四)方程的整数解 例题精析 例 8 已知关于x的整式，整式，若a是常数，且3A-B不含x的一次项。 (1)a=＿＿＿。 (2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx+2x-3=0的解是整数，求5a+b的值。 ▍思路点拨 (2)先根据一元一次方程的概念，用含b的式子表示x，再由x是整数，利用整除性质，求得整数b的值。 ▍过程详解 解： (1)根据题意可知。因为3A-B不含x的一次项，所以5a-7=0，所以。故答案为。 (2)bx+2x-3=0，(b+2)x=3，，因为b为整数，x为整数，所以b+2=1或-1或3或-3。所以b=-1或-3或1或-5，当b=-1，时，；当b=-3，时，；当b=1，时，；当b=-5，时，。综上，5a+b的值为6或4或8或2。 ▍总结升华 对于一元一次方程整数解问题，先将方程变形为ax=b，找到b是a的倍数的所有情况，罗列出计算即可解决问题。 变式 8 已知m,n是有理数，单项式的次数是3，方程是关于x的一元一次方程，其中m≠。 (1)求m,n的值。 (2)若该方程的解是x=3，求t的值。 (3)若该方程的解是正整数，请直接写出整数t的值。 (五)与方程的解有关的新定义题 例题精析 例 9 我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“奇异方程”。例如：2x=-4的解为x=-2=-4+2，则该方程是“奇异方程”。请根据上述规定解答下列问题： (1)判断方程5x=-8＿＿＿(回答“是”或“不是”)“奇异方程”。 (2)若a=3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由。 (3)若关于x的一元一次方程2x=mn+m和-2x=mn+n都是“奇异方程”，求代数式m-n的值。 ▍思路点拨 根据奇异方程的定义即可得出关于字母b,m,n的方程，运用等式基本性质解方程即可。 ▍过程详解 解： (1)因为5x=-8，所以。因为-8+5=-3，，所以5x=-8不是奇异方程。故答案为不是。 (2)因为a=3，所以3x=b，所以。当有符合要求的“奇异方程”时，，所以，即时有符合要求的“奇异方程”。 (3)因为关于x的一元一次方程2x=mn+m和-2x=mn+n都是“奇异方程”，所以mn+m=-4，，两式相减得。 ▍总结升华 等式的性质是等式变形的基本依据，观察等式特点进行合理变形。 变式 9 我们规定：若关于x的方程ax=b的解为x=b-a，则称该方程为“差解方程”。例如：2x=4的解为x=2，且2=4-2，则2x=4是“差解方程”。 (1)判断3x=4.5是不是“差解方程”。 (2)若关于x的方程2x=4m+6是“差解方程”，求m的值。 链接好题 如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右侧及后方种植宽度均为3m的草坪。若草坪总面积为，设雕塑的底面边长为xm，则有（　　） A. 2×3x+3(x+3)=90 B. 2×3(x+3)+3x=90 C. 3×3(x+3)=90 参考答案与方法指导 变式训练 1. ①②⑥ 2. (1)8x-3=7x+4 (3)3(72-x)=x 3. 由表知x=4。 4. (1)因为2x+7=10，所以2x=10-7(等式的性质1)。故答案为7；等式的性质1。 (2)因为-3x=8，所以(等式的性质2)。故答案为；等式的性质2。 5. ①②④ 6. 因为是关于x的一元一次方程，所以k+2≠0，|k+1|=1，解得k=0，所以k+2025=0+2025=2025。故答案为2025。 7. 因为关于x的方程3a-x=x+2的解为x=2，所以将x=2代入3a-x=x+2，解得a=2，当a=2时，。 8. (1)由题意得n+1=3，m+1=0，解得n=2，m=-1。 (2)由(1)得n=2，m=-1，所以-x-xt+4=0，当x=3时，则-3-3t+4=0，所以。 (3)因为-x-xt+4=0，所以，因为方程的解是正整数，所以t+1=1，2或4，所以整数t=0，1或3。 9. (1)因为3x=4.5，所以x=1.5。又因为4.5-3=1.5，所以3x=4.5是“差解方程”。 (2)因为2x=4m+6，所以x=2m+3。又因为关于x的方程2x=4m+6是“差解方程”，所以2m+3=4m+6-2，解得m=-0.5。 链接好题 B 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $