精品解析：江西省临川第一中学2027届高三上学期素质评价（一） 数学试题

2027届高三素质评价（一） 科目：数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3.本试题卷共8页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 祝你考试顺利! 机密★启用前 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， . 3. 下列函数中最小正周期等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数、正弦函数、正切函数的性质，结合同角的三角函数关系判断即可. 【详解】对于A，最小正周期. 对于B，正切函数的周期是，将在轴下方的图象翻折到轴上方， 周期不变.故最小正周期. 对于C，，是常函数，无最小正周期. 对于D，因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，不是周期函数. 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，根据奇函数的定义域关于原点对称求出的值，再根据奇函数的定义验证函数是奇函数即可. 【详解】的定义域为且， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，故，即. 所以， 的定义域为，关于原点对称， 又， 故函数为奇函数.所以. 5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 24 B. 18 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，读出向量的坐标，再利用坐标运算求数量积. 【详解】以三个向量的公共起点为原点建立如图所示的直角坐标系， 则，，， 则，， 则 故选：D 6. 已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 7. 某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的期望与方差公式以及性质分析计算即可. 【详解】设甲答对的题数为随机变量， 由题意可知服从的二项分布，即， 所以， 因为每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分， 所以甲最后的得分， 所以， . 8. 已知函数，若存在正实数，，使得，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为两个函数图象公共点问题，令，得，令，求导，根据导数判断函数的性质，得出直线与函数的图象有两个交点时的取值范围. 【详解】若存在正实数，使得， 则函数与的图象有两个公共点． 所以，即在时有两个不同的解． 又．令，问题转化为求直线与函数的图象有两个交点时的取值范围． ，令，得，解得． 当时，单调递增；当时，单调递减． 因此在处取得最大值，所以． 当时，；当时，，所以． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由题意得 因为，所以， 所以，则，故A正确； 对于B，若，则，此时，故B错误； 对于C，因为，所以， 由A可知，所以，故C正确； 对于D，若，则，， 此时，故D错误. 10. 已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】由等差数列通项公式基本量的计算可判断A，由A结合二次函数可判断B，由通项公式可判断C,D. 【详解】设的公差为，由，，得，， A错误； 因为，对称轴为：， 所以时，取得最小值，B错误； 由知，，，，都小于0，，，，都大于0， 所以的最小值为，C正确； 由知，，，都小于0， ，，，都大于0， 中，，，，都小于0，其他的都大于0，显然最小，D正确. 故选：CD. 11. 记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 双曲线的离心率是 B. 若，则的周长为 C. 存在四条不同直线使得 D. 线段的中点坐标可能是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线方程可确定的取值，根据离心率定义、双曲线的定义可求得AB正确；分别讨论直线斜率不存在和斜率存在的情况，通过与双曲线方程联立，利用弦长公式和中点坐标公式，结合韦达定理可求得可能的取值，进而得到CD正误. 【详解】对于A，由双曲线方程知：，，则， 双曲线的离心率，A正确； 对于B，，， 的周长为，B正确； 对于C，当斜率不存在时，即时，； 当斜率存在时，设，，， 由得：， 且，则，， ，解得：，即， 方程为：； 综上所述：存在三条不同的直线使得，C错误； 对于D，当直线斜率不存在时，线段中点为； 当直线斜率存在时，由C知，若线段中点为， 则，，解得：， 当方程为时，线段的中点坐标为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用换元法，令，根据的定义域为，有，即可求的定义域. 【详解】对于，令，则， 所以，即的定义域为. 故答案为： 13. 的展开式中的系数为________． 【答案】10 【解析】 【详解】由二项式定理知，的展开式中的项为，即对应系数为10. 14. 已知，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题核心是角的配凑，将拆成，拆成，利用两角和差正弦公式展开化简，得到与的关系式； 再用正切和角公式，把表示成关于的函数，结合范围确定，换元后用基本不等式求函数最小值. 【详解】； ； 代入可得：， 整理得：. 验证：若，则或，但，故； 若，则，代入上式左边为0，右边为，矛盾，故. 所以，两边同时除以 得. 设 ，，在第二象限，. 代入上式：，正切和角公式：，所以， 整理得：， 所以有，令，所以，则，因为，所以. 所以. 【点睛】三角条件最值，优先考虑配凑角；把目标量转化为单变量函数后，要留意变量正负，负数不能直接套用均值不等式，需要换元转为正数再计算. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多．商家销售商品，既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据： 售价x（元/件） 3 4 5 6 7 日销量y（件） 69 57 54 40 30 （1）由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数） 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：． 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【小问1详解】 由表知，，， ，又， 所以， 所以关于的经验回归方程为； 【小问2详解】 设商家的日利润为元， 则， 该二次函数的对称轴方程为， 所以当售价定为每件6元时，商家可获得的日利润最大． 16. 设函数（，，）且为奇函数． （1）若，求的解析式； （2）在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，先求得，然后结合的值求得，从而求得的解析式. （2）利用换元法，结合函数的单调性求得的最小值，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 因为函数（且）是上的奇函数，则， 即， ，可得，即， 由，得，解得（舍）或， . 【小问2详解】 由（1）得， 在上恒成立， 可转化为：，在上恒成立． ， 令，则在上为增函数，所以， ，所以当时，取得最小值， 所以的取值范围为． 17. 记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． （1）若为的角平分线，，，求的面积； （2）若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线将三角形面积分割为两个小三角形面积之和，建立与的关系，再结合余弦定理建立方程组消去，解出后直接代入面积公式即可； （2）利用中线向量公式将表示为的函数，结合余弦定理和正弦定理消去，转化为关于角的三角函数；再由锐角三角形条件确定角的范围，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 因为是的角平分线，所以． 因为，所以． 因为， 所以，化简得． 又因为，由余弦定理得，所以． 所以，解得． 所以的面积为． 【小问2详解】 由余弦定理，得，即． 因为为边的中线，所以． 所以． 由正弦定理，得， 所以． 所以 ． 因为为锐角三角形，， 所以，解得． 所以． 所以． 所以，即． 18. 已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q. （i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当最小时，求点T的坐标. 【答案】(1) ； （2）（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：. 设PQ的中点为，则 又TF的方程为，则得， 所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程. （2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：化简得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标. 【详解】（1），又. （2）椭圆方程化为. （ⅰ）略 （ⅱ）， 又，所以 . 当时取等号，此时T的坐标为. 【点睛】本题考查了椭圆的方程的求解，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了最值问题的求解方法，属于中档题. 19. 设函数，其中为参数． （1）当时，求的单调区间． （2）求的取值范围，使得对所有实数成立． （3）设，其中为（2）中范围的右端点，记为的两个正实数解，为（2）中定义的正实数（满足）．证明：． （注：） 【答案】（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2） 的范围是，其中，是方程的唯一正实数解. （3） 由（2）得，为的两根，且， 设，， 则， 设，， 则，， 由在恒正且单调递增，在单调递减， 可得在单调递减， 由于则， 所以，， 所以单调递增，单调递增， 则， 所以单调递减，， 则， 而，则， 由于，，在单调递增， 所以，即得证. 【解析】 【分析】（1）求导利用基本不等式判断导数符号； （2）先根据偶函数缩小讨论范围，再分参来解恒成立问题，为了方便求导可以同时取对数，结合零点存在定理，利用隐零点来说明； （3）极值点偏移问题，可以构造差函数来解； 【小问1详解】 当时， ， ， 设，则 ， 根据基本不等式（当且仅当 ，即时取等号）， 所以 ，在上单调递增，在上单调递增， ， 所以当时，，当时，0， 所以的单调递减区间为 ，单调递增区间为. 【小问2详解】 由于，则为偶函数，且成立， 则只需要对于，恒成立，即恒成立， 又由于，，则只需恒成立， 设， 则， 由于在单调递增， 在单调递增，所以在单调递增， ，， 所以存在唯一，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 极小值，由于， 化简可得， 则，， 设，则时，对所有实数成立， 综上：的范围是，其中，是方程的唯一正实数解. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三素质评价（一） 科目：数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3.本试题卷共8页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 祝你考试顺利! 机密★启用前 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ）． A. B. C. D. 3. 下列函数中最小正周期等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 24 B. 18 C. D. 6. 已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在正实数，，使得，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 双曲线的离心率是 B. 若，则的周长为 C. 存在四条不同直线使得 D. 线段的中点坐标可能是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 13. 的展开式中的系数为________． 14. 已知，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多．商家销售商品，既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据： 售价x（元/件） 3 4 5 6 7 日销量y（件） 69 57 54 40 30 （1）由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数） 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：． 16. 设函数（，，）且为奇函数． （1）若，求的解析式； （2）在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 17. 记的内角、、的对边分别为、、，，、为边上的点． （1）若为的角平分线，，，求的面积； （2）若为锐角三角形，为边上的中线，，求的取值范围． 18. 已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q. （i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； （ii）当最小时，求点T的坐标. 19. 设函数，其中为参数． （1）当时，求的单调区间． （2）求的取值范围，使得对所有实数成立． （3）设，其中为（2）中范围的右端点，记为的两个正实数解，为（2）中定义的正实数（满足）．证明：． （注：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $