湖北武汉市第二中学2027届高三上学期九月月考数学试卷

高三数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自已的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|x2-2x<0),B={x1og2x≥0)，则A∩B= A.{x|0<x≤1》 B.(x|0<x<1) C.(x|0<x<2) D.(x|1≤x<2) 19π 2.sin 的值为 B、3 2 c号 n-司 3.已知复数z满足之 十11-i(其中i为虚数单位)，则1z-2il= A.√2 B.2 C./10 D.10 4.函数f(x)=2sin (w>0)在一个周期内的图象如图所示，则w= 12 A号 C.2 D.4 5.已知函数f(x)=1n+2 1 x +1+2,则 A.f(1一x)十2是奇函数 B.f(一x一1)+2是奇函数 C.f(x一1)一2是奇函数 D.f(x十1)一2是奇函数 ②高三数学第1页（共4页） 6.已知tana=一 5,且ae(x,2x),则sin- 1 4.2 B.、213 c.33 D.-313 13 13 13 13 7.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若存在x。使得f(xo)=f'(xo),则称x。是函数y= f(x)的一个“T类点”，则下列函数中，不存在“T类点”的是 A.f(x)=cos x+1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2+1 D.f(x)=In x 8.若直线l与曲线f(x)=ae(a>1),g(x)=e2十a都相切，则直线l斜率的最小值为 A.1 B.e C.e2 D.2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数z1,z2均不为0，则 A.z1-z2=z1一22 B.|z1-z2|=|z1-z2 C.z1·之2=z1·z2 D.|z1·z21=|z1·z2 10.若正实数a,b满足a十b=1,则 A+号的最小值是8 B.√a+√6的最大值是√2 C.(1+a)(1+b)的最大值是9 Da2+26的最小值是号 ln(x+1)+ax,x>0, 11.已知函数f(x)= 其中a∈R,则下列说法正确的有 sinx+ax,x≤0， A.存在实数a使得f(x)为R上的奇函数 B.若f(x)为增函数，则实数a的取值范围为[1，十∞) C.对于任意实数a,f(x)的图象上都存在关于原点对称的点 D.若a<一1，则方程f(x)=t有三个不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12E知0<a<音<0<，若cosa--5os2a= 10,则a+日= 13.不等式2z+21-z>a的解集为R,则实数a的取值范围是 14.已知函数f(x)= *+ 4a>0,a≠1)，x>2, 有最大值，则实数a的最大值是 x,x≤2 ②高三数学第2而（共4面） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=2sin(wx十p) >0,0<9< 的图象过点(0，√2)，且f(x) 在(0，π)内存在最大值，但不存在最小值 (1)求p的值； (2)求w的取值范围； (3)若uez,求函数gx)=fx)f- 图象的对称中心。 16.(15分)已知函数f(x)=lnx+ax-1(a∈R). (1)若a<0,判断函数f(x)的单调性； (2)若a=-1,对任意x∈[1,2]，都有f(z)+1≥b成立，求实数6的最大值. 17.(15分)已知函数f(x)=ax2+(a-1)x+a(a∈R). (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是空集，求实数a的取值范围； (2)当a<0时，解关于x的不等式f(x)≤x十2十a. ②高三数学第3页（共4页） 18.(17分)已知函数f(x)=a-ax"(a>0且a≠1，x>0,n∈N). (1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的值； (2)讨论函数f(x)的零点个数. 19.17分)已知函数f)=tanx-axa∈R,z∈b,引 (1)当a=4时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)+2sinx>0,求实数a的取值范围； (3)证明：sim2z·tamx>x,z∈0，引 ②高三数学第4页（共4页） 高三数学参考答案及评分意见 1.D【解析】由题意，得集合A={.x0<x<2,B={xx≥1，所以A∩B={x1≤x<2.故选D. 2.B1 3.C【解桥】抽克=1-i得=1-：+1-所以=号-12-1-1-i所以：-25- i·(-i) -1-i-2i=-1-3i.所以|：-2i=√/(-1)+(-3)下=√/10.故选C. 4C【解折由函数了x)的图象知，函数x)的最小正周期T-2[铅-()】-x因为>0，所以T-二 π，解得u=2.故选C. 5C【解折因为了)=n中2+，十2.所以了x)的定义城为xr>0或x<一2 令g(x)=f(1一x)+2,则其定义域为(-∞，1)U(3,十∞)，不关于原点对称，故g(.x)=「(1一x)十2不是奇函 数，故A错误. 令g(x)=f(-x一1)+2，则其定义域为（一∞，一1）U(1,+∞)，关于原点对称.g(x)=f(-x一1)十2= 品上+4：因为g(-+)=h+4+h+4=h告+上+h品计 r+l x x+1 x x-x x+1 x 8=8≠0，所以不满足g(一x)=一g(x),所以g(x)=f(-x一1)十2不是奇函数，故B错误。 xD2,其定义域为(-©，DU,+©)，关于原点对称g(x)=了（红D 上g《一=h二一n}-b吉}-g)满是务函数性质：所以g)-c 1 1)一2是奇函数，故C正确. 令g(x)=f(x+1)一2，其定义域为（一∞，-3）U(一1，+∞)，不关于原点对称，故g(x)=f(x+1)一2不是奇 函数，故D错误.故选C 6A【解折】因为ame=号<0，且a∈(，2.所以a∈（经2小所以号∈（小所以sn号>0 设角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，则点P(5,一12)是其终边上一点。 因为0p=13,所以cosa-是所以m号-10e=吉 4213 2 2所以n名=33故选A 7.C【解析】对于A,因为f(x)=cosx+1,x∈R,所以f'(.x)=一sinx,由f(x。)=f'(.xo),得cosx。+1= -sin o,所以sinx。十cos ro=-1.当x。=2kr十r,k∈Z时，sinx。=0,cos o=一1，所以sin ro十cos xo= =xs03+xs都(MgT一=xs03+uIs 1细·0=xs03【一=xs·阳Z今‘十业z=x示1- 一1有解，即函数f(x)=cosx十1存在“T类点” 对于B,因为f(.x)=x2+x,x∈R,所以f'(x)=2.x+1.由f(xa)=f'(xa),得x8十x。=2x。十1，所以x-x。 1=0.因为△=（一1）2-4×1×（一1）>0，所以方程x一x。一1=0有两个不相等的实根，即函数f(.x)=x十x 有两个“T类点” ②高三数学答案第1页（共8页） 对于C,因为f(x)=2十1，x∈R,所以f'(x)=2ln2.由f(xo)=f'(x),得2"+1=2ln2.所以2°= 1 1 1 1-1n2n2因为2>0：n2一<0.所以方程2=n2无解，即函数fx)=2+1无r类点” Tu=()很=x叫批()，=()甲=（)0<=保图C士堡 0,则gc)在(0，十©)上连续且单调递增因为g1)=-1,g(e)=1-。>0.所以gx)只在Qe)内有一个零 点，即函数f(x)=lnx只有一个“P类点”，且位于区间(1，e)内.故选C 8.B【解析】设直线l与曲线f(x)=ae(a>l)切于点(.x1,ae),与曲线g(x)=e+a切于点(x,e十a).求 导得f'(x)=ae,g'(x)=e,所以公切线的斜率k=ae1=e,整理得e=a,所以x一x1=lna①. 曲线y=f(:x)的切线方程为y一ae1=k(x一x1),即y=kx十k(1一x),曲线y=g(x)的切线方程为y (e+a)=k(.x-x2).即y=kx十k(1-x)+a,所以k(1-x1)=k(1-x2)十a,得k(x:-x1)=a②. 由①@，得klna=a,所以k=。a>1.i记a)=aa>1),求导得A'(a)= 令a)=0,解得 a=e.所以当l<a<e时，k'(a)<0,k(a)单调递减；当a>e时，k'(a)>0,k(a)单调递增.所以当a=e时，k(a) 取最小值，即直线1斜率的最小值为。=心故选B 9.ABD【解析】设x1=a+bi,:a=c十di,a,b,c,d∈R,则a2+b2≠0，c+d2≠0. 因为x1-x2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)-(b-d)i, 21-z=a-bi-(c一di)=(a一c)一(b一d)i.所以1-2=&1-，故A正确. 因为l1-x:1=|(a-c)+(b-d)i|=√(a-c)+(b-d)F,|1-2|=|(a-c)+(d-b)i|= √(a-c)+(d-b)下，所以1-x=|1-2,故B正确. 因为1·2=(a+bi)·(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i,之1·&2=(a-bi)·(c+di)=(ac十bd)+(ad-bc)i, 所以x1·2=1·:不一定成立，故C错误. 因为z1·e:=√(ac+bd)+(bc-ad)F,|1·:|=√(ac+bd)+(ad-bc), 所以1·=1·：，故D正确.故选ABD. 10c【对于A+-（+）a+6=10++≥10+2，要=16当且仅当-博6 19_ 3a-时取等号，所以+号的最小值是16，故Λ错误： 对于B,由a十b≤< a+b /1 2 22 ,得，后十6<2，当且仅当a=6=号时取等号，所以，后十，6的最大值是 √2，故B正确： 对于C,(1+a)(1+b)≤ (1+a)+(1+b) 2 [2g十=号，当且仅当1+a=1+6,即a=6=时取等 2 2 号，所以1+a)(1+b)的最大值是，故C正确： ②高三数学答案第2页（共8页） 对于D.a+26=1-6+26=36-2五+1=36-号)厂+号 当6=号时。+26取得最小值号，故D错误故选BC ln(.x+1)+a.x,x>0, 11.BC【解析】因为f(.x)= 所以f(π)+f(-π)=ln(π+1)+aπ+[sin(-x)+ sinx+a.x,x≤0， a(一π)门=ln(π十1)≠0，所以f(π)≠-f(一x),故函数f(x)不为奇函数，故A错误. 当x≤0时，f(x)=sinx十a.x,所以f'(x)=cosx十a. 若f(.x)为增函数，则f'(x)=cosx十a≥0恒成立，所以一1十a≥0，解得a≥1； 当x>0时，f(x)=ln(x+1)+a,所以f'(x)=1 +1十a. 若f(x)为增函数，则了'c)三，+a≥0恒成立，所以0+a≥0，解得a≥ 综上，a≥1.当a≥1时，f(0)=0,当x>0时，f(x)=ln(.x十1)十a.x>0,满足f(x)为增函数，所以实数a的取 值范围为[1，十∞)，故B正确. 当x>0时，令g(x)=f(.x)+f(-x)=ln(x+1)+a.x十sin(-x)+a(-x)=ln(x+1)-sinx, 因为8（经）=1n2+11<0,g(x)=ln(x+1)>0.所以函数g（x)在0，+∞)内存在零点，即方程x)= 一f(一x)在(0，十∞)内有根，所以对任意实数a,f(x)的图象上都存在关于原点对称的点，故C正确. 当x≤0时，f(x)=sinx十a.x,所以f'(x)=cosx十a.若a<-l.则f'(.x)=cos.x十a<1-1=0恒成立，所以 函数f(.x)在（一∞，0]上单调递减，则f(.x)≥f(0)=0.因为当x→一∞时，f(x)→+∞，所以函数f(x)在 (一∞，0]上的值域为[0，十∞). 当x>0时fx)=lnx+l)+ax,所以f'(x)=x+十a.若a<-1,则f'(x)=r+市+a<1-1=0恒成 立，所以函数f(.x)在(0，十∞)上单调递减.因为当x→0时，f(.x)→0，当x→十o∞时，f(x)→一∞，所以函数 f(x)在(0，十∞)上的值域为(-o∞，0). 综上，函数f(.x)在定义域R上单调递减，且值域为R,所以方程f(x)=t有且仅有1个实数根，故D错误故 选BC. 【得折1h0。<营B<omsa-5ms2a-得-营<a-00<a<号音a+要 3π 10 10 又因为受<a十B<经，所以a十月-3不 4 13.(-∞，22)【解析】由题意，得对任意x∈R,不等式2十21->a恒成立.2>0，.2十2=2 2 ②高三数学答案第3页（共8页） 2区，当且仅当2=号，即=2时取等号.所以a<2,即实数a的取值范围是(-，2②. 1 a'+4 (a>0,a≠1)，x>2, 14.2 【解析】因为f(x) x,x≤2， 所以当x≤2时，f(x)=x在（一o∞，2）上单调递增，函数f(x)的最大值为2： 当x>2时，f(x)=a+4 若a>1,则fx)在(2，十)上单调适增，且x)>1+子>2，所以函数f)不存在最大值。 若0<a<1.则fx)在2，+)上单调造减.且子<)<a+子 因为函数fx)有最大值，所以。2+子≤2，解得0<a<?所以实数a的最大值是号 15.解：(1)因为f(x)=2sin(.x+e),f(0)=√2， 所以sinp √2 …2分 2 因为0<9<受，所以9= …3分 4 (2)由1)得fx)=2 2sinwr+】 由0Kx<,w>0,得<r+<+ 4 …5分 因为f(x)在(0，π)内存在最大值，但不存在最小值 所以由正弦函数的图象，得< 2wπ+T3x 42 …7分 解得<< -5 所以正数。的取值范围为仔，引 …8分 (3)由u∈Z,及(2)得w=1,则f(x)=2sinx+4 …9分 所以gc-fc·f(-}4n(+·sm=4nr侵nx+号os 2 2(sin'in in2 ∈瓦(sin2x=0s2x)+2=28im2x-十2……11 令2红一开=x,k∈乙解得x- 无土k毛乙…12分 2 所以两数)图象的对称中心为经+行)-k∈工 ……………13分 ②高三数学答案第4页（共8页） 16.解：(1)因为f(x)=lnx十a.x-1,x>0, …………1分 所以f)=+a-r …2分 令f'(x)=0,解得x=-1 a* …3分 因为a<0,所以当0<x<-号时，fa)>0f(x)单调递增： …4分 当x>-时f(x)<0fx)单调递减.… …5分 所以了)在区间0.一上单调，在区间(十小上单调通减.…6分 (2)若a=-1,则f(x)=lnx-x-1. …7分 1 g(x)=f()+=n -+ ∠0 …………9分 所以g(x)在区间[1.2]上单调递减.… …11分 因为对任意x∈[1,2]，都有f(x)+1≥b成立 7 所以b≤g(.x)mmx∈[1,2].… ……13分 所以6≤g)=g2)=h2-2+号-1=ln2- 5 所以实数6的最大值为n2-多15分 17.解：(1)当a=0时，f(x)=一x,解f(x)>0,得x<0,解集不是空集，故舍去.…2分 当a≠0时，要使f(x)=a.x2十(a一1)x十a>0的解集为空集，必须满足函数f(x)的图象开口向下且与x轴 最多有一个交点，………4分 即a<0,△=(a-1)2-4a2≤0，即4=-3a2-2a十1≤0，解得a≤-1.…6分 综上，实数a的取值范围是（一∞，一1门.… …………7分 (2)由题意，得f(x)≤a+2+x,即f(x)-a-2-x≤0，整理得a.x2+(a-2)x-2≤0，即(a.x-2)(x+1)≤0. …9分 因为a<0.所以(e-}x+1≥0， 当-1<名，即a<-2时，不等式的解集为(-，一1U[忌+月 …12分 当-1=2，即4=一2时，不等式的解集为R:… …13分 a <0时不等式的解集为。，2门1，十.………一 ②高三数学答案第5页（共8页） 综上，当a<-2时，不等式的解集为(-©，-1U[名，十：当a=-2时，不等式的解集为R: 当-2<a<0时，不等式的解集为-,号]U[-1,十o∞.… ………15分 18.解：(1)因为f(x)=a一ax",所以f(x)≥0恒成立，即a≥a.x“恒成立. 两边取自然对数，得xlna≥lna十nlnx, 所以xlna一nlnx一lna≥0恒成立. …2分 令g(x)=xlna-nlnx-lna,则g(x)≥0恒成立. 求导，得g'(x)=na-” 因为n∈N”,所以g'(x)在(0，十0∞)上单调递增.…3分 当0<a<1时，lna-”<0在(0，十o∞)上恒成立，即g'(x)<0在(0，十∞)上恒成立， x 所以g(x)在(0，十∞)上单调递减。……………4分 因为g(1)=lna-nln1-lna=0, 所以当x∈(1，十0∞)时，g(x)<0,不符合题意.……5分 当a>1时，令g'(x)=0,解得x=na 则当xea时g)0.当xe(a+时gx>0 故)在0，a)上单调递减，在（品。+e上单调递增， 所以gx≥a】 …7分 因为g1)=0.所以要使得gx)≥0恒成立，必有。=1， 解得a=e.即实数a的值为，…………………8分 (2)由(1)知，函数f(x)的零点个数等价于函数g(x)=xlna一nlnx一lna的零点个数. 由(1)知.当0<a<1时，g(x)在(0，十o∞)上单调递减， 且g(1)=0,所以f(x)的零点个数为1.………11分 当a>1时，gx)在0，a)上单调递减，在(。+e上单调递增。 若a=e”,有且仅有g(1)=0,故f(x)的零点个数为1.…12分 若1<a<e,则。>1，由g1)=0,得g品a <0 又当一+时，8+，故存在，∈(。+使得g红，)=0 此时g(x)有两个零点1和x1,故∫(x)的零点个数为2.…14分 ②高三数学答案第6页（共8页） 若a>e.则0<。<1，由g=0,得(a0, 又当0时，g)叶e,故存在∈0，a使得g,)-0 此时g(x)有两个零点x2和1，即f(x)的零点个数为2.… …16分 综上，当0<a<1或a=e时，函数f(x)的零点个数为1： 当a>1且a≠e”时，函数f(x)的零点个数为2.…17分 1.1)解：当a=4时fr)=1am-4红-0-4r∈0，} cos x 则）三小，1分 cosx 令f'(x)=0,得cosx= 1 因为z∈0，)，所以osx=2解得x=子 …2分 当0<r<号时，as>号，则n<4,即f1<0. 1 cos'x 所以f)在0，上单调递减.。 …3分 当<<受时，sr<则oz>4,即)>0 1 1 听以f(x)在了，2上单调递增，…………分 所以函数f(x)的单调递减区间为0，引，单调递增区间为（行·》 …5分 (2解：因为x)=tamx-ae0,引 所以f(x)十2sinx>0.即tanx-a.x十2sinx>0.…6分 设gx)=am-ar+2nre[0,}则gx) c0sza+2c0s.…7分 若a>3,则g'(0)=3-a<0, 故存在，∈(0，》使得vxE0g')<0. 所以g(x)在(0，x。)上单调递减， 所以Vx∈(0，xa),总有g(x)<g(0)=0,矛盾. 所以a≤3.…9分 当a≤3时，tanx-a.x+2sinx≥tanx-3.x+2sinx. 设Ax)=anr-3x+2nx,r∈[0，} 则h'(x)=- cos-3+2cos x. ②高三数学答案第7页（共8页） 令m)=h.则m)-2-2m=2n(一小>0在0）上恒成立. cos'r 所以mc)博')在0，)上单周递增。 所以h'(x)≥h'(0)=0,… …11分 所以Ax)在[0，上单调递增， 所以当x∈0,2}时，Ax)>h(0)=0.即tanx-3x+2sinx>0. 所以tanx-a.x十2sinx>0,即原不等式成立. 综上，实数以的取值范围是（一0∞，3].……12分 8证明：令a)=n-x∈o引 则n'(.x)=2 sin xcos xtan x+tan2x-3x2=2sin2x十tan2x-3x2.…13分 由(2)知，当a=3时，tanx十2sinx>3.x,所以tan2x>(3.x-2sinx)2. n'(x )=2sin'r +tan'r-3r2>2sin'r+(3x-2sin x)2-3x =6sin'r-12x sin x+6x2=6(sin r-x)>0. 所以n(x)在0,7上单调递增.………产 …15分 因为当x=0时.sintan-x=0.所以当x∈（0，受)时，nx)>0, …17分 ②高三数学答案第8页（共8页）