26.4实际问题与二次函数（第2课时）（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与二次函数”第2课时，核心为应用二次函数解决最大利润问题。课堂导入通过复习二次函数模型解决问题的一般步骤，搭建旧知与实际问题的联系，再以合作探究中商品涨价、降价两种情境为支架，引导学生建立变量间的二次函数关系。 该资料以真实问题为载体，通过追问自变量取值范围培养学生抽象能力与模型意识，典例分析结合旅行社营业额、生产利润等实际情境，发展用数学思维分析问题的推理能力，分层练习与中考真题融入，助力学生用数学语言表达现实数量关系，提升应用意识与解决问题能力。

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系.会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。 2.能应用二次函数的性质解决最大利润问题。 学习重点： 应用二次函数的性质解决最大利润问题。 学习难点： 运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。 二、学习过程 （一）复习引入 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （二）合作探究 探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数): 每涨价1元，则每星期要少卖出10件； 每降价1元，则每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大?最大利润是多少? ★涨价 设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元. 追问 如何确定自变量的取值范围？ 解： 所以当x= 时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 元. ★降价 设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元. 追问 如何确定自变量的取值范围？ 解： 所以当x= 时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 元. 追问 由(1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗? （三）典例分析x2−x−56=0 例1 旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2 100元.旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额?最大营业额是多少? ★ 设增加x人，旅行社的营业额为y元. 追问 如何确定自变量的取值范围？ 解： 所以当x= 时，y最大，也就是说，当旅行团的人数为 人时，旅行社可获得最大营业额，最大营业额是 元. 例2 生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大?最大利润是多少? ★ 设产量为x件，生产这种商品的利润为y元. 追问 如何确定自变量的取值范围？ 解： 所以当x= 时，y最大，也就是说，当产量为 件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是 元. 中考演练(2026山东德州)某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1=−2x+21 ，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为(6，3)并且经过(3，12)，则这个水果店在一年中的最 高单件水果利润为___ ___元． 学习笔记 （四）巩固练习 1. 金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（     ） A．y=(15+x)(30−5x) B．y=(15−x)(30+5x) C．y=(15−x)(30−5x) D．y=(15+x)(30+5x) 2. 某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件．设厂家批发单价是x元/件，下列说法错误是（   ） A．销售量可以表示为70000−5000x B．销售额可以表示为13×(70000−5000x) C．所获利润可以表示为−5000(x−12)2+20000 D．当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元 3. 某商场进一批货物，销售量y（件）与每件货物的利润x（元）的关系式为y=−2x+500，则总利润P与x之间的函数关系式为 ． （五）当堂检测 1.某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为y=−x2+10x+11，且售价x的取值范围是1≤x≤4，则最大利润是__ __元． 学习笔记 2.(2024广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） （六）课堂小结 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （七）布置作业 A组题：习题26.4：第7题. B组题：习题26.4：第8题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系.会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。 2.能应用二次函数的性质解决最大利润问题。 学习重点： 应用二次函数的性质解决最大利润问题。 学习难点： 运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。 二、学习过程 （一）复习引入 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （二）合作探究 探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数): 每涨价1元，则每星期要少卖出10件； 每降价1元，则每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大?最大利润是多少? ★涨价 设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元. 追问 如何确定自变量的取值范围？ 答：∵价格上涨，销量下降， ∴x ≥0，300-10x ≥0， ∴自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. 解：(1)设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元. 由题意得，单件利润为(20+x)元，销售量为(300−10x)件， 所以 y=(20+x)(300−10x)=−10x2+100x+6000， 化为顶点式得 y=−10(x−5)2+6250， 其中，0≤x≤30，x为整数. 所以当x= 5 时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 5 元，即定价 65 元时，利润最大，最大利润是 6250 元. ★降价 设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元. 追问 如何确定自变量的取值范围？ 答：∵价格下降，销量上升， ∴x ≥0，20−x ≥0， ∴自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. 解：(2)设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元. 由题意得，单件利润为(20−x)元，销售量为(300+20x)件， 所以 y=(20−x)(300+20x)=−20x2+100x+6000， 化为顶点式得 y=−20(x−2.5)2+6125， 其中，0≤x≤20，x为整数. 所以当x= 2或3 时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价 2或3 元，即定价 58或57 元时，利润最大，最大利润是 6120 元. 追问 由(1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗? 答：定价65元时，利润最大，最大利润是6250元. （三）典例分析x2−x−56=0 例1 旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2 100元.旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额?最大营业额是多少? ★ 设增加x人，旅行社的营业额为y元. 追问 如何确定自变量的取值范围？ 答：∵人数增加，每人缴费减少， ∴x ≥0，2100−30x ≥0， ∴自变量的取值范围是0 ≤x ≤70. 解：设增加x人，旅行社的营业额为y元. 由题意得，每人缴费(2100−30x)元，人数为(20+x)人， 所以 y=(2100−30x)(20+x)=−30x2+1500x+42000， 化为顶点式得 y=−30(x−25)2+60750， 其中，0≤x≤70，x为整数. 所以当x= 25 时，y最大，也就是说，当旅行团的人数为 45 人时，旅行社可获得最大营业额，最大营业额是 60750 元. 例2 生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大?最大利润是多少? ★ 设产量为x件，生产这种商品的利润为y元. 追问 如何确定自变量的取值范围？ 答：∵产量增加，单件利润减少， ∴x ≥0，40− x ≥0， ∴自变量的取值范围是0 ≤x ≤320. 解：设产量为x件，生产这种商品的利润为y元. 由题意得，单件利润为(40− x)元， 所以 y=(40− x)x−500=− x2+40x−500， 化为顶点式得 y=− (x−160)2+2700， 其中，0≤x≤320，x为整数. 所以当x= 160时，y最大，也就是说，当产量为 160件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是 2700元. 中考演练(2026山东德州)某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1=−2x+21 ，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为(6，3)并且经过(3，12)，则这个水果店在一年中的最 高单件水果利润为 7 元． 分析 由题意设y2=a(x−6)2+3， 把(3，12)代入得：9a+3=12，解得：a=1， ∴抛物线为y2=(x−6)2+3=x2−12x+39， 设单件水果利润为w元， ∴w=y1−y2=−2x+21−x2+12x−39 =−x2+10x−18=−(x−5)2+7， ∵a=−1<0， ∴当x=5时，单件利润w最大，最大值为7元． （四）巩固练习 1. 金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（  B  ） A．y=(15+x)(30−5x) B．y=(15−x)(30+5x) C．y=(15−x)(30−5x) D．y=(15+x)(30+5x) 2. 某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件．设厂家批发单价是x元/件，下列说法错误是（   B ） A．销售量可以表示为70000−5000x B．销售额可以表示为13×(70000−5000x) C．所获利润可以表示为−5000(x−12)2+20000 D．当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元 3. 某商场进一批货物，销售量y（件）与每件货物的利润x（元）的关系式为y=−2x+500，则总利润P与x之间的函数关系式为 P=−2x2+500x ． （五）当堂检测 1.某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为y=−x2+10x+11，且售价x的取值范围是1≤x≤4，则最大利润是 35 元． 分析 y=−x2+10x+11=−(x−5)2+36， ∵1≤x≤4<5， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=4时，y取得最大值，最大值为−(4−5)2+36=35. ∴最大利润是35元． 注意 最值不一定在顶点处取得哦！ 2.(2024广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得，w=(5−x−2)(100+50x)=−50x2+50x+300=−50(x−0.5)2+312.5， ∵−50<0， ∴当x=0.5时，w有最大值，最大值为312.5， ∴5−x=4.5， 答：当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元； 设每吨降价x万元，每天的销售收入为y万元， 由题意得，y=(5−x)(100+50x)=−50x2+150x+500=−50(x−1.5)2+612.5， ∵−50<0， ∴当x=1.5时，y有最大值，最大值为612.5， ∴5−x=3.5， 答：当定价为3.5万元每吨时，每天的销售收入最大，最大值为612.5万元． （六）课堂小结 利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （七）布置作业 A组题：习题26.4：第7题. B组题：习题26.4：第8题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $