16.3.1 平方差公式（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学八年级上册

16.3.1 平方差公式（第1课时）教学设计 课题 16.3.1 平方差公式 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 授课对象 八年级学生 教学重点 平方差公式的探索、推导、结构特征及应用 教学难点 理解公式结构特征，灵活识别a、b并整体代入 一、素养目标 具体目标 经历平方差公式的探索过程，掌握公式(a+b)(a-b)=a²-b²，理解公式的几何背景；能运用公式进行简单计算和推理。 通过代数推导和几何验证两种方式论证公式正确性，发展推理能力和运算能力；在识别公式结构特征中发展符号意识和整体思想。 能用文字语言和符号语言表述公式；能运用公式解决简便计算、图形面积等实际问题，发展模型观念和应用意识；体会数学公式的简洁美。 二、教学过程 教学环节 与时间 教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 导入新课 （约5分钟） 出示问题：学校扩建边长为a米的正方形花园，边长增加b米后又减少b米，扩建后的面积比原来增加了多少？ 引导列式：(a+b)(a-b)。 提问：这个算式有什么特点？结果是否有简洁表达？ 揭示课题。 读题，理解情境。 列出算式(a+b)(a-b)。 思考：能否用多项式乘法展开？有没有更简洁的结果？ 从实际问题出发，激发兴趣，引出“和与差相乘”的算式，为探究公式做铺垫。 二、实践探究 建构新知 （约20分钟） 【探究一：代数推导】 1. 计算： (1)(x+1)(x-1) (2)(2x+1)(2x-1) (3)(m+2)(m-2) 2. 引导观察结果： (1)=x²-1 (2)=4x²-1 (3)=m²-4 共同点：结果都是两项，是前项平方减后项平方。 3. 归纳公式：(a+b)(a-b)=a²-b² 4. 代数验证： (a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b² 【探究二：几何验证】 利用图形割补演示： 长(a+b)、宽(a-b)的长方形，面积S=(a+b)(a-b)。 割补后拼成边长为a、去掉边长为b的小正方形，面积S=a²-b²。 数形结合验证公式。 独立计算三题： (1)x²-1 (2)4x²-1 (3)m²-4 观察结果，发现规律： 结果=同项²-反项²。 跟随老师完成代数验证。 观察图形割补过程，理解几何意义。 从具体算式到一般公式，经历“计算—猜想—验证”过程。 代数推导培养推理能力；几何验证帮助理解本质，渗透数形结合思想。 三、剖析公式 应用新知 （约15分钟） 【公式剖析】 文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 符号语言：(a+b)(a-b)=a²-b² 强调：a、b可代表数、字母、单项式、多项式；“同项”为a，“反项”为b。 【例1】计算： (1)(3x+2)(3x-2) 解：原式=(3x)²-2²=9x²-4 (2)(-x+2y)(-x-2y) 解：原式=(-x)²-(2y)²=x²-4y² 【例2】变式训练（抓本质，以不变应万变）： (1)(a+3)(a-3)=a²-9（系数变） (2)(2a+3)(2a-3)=4a²-9 (3)(-2a+3)(-2a-3)=4a²-9（符号变） (4)(3-2a)(-2a-3)=4a²-9（位置变） (5)(3-4a²)(-4a²-3)=16a⁴-9（指数变） (6)(a+b+3)(a+b-3)=(a+b)²-9（项数变） 【例3】简便计算：103×97 解：原式=(100+3)(100-3)=100²-3²=10000-9=9991 【例4】计算：(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1) 解：构造(2-1)： 原式=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1) =(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1) =(2⁴-1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1) =(2⁸-1)(2⁸+1)(2¹⁶+1) =(2¹⁶-1)(2¹⁶+1)=2³²-1 变式：(3+1)(3²+1)(3⁴+1)(3⁸+1)=(3¹⁶-1)/2 跟随老师剖析公式结构。 独立完成例1，注意识别同项和反项。 观察例2六个变式，总结：不管系数、符号、位置、指数、项数怎么变，只要符合“同项²-反项²”就用公式。 理解例3简便计算的优势。 例4体会“构造法”：乘(2-1)=1不改变原式，但连续用平方差公式。 例1直接套用，规范步骤。 例2六组变式从不同角度训练识别公式结构，突破难点。 例3体会公式简化运算的价值。 例4拓展思维，培养整体构造能力。 四、课堂小结 反思升华 （约3分钟） 引导学生从三方面总结： 1.知识：平方差公式内容？结构特征？ 2.方法：如何得到公式？（计算—猜想—代数证明—几何验证） 3.思想：从特殊到一般、数形结合、整体代换。 学生归纳： 1.(a+b)(a-b)=a²-b²，同项²减反项²。 2.计算猜想→代数验证→几何验证。 3.体会整体思想和数形结合。 培养归纳总结能力，构建知识体系，提炼数学思想方法。 五、布置作业 （约2分钟） 1.必做题：教材课后练习，巩固公式直接应用。 2.选做题： 记录作业。 必做题巩固基础；选做题拓展应用，感受数学与生活的联系。 四、板书设计 16.3.1 平方差公式 1.文字语言：两数之和与两数之差的乘积，等于这两数的平方差 2.符号语言：(a+b)(a-b)=a²-b²（同²-反²） a、b可代表数、字母、单项式、多项式 3.验证： 代数：(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b² 几何：S=(a+b)(a-b)=a²-b² 4.应用：正用、逆用、简便计算、构造法 三、课堂目标检测 1. 下列计算正确的是（ ） A. (x+2)(x-2)=x²-2 B. (3x+2)(3x-2)=3x²-4 C. (-a+b)(-a-b)=a²-b² D. (x+2)(x-3)=x²-6 答案：C。解析：A应为x²-4；B应为9x²-4；D不是平方差公式，结果为x²-x-6。 2. 计算：(-3m+2n)(-3m-2n) 解：原式=(-3m)²-(2n)²=9m²-4n²。 3. 用简便方法计算：59.8×60.2 解：原式=(60-0.2)(60+0.2)=60²-0.2²=3600-0.04=3599.96。 五、教学反思 本节课通过实际问题导入，激发学生学习兴趣。探究环节采用代数推导与几何验证相结合的方式，有效帮助学生理解公式本质，符合学生认知规律。例2设计了六组变式（系数变、符号变、位置变、指数变、项数变），引导学生抓住“同项²-反项²”的本质特征，以不变应万变。课堂练习表明，大部分学生能掌握公式的基本应用。教学中发现，部分学生对公式中a和b的广义理解（代表一个整体）存在困难，在面对(-2x+y)(-2x-y)或(a+b+c)(a+b-c)这类题目时，识别模型的能力有待提高。后续应强化公式结构剖析，特别是“整体思想”的训练，通过针对性变式练习突破难点。 学科网（北京）股份有限公司 $