专题11圆的有关性质知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题11圆的有关性质知题通关讲义 知识点 01 基础相关概念 1.弦、直径、弦心距 弦：连接圆上任意两点的线段； 直径：经过圆心的弦，是圆内最长的弦； 弦心距：圆心到一条弦的垂线段的长度。 2.圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 3.弧的度数 圆心角的度数 = 它所对弧的度数；1° 圆心角对应 1° 的弧。 2. 圆心角与圆周角对比表 知识点02:垂径定理及推论（核心，勾股模型必记） 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.拓展 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 由此可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称 “知二推三”。 3.垂径定理五大条件（知二推三） 一条直线只要满足下面任意两条，就能推出剩余三条： ① 过圆心（直径 / 半径）；② 垂直于弦；③ 平分弦；④ 平分弦所对劣弧；⑤ 平分弦所对优弧 ⚠️ 重要限制：当条件为「过圆心 + 平分弦」时，这条弦不能是直径，否则推论不成立。 知识点 03： 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：(1) 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 (2) 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 补充说明（便于课堂理解） （1）前提强调：所有 “知一推二” 的结论，必须在同圆或等圆中才成立，不同半径的圆不适用。 （2）弧的对应：比较弧时，必须是同类型弧（同为优弧或同为劣弧），不能将优弧与劣弧直接比较。 （3）记忆口诀：同圆等圆中，角等 ⇔ 弧等 ⇔ 弦等，知其一，得其二。 知识点04：圆周角定理及推论（考试高频大题考点） 1. 圆周角定义 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫圆周角。 判定两点：顶点在圆周；两边都和圆相交。 2. 圆周角定理 知识点05：圆内接四边形 知识点06：清晰区分三类角 1. 应用垂径定理，未保证直线经过圆心 提醒：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；只有过圆心的直线垂直于弦，才具备平分弦、平分对应弧的性质；普通弦的垂线不满足该结论。 2. 由弦被直径平分，直接判定二者互相垂直 提醒：平分弦（该弦不能为直径）的直径垂直于弦；两条直径必然互相平分，但不一定垂直，不可省略“弦非直径”这一限定。 3. 垂径定理计算，直接使用整弦长代入勾股关系 提醒：作圆心到弦的垂线，可构造直角三角形：半径为斜边，两条直角边分别为半弦长、弦心距；必须用半弦长运算，不可直接代入整条弦长。 4. 由弦长相等，直接判定所对的弧相等 提醒：只有在同圆或等圆中，相等的弦才有对应等量关系；且一条弦对应劣弧、优弧两段弧，不能仅依据弦长相等就确定弧相等。 5. 忽略同圆或等圆前提，由圆心角相等推出弧、弦相等 提醒：圆心角、弧、弦、弦心距的等量可以互推，但必须以同圆或等圆为前提；半径不等的圆中，相等圆心角对应的弧、弦不一定相等。 6. 省略同弧或等弧条件，直接给出圆周角等于圆心角一半 提醒：只有同弧或等弧所对的圆周角，才等于这条弧所对圆心角的一半；弧不同时，该数量关系不成立。 7. 认为一条弦只对应唯一一个圆周角 提醒：一条弦对应两段弧；位于两段弧上的圆周角大小不等、互为补角，并非全部相等。 8. 见到直角斜边，直接认定斜边为圆的直径 提醒：90°的圆周角所对的弦是直径，前提是三个顶点都在圆上；普通直角三角形的斜边不能直接当作某圆的直径。 9. 认为直径所对的任意角均为直角 提醒：直径所对的角，仅当顶点落在圆周上时才是直角；顶点在圆内、圆外、直径端点时，该角不等于90°。 10. 仅凭一组角相等直接判定四点共圆 提醒：利用圆周角判定四点共圆，要求两角在公共弦同侧且相等；若两角位于公共弦两侧，则两角互补，不能由此判定四点共圆。 11. 记混圆内接四边形性质，误认为对角相等 提醒：圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角，不存在“对角相等”的一般结论。 12. 计算弦对应的圆周角，只取劣弧对应的单解 提醒：一条弦对应两段弧，可以得到两个互补的圆周角；在无额外限制时，需要写出两组解，不可只保留一个数值。 题型 考察方向 难度 题型一 利用垂径定理求值 ★ 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 ★★ 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 ★★ 题型四 利用垂径定理求解其他问题 ★★ 题型五 垂径定理的推论 ★★ 题型六 垂径定理的实际应用 ★★★ 题型七 圆心角概念辨析及简单运算 ★ 题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求解 ★★ 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求证 ★★★ 题型十 求圆弧的度数 ★★ 题型十一 圆周角的概念辨析及简单运算 ★ 题型十二 圆周角定理 ★★ 题型十三 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★ 题型十四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ★★ 题型十五 90 度的圆周角所对的弦是直径 ★★ 题型十六 已知圆内接四边形求角度 ★★★ 题型十七 求四边形外接圆的直径 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 利用垂径定理求值 1．如图， 是的弦，半径 于点 ．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴． 2．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 3．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，延长交于点T，设的半径为r，证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【详解】解：连接，延长交于点T，设的半径为r， ∵C为优弧的中点， ∴， 由垂径定理得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据， ∴ 解得． 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 4．设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为___________． 【答案】17或7/7或17 【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， ∵ABCD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， 由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5， 在Rt△CEO中，OE==12； 同理，OF==5， 故EF=OE﹣OF=12﹣5=7； ②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， 同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 5．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况． 6．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 7．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______． 【答案】 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 8．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 9．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 题型四 利用垂径定理求解其他问题 10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（　　） ①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】已知直径AB垂直于弦CD，那么可根据垂径定理来判断所给出的结论是否正确． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴CE=DE，；故①③正确； ∴∠CAB=∠DAB；故④正确 由于没有条件能够证明BE=OE，故②不一定成立； 所以一定正确的结论是①③④； 故选：B． 【点睛】此题主要考查的是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，掌握垂径定理是解题的关键． 11．如图，，于点E，若的半径为3，则的长为____________    【答案】 【分析】根据垂径定理可以得到，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到，从而可以得到，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接，，作于点N，作于点M， ∴，， 又， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12．如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确理解和应用垂径定理是解题的关键． 由是的直径，是弦，，根据垂径定理得，可判断不符合题意；连接、，因为垂直平分，而但不一定平分，所以，而与不一定相等，可判断B符合题意，不符合题意；由、都是的半径，得，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径，是弦，， ， 故A不符合题意； 连接、， 垂直平分，而但不一定平分， ，而与不一定相等， 故B符合题意，不符合题意； 、都是的半径， ， 故C不符合题意， 故选：B． 题型五 垂径定理的推论 13．如图，的直径与弦交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，在5个条件中：①1平分弦所对的一条弧，②平分弦所对的另一条弧，③平分弦，④垂直于弦，⑤经过圆心(或者说直径)，只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论． 【详解】解：∵为的中点，的直径与弦交于点， ∴，，，故A，C，D 正确； 无法说明． 故选B． 14．如图，已知平面直角坐标系中，、、，写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标________． 【答案】 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形的性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 故圆心为， 故答案为：． 15．如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，令的交点为，先求出，再利用垂径定理及三角形内角和定理得到，最后求出等腰三角形的底角的度数即可. 【详解】解：连接， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴即：， ∴， ∵， ∴. 题型六 垂径定理的实际应用 16．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ）． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，已知，球的半径为，可得的长度，结合勾股定理，可得的长度，最终得的长度． 【详解】解：连接，如下图： ∵，球的半径为， ∴，，由题意可得，结合垂径定理，点为的中点， 结合勾股定理得， 则， 故选：C． 17．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 18．如图是一条高速公路隧道的横截面，其形状是以为圆心的圆的一部分，圆的半径，高，则路面宽的长为（  ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，关键是利用垂径定理得出被垂直平分，进而构造直角三角形求解弦长．首先根据圆的半径和隧道高度求出圆心到路面的距离，再在直角三角形中运用勾股定理求出弦长的一半，最后计算出路面宽的长度． 【详解】解：由题意可知，于点，根据垂径定理，垂直平分，即，且圆心在上． ，， ； 在中，由勾股定理得：； ； 故选：D． 题型七 圆心角概念辨析及简单运算 19．下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 20．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 21．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求解 22．如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系，熟练掌握关系和定理是解题的关键． 先根据点是的中点，推出，再运用圆的性质和三角形的内角和性质求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ， ， ． 故选：D． 23．如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， 又∵点是的中点， ∴是整圆的，即， ∴， ∵， ∴． 24．某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形内接于，．若，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先取 的中点 ，利用弧长关系得出 ，然后通过垂径定理和勾股定理建立关于半径的方程求解即可． 【详解】解： 如图，取 的中点 ，连接 ， ． ， ， ． 过点 作 于点 ，连接 ， ，且 ，， 三点共线 ． 在 中，． 设 的半径为 ，则 ， ， 在 中，， 解得 ． 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求证 25．如图：，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，如图，取的中点E，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 26．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为___________． 【答案】13 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理，根据D是的中点，得到，三线合一，得到，，设半径为，在中，利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的一部分，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 27．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型十 求圆弧的度数 28．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 29．在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理逆定理求出圆心角的度数，再分劣弧和优弧两种情况计算弧的度数． 【详解】解：根据题意画出图形，如下图所示， ，， ， ， 由勾股定理逆定理，可得是直角三角形，． 一条弦对应两条弧，弧的度数等于它所对圆心角的度数， 当弦对劣弧时，劣弧的度数为；当弦对优弧时，优弧的度数为， 该弦所对的弧的度数为或． 30．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 题型十一 圆周角的概念辨析及简单运算 31．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、C、D中的角不是圆周角，选项B中的角是圆周角． 32．如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 33．如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 题型十二 圆周角定理 34．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 35．如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵点是的外心，， ∴． 36．如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上， ∴， ∴. 37．如图，是的直径，，是上的点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，结合已知条件求出的度数，再利用圆周角定理求解 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与分别是弧所对的圆心角和圆周角， ∴． 题型十三 同弧或等弧所对的圆周角相等 38．如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 39．如图，为的直径，，则的度数为____________． 【答案】/62度 【分析】先利用等弧所对的弦的性质得出垂直平分，再结合圆周角定理和直角三角形的角度关系求解的度数． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 40．如图，四边形内接于，，连接和．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据，得出，再得出，求出圆心角的度数，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 41．如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可． 【详解】解：是的直径，点在上， ， ， ． 42．如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，利用三角形内角和求出 的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 43．如图，是的直径，是的弦，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】已知是的直径，根据圆周角定理，可立即得．又已知，根据“同弧所对的圆周角相等”，可知．在中，利用三角形内角和可求出．此时，是一个含角的特殊直角三角形，已知斜边，根据“角所对的直角边等于斜边的一半”，即可直接求出的长度． 【详解】解：是的直径，点在上， ∴． ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 已知， ∴． 在中，， ∴． 已知斜边， 在含角的中，角（）所对的直角边等于斜边的一半， 即． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理（直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等）、含角的直角三角形的性质．解题的关键是正确应用“直径所对的圆周角是”和“同弧所对的圆周角相等”这两个定理，识别出中含角． 题型十五 90 度的圆周角所对的弦是直径 44．如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，即可解答． 【详解】解：利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据的圆周角所对的弦是直径， 故选：B． 45．如图，四边形内接于，，的半径是，连接，则弦长为______． 【答案】2 【分析】连接，先证明是直径，根据圆周角定理求出的度数，判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∴是直径． ， ． 的半径是， ． 在中，由勾股定理得： ． 46．如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， ∵优弧所对圆周角为， ∴， 又∵点为弧的中点， ∴， ∴． 题型十六 已知圆内接四边形求角度 47．四边形内接于，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 48．如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 【答案】 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， ． 49．如图，是的直径，，若是上一动点（不与，重合），则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，理解圆周角定理是解题的关键．先求出，再分情况讨论：点在劣弧上或点在优弧上，根据每种情况进行求解． 【详解】解：是的直径， ，， ， 点是上一动点， 分情况讨论：点在劣弧上或点在优弧上， 当点在优弧上时， ； 当点在劣弧上时，如图，在优弧取一点，连接， ． 综上，的度数为或. 故选：D． 题型十七 求四边形外接圆的直径 50．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 51．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 52．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 解答题 1．如图，，是的两条弦． (1)如果，那么_____________，_____________． (2)如果，那么_____________，_____________． (3)如果，那么_____________，_____________． (4)如果，，，垂足分别为E，F，与相等吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)与相等．理由如下： ∵于点E，于点F， ∴，， 而， ∴， ∵， ∴ ∴． 【分析】（1）、（2）、（3）利用圆心角、弧、弦的关系直接求解； （4）先利用垂径定理得到，，而，则，证明，得出． 【详解】（1）解：如果，那么；； （2）解：如果，那么；； （3）解：如果，那么；； （4）略 2．如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：连接，如图 ，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， ，，垂足分别为，， ，， ， ，，， ， 四边形是正方形． 【分析】先由垂直条件证明四边形为矩形，再利用等弧对等弦及已知得出，再结合垂径定理以及勾股定理得到弦心距，最后根据“一组邻边相等的矩形是正方形”得证． 【详解】略 3．如图，四边形是的内接四边形，为直径，且，垂足为E． (1)若，求四边形其余各角的大小； (2)若，，求，的长． 【答案】(1)；； (2)， 【分析】(1)利用圆内接四边形的对角互补、直径所对的圆周角是直角即可得到答案； (2)利用垂径定理、勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ； （2）解：连结， 是直径，， ， 直径， ， 在直角中，由勾股定理可得： ， ， ． 4．如图，，是的外接圆上一点，且．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作出外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，交于点，你能发现什么结论，写出一条你发现的结论，并证明． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)解：如下图所示，连接并延长，交于点，即为的直径， 发现：直径， 证明：如下图所示，连接， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， （答案不唯一）． 【分析】（1）分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接交于点，点即为的外接圆圆心； （2）连接并延长，交于点，即为的直径，发现：直径，根据，，可知是的垂直平分线，根据平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，可证． 【详解】（1）略 （2）略 5．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 6．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 7．如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵，点G恰好是的中点 ∴ ∴， ∴； (2)2 【分析】（1）根据同角的余角相等以及直角三角形斜边中线的性质证明即可； （2）连接，连接并延长交于点，先得到，再由垂径定理的推论得到，利用三线合一得到，设，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴ ∵经过圆心， ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴． 8．如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，，，D是y轴上的一个动点，（A、D、C按顺时针方向排列），与经过A、B、D三点的交于点E，、交于F，平分，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若交y轴于点G，如图②，请直接写出的值是_______． 【答案】(1) 证明：∵，平分 ∴ ∵ ∴ ∴ (2) 证明：∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵四点共圆 ∴ 又∵ ∴ 由（1）知， ∴ ∴ (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质，继而同弧所对的圆周角相等可知，即可求得结论； （2）根据垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由四点共圆可得，再证即可求解， （3）过点作于，过点作于，可得，可证，可得，再证为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点作于，过点作于 ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴ 而 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查圆的综合题、圆的有关性质、等腰直角三角的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识点，综合性较强． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11圆的有关性质知题通关讲义 知识点 01 基础相关概念 1.弦、直径、弦心距 弦：连接圆上任意两点的线段； 直径：经过圆心的弦，是圆内最长的弦； 弦心距：圆心到一条弦的垂线段的长度。 2.圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 3.弧的度数 圆心角的度数 = 它所对弧的度数；1° 圆心角对应 1° 的弧。 2. 圆心角与圆周角对比表 知识点02:垂径定理及推论（核心，勾股模型必记） 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.拓展 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 由此可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称 “知二推三”。 3.垂径定理五大条件（知二推三） 一条直线只要满足下面任意两条，就能推出剩余三条： ① 过圆心（直径 / 半径）；② 垂直于弦；③ 平分弦；④ 平分弦所对劣弧；⑤ 平分弦所对优弧 ⚠️ 重要限制：当条件为「过圆心 + 平分弦」时，这条弦不能是直径，否则推论不成立。 知识点 03： 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：(1) 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 (2) 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 补充说明（便于课堂理解） （1）前提强调：所有 “知一推二” 的结论，必须在同圆或等圆中才成立，不同半径的圆不适用。 （2）弧的对应：比较弧时，必须是同类型弧（同为优弧或同为劣弧），不能将优弧与劣弧直接比较。 （3）记忆口诀：同圆等圆中，角等 ⇔ 弧等 ⇔ 弦等，知其一，得其二。 知识点04：圆周角定理及推论（考试高频大题考点） 1. 圆周角定义 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫圆周角。 判定两点：顶点在圆周；两边都和圆相交。 2. 圆周角定理 知识点05：圆内接四边形 知识点06：清晰区分三类角 1. 应用垂径定理，未保证直线经过圆心 提醒：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；只有过圆心的直线垂直于弦，才具备平分弦、平分对应弧的性质；普通弦的垂线不满足该结论。 2. 由弦被直径平分，直接判定二者互相垂直 提醒：平分弦（该弦不能为直径）的直径垂直于弦；两条直径必然互相平分，但不一定垂直，不可省略“弦非直径”这一限定。 3. 垂径定理计算，直接使用整弦长代入勾股关系 提醒：作圆心到弦的垂线，可构造直角三角形：半径为斜边，两条直角边分别为半弦长、弦心距；必须用半弦长运算，不可直接代入整条弦长。 4. 由弦长相等，直接判定所对的弧相等 提醒：只有在同圆或等圆中，相等的弦才有对应等量关系；且一条弦对应劣弧、优弧两段弧，不能仅依据弦长相等就确定弧相等。 5. 忽略同圆或等圆前提，由圆心角相等推出弧、弦相等 提醒：圆心角、弧、弦、弦心距的等量可以互推，但必须以同圆或等圆为前提；半径不等的圆中，相等圆心角对应的弧、弦不一定相等。 6. 省略同弧或等弧条件，直接给出圆周角等于圆心角一半 提醒：只有同弧或等弧所对的圆周角，才等于这条弧所对圆心角的一半；弧不同时，该数量关系不成立。 7. 认为一条弦只对应唯一一个圆周角 提醒：一条弦对应两段弧；位于两段弧上的圆周角大小不等、互为补角，并非全部相等。 8. 见到直角斜边，直接认定斜边为圆的直径 提醒：90°的圆周角所对的弦是直径，前提是三个顶点都在圆上；普通直角三角形的斜边不能直接当作某圆的直径。 9. 认为直径所对的任意角均为直角 提醒：直径所对的角，仅当顶点落在圆周上时才是直角；顶点在圆内、圆外、直径端点时，该角不等于90°。 10. 仅凭一组角相等直接判定四点共圆 提醒：利用圆周角判定四点共圆，要求两角在公共弦同侧且相等；若两角位于公共弦两侧，则两角互补，不能由此判定四点共圆。 11. 记混圆内接四边形性质，误认为对角相等 提醒：圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角，不存在“对角相等”的一般结论。 12. 计算弦对应的圆周角，只取劣弧对应的单解 提醒：一条弦对应两段弧，可以得到两个互补的圆周角；在无额外限制时，需要写出两组解，不可只保留一个数值。 题型 考察方向 难度 题型一 利用垂径定理求值 ★ 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 ★★ 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 ★★ 题型四 利用垂径定理求解其他问题 ★★ 题型五 垂径定理的推论 ★★ 题型六 垂径定理的实际应用 ★★★ 题型七 圆心角概念辨析及简单运算 ★ 题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求解 ★★ 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求证 ★★★ 题型十 求圆弧的度数 ★★ 题型十一 圆周角的概念辨析及简单运算 ★ 题型十二 圆周角定理 ★★ 题型十三 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★ 题型十四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ★★ 题型十五 90 度的圆周角所对的弦是直径 ★★ 题型十六 已知圆内接四边形求角度 ★★★ 题型十七 求四边形外接圆的直径 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 利用垂径定理求值 1．如图， 是的弦，半径 于点 ．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 3．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 4．设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为___________． 5．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 6．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 7．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______． 8．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 9．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 题型四 利用垂径定理求解其他问题 10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（　　） ①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．如图，，于点E，若的半径为3，则的长为____________    12．如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 题型五 垂径定理的推论 13．如图，的直径与弦交于点，若为的中点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，已知平面直角坐标系中，、、，写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标________． 15．如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型六 垂径定理的实际应用 16．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ）． A．6 B．7 C．8 D．9 ∵，球的半径为， ∴，，由题意可得，结合垂径定理，点为的中点， 结合勾股定理得， 则， 故选：C． 17．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 18．如图是一条高速公路隧道的横截面，其形状是以为圆心的圆的一部分，圆的半径，高，则路面宽的长为（  ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型七 圆心角概念辨析及简单运算 19．下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 20．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 21．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求解 22．如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 23．如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 24．某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形内接于，．若，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求证 25．如图：，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 26．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为___________． 27．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 题型十 求圆弧的度数 28．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 29．在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 30．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型十一 圆周角的概念辨析及简单运算 31．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C．D． 32．如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 33．如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 题型十二 圆周角定理 34．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 35．如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 36．如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 37．如图，是的直径，，是上的点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十三 同弧或等弧所对的圆周角相等 38．如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 39．如图，为的直径，，则的度数为____________． 40．如图，四边形内接于，，连接和．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型十四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 41．如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 42．如图，是的直径，弦，若，则__________． 43．如图，是的直径，是的弦，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D．3 题型十五 90 度的圆周角所对的弦是直径 44．如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 45．如图，四边形内接于，，的半径是，连接，则弦长为______． 46．如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 题型十六 已知圆内接四边形求角度 47．四边形内接于，若，则（     ） A． B． C． D． 48．如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 49．如图，是的直径，，若是上一动点（不与，重合），则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 题型十七 求四边形外接圆的直径 50．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 51．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 52．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 解答题 1．如图，，是的两条弦． (1)如果，那么_____________，_____________． (2)如果，那么_____________，_____________． (3)如果，那么_____________，_____________． (4)如果，，，垂足分别为E，F，与相等吗？为什么？ 2．如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 3．如图，四边形是的内接四边形，为直径，且，垂足为E． (1)若，求四边形其余各角的大小； (2)若，，求，的长． 4．如图，，是的外接圆上一点，且．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作出外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，交于点，你能发现什么结论，写出一条你发现的结论，并证明． 5．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 6．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 7．如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 8．如图①，在平面直角坐标系中，O为原点，，，D是y轴上的一个动点，（A、D、C按顺时针方向排列），与经过A、B、D三点的交于点E，、交于F，平分，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若交y轴于点G，如图②，请直接写出的值是_______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $