12.4.3 角平分线 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质定理、逆定理及应用，通过“建加油站到三条公路距离相等”的生活问题导入，衔接全等三角形知识，以“猜想-证明-应用”为支架，引导学生从直观探究到严谨论证，构建完整知识脉络。 其亮点在于以现实问题培养数学眼光，通过对折测量猜想、表格对比条件结论发展数学思维，规范几何语言表达。如性质定理从探究到证明，逆定理用表格明晰逻辑，助力学生提升推理能力和应用意识，教师可借助结构化流程高效教学。

第十二章 全等三角形 12.4 逆命题和逆定理 3.角平分线 数学华东师大版八年级上册 1.熟练掌握角平分线的性质定理及逆定理； 2.能运用角平分线的性质定理及逆定理进行证明或计算； 3.体会直观猜想需严谨证明，培养严谨细致的数学态度； 4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力. 现有如图所示的三条公路l1、l2、l3，要想在三条公路围成的区域内建一个加油站，使它到每条公路的距离都相等.能找到这个位置吗？ 导入新课 3 活动一：角平分线的性质定理 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E. M 思考：(1)将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？ P1 P1M=P1N PD与PE完全重合. (2)换个点试试，作P1M⊥OA，P1N⊥OB，量一量P1M、P1N的长，你又发现了什么？ A O B C P D E N 任务一：角平分线的性质定理 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E .将∠AOB沿OC对折，能发现PD与PE有怎样的关系？ PD＝PE . 高效课堂 5 M P1 N 思考：(3)通过刚才的探究与测量，你有什么猜想？ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等． 活动一：角平分线的性质定理 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E. A O B C P D E 如何验证这个猜想呢？ 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.求证：PD=PE. 分析：要得到PD=PE. Rt△PDO≌Rt△PEO ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP=OP 活动一：角平分线的性质定理 A O B C P D E 请写出完整的证明过程. 证明 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC. 在△PDO和△PEO中， ∠AOC＝∠BOC，∠PDO＝∠PEO，OP＝OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)， ∴PD＝PE. 根据上面的证明过程，能总结出怎样的结论？ 高效课堂 8 活动一：角平分线的性质定理 证明：∵OC平分∠AOB，P是OC上一点， ∴∠DOP =∠EOP. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠ODP =∠OEP=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP=OP， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (AAS). ∴PD=PE. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.求证：PD=PE. A O B C P D E 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： 如图，∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE. 角平分线的性质的应用一定要同时满足两个条件：一是有角平分线上的点；二是点到角两边的距离(垂线段)，才有结论距离相等. 高效课堂 10 总结 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB. ∴PD=PE. 活动一：角平分线的性质定理 A O B C P D E 应用所具备的条件： ①角的平分线；②点在该平分线上；③垂直距离. 例 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD.求证：∠B＝∠C. 证明 ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF . 在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL). ∴∠B＝∠C. 高效课堂 12 活动二：性质定理的逆定理 探索：这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条件 结论 性质定理 逆命题 思考：这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 活动二：性质定理的逆定理 逆命题：如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上. 分析：作射线OQ，然后证明∠AOQ和∠BOQ所在的Rt△QDO和Rt△QEO全等. A O B Q D E 任务二：角平分线的判定定理 角平分线的性质定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果？ 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 写出该性质定理与它的逆命题的条件和结论，想想看，其逆命题是否是一个真命题？ 高效课堂 15 性质定理的逆命题是真命题. 高效课堂 16 活动二：性质定理的逆定理 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上. 证明：如图，过点O、Q作射线OQ. ∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO=∠QEO=90°. 在Rt△QDO和Rt△QEO中， ∵OQ=OQ，QD=QE， ∴Rt△QDO≌Rt△QEO(HL). ∴∠DOQ=∠EOQ，∴点Q在∠AOB的平分线上. A O B Q D E 总结 角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上. 活动二：性质定理的逆定理 作用：判断一个点是否在角平分线上. A O B Q D E 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD＝QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上. 为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ，从而得到∠AOQ＝∠BOQ. 高效课堂 19 证明 如图，过点O、Q作射线OQ. ∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO＝∠QEO＝90°. 在Rt△QDO和Rt△QEO中，∵OQ＝OQ，QD＝QE， ∴Rt△QDO≌Rt△QEO(HL). ∴∠DOQ＝∠EOQ(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上. 高效课堂 20 探究：利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等． 思考：怎样证明这个结论呢？ 分析：只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了. 活动三：性质定理与性质定理的逆定理的应用 A B C F D E O A B C F D E O I G H AO是∠BAC的平分线 BO是∠ABC的平分线 OI＝OH OG＝OI OG＝OH 点O在∠BCA的平分线上 试试看，现在你会证明了吗？ 活动三：性质定理与性质定理的逆定理的应用 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 这两条定理互为逆定理，根据这两条定理，就能证明：三角形的三条角平分线交于一点. 证明“三角形的三条角平分线交于一点”这一定理. 高效课堂 23 已知：如图所示，AD、BE分别是△ABC中∠BAC与∠ABC的平分线，AD、BE相交于点O. 求证：∠ACB的平分线也过点O. 分析 要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了. 高效课堂 24 证明：过点O作OI⊥AB，OH⊥AC， OG⊥BC，垂足分别为点I、H、G. ∵AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OI⊥AB，OH⊥AC， ∴OI=OH，同理OI=OG，∴OH=OG. ∴点O在∠BAC的平分线上. A B C F D E O I G H 结论：三角形三条角平分线交于一点． 活动三：性质定理与性质定理的逆定理的应用 课堂评价 B 点拨 如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵∠C＝90°，∴DC⊥AC. ∵AD是 Rt△ABC的角平分线，DE⊥AB，DC＝3， ∴DE＝DC＝3，即点D到AB的距离为3. 26 2.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上. A B C D E F 证明：过点F作FG⊥AE，FH⊥BC， FI⊥AD，垂足分别为点G、H、I. ∵点F在∠BCE的平分线上(已知)，FG⊥AE，FH⊥BC， ∴FG=FH(角平分线上的点到角两边的距离相等). 同理FI=FH，∴FG=FI(等量代换). ∴点F在∠DAE的平分线上 (角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上). 教材 练习 G H I 3.如图，∠ABD=∠CBD，DA⊥BA，DC⊥BC. 求证：∠DAC=∠DCA. 证明：∵DA⊥BA，DC⊥BC，∴∠BAD=∠BCD=90°. 在△BAD和△BCD中， ∵∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠CBD，BD=BD， ∴△BAD≌△BCD(AAS). ∴AD=CD(全等三角形的对应边相等). ∴∠DAC=∠DCA(等边对等角). 教材 练习 4.(1)三角形的一个　 　和对边相交，顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．  　角的平分线　 (2)如图，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠DAC＝   　∠BAC．  A．∠1＝∠BAC　 B．∠1＝∠ABC C．∠1＝∠BAC　 D．∠1＝∠ABC　 5．如图，AD是△ABC的角平分线，则( ) A 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB. ∴PD=PE. 角平分线 性质的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上 $