精品解析：广东湛江市滨海学校2025-2026学年度九年级第一学期期末考试 数学试题

滨海学校2025－2026学年初三期末测试题 数学试卷 （满分：120分 考试用时：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各点中，不在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的两实数根相等，则的值为（ ）． A. 或 B. C. D. 6. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A=110°, ∠D=30°，则∠α的度数是（　 　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 8. 如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连接，取中点Q，连接，则线段的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____． 12. 已知，则______． 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，且，若，则的长为________． 14. 过坐标原点，与轴、轴相交于点A、B，且，反比例函数的图象经过圆心，作射线，则图中阴影部分面积为______． 15. 如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有_________．（写出序号即可） 三、简答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 先化简后求值：，其中 . 18. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为_____________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 四、简答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直线与轴交于点，点为轴上一个动点，若，求点的坐标． 20. 为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向．测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点，在点的正东方向 点，在点的正东方向 点在点的正东方向，点在点的正西方向 测量数据 ， ， ． ， ， ． ， ， ． （1）哪个小组的数据无法计算出河宽？ （2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到）；（参考数据：，，，） （3）计算的结果和实际河宽有误差，请提出一条减小误差的合理化建议． 21. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 五、简答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践：某“综合与实践”小组开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，利用长为，宽为长方形纸板制作出两种不同方案的正方体盒子，请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 如图1，若，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒． 问题解决：（1）此时，你发现与之间存在的数量关系为______． 动手操作二： 如图2，若，现在在纸板的四角剪去两个小正方形和两个小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒，其大小与（1）中无盖正方体大小一样． 拓展延伸：（2）请你在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形（用阴影表示），折痕用虚线表示： （3）此时，你发现与之间存在的数量关系是什么？若，求有盖正方体纸盒的表面积． 23. 如图，在矩形中， ，连接，点A关于的对称点为点E，连接， 与交于点 F．以点 C为圆心，为半径作圆． （1）如图1，当点E在⊙C上时，求证： ； （2）如图2，当点F在⊙C上时，求 的值； （3）如图3，分别交于点G、H，请探究与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨海学校2025－2026学年初三期末测试题 数学试卷 （满分：120分 考试用时：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 若使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义分母不为零即可得答案． 【详解】∵分式有意义， ∴x-2≠0， 解得：x≠2． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逐项判断即可得到结果，正确计算是解题的关键． 【详解】解：A、，计算正确，该选项符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、，原计算错误，该选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列各点中，不在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为进行判断即可． 【详解】解：A、，故不在函数图象上，符合题意； B、，故在函数图象上，不符合题意； C、，故在函数图象上，不符合题意； D、，故在函数图象上，不符合题意； 故选A． 5. 一元二次方程的两实数根相等，则的值为（ ）． A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程有两相等的实数根，则△=b2-4ac=0，来确定a值． 【详解】解：∵方程有两相等的实数根， ∴， 解得：a=2， 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 6. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 7. 如图，△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A=110°, ∠D=30°，则∠α的度数是（　 　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可知：∠D=∠A=110°，在△COD中依据三角形内角和定理可求得∠COD的度数，最后依据∠α=70°-∠COD求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：∠D=∠A=110． 在△COD中，∠COD=180°-∠C-∠D=40°． ∠α=70°-∠COD=70°-40°=30°． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，求得∠COD的度数是解题的关键． 8. 如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，通过二次函数的图象判断不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据二次函数的图象判断不等式的解集即可． 【详解】解：根据抛物线的图象可知，当时， 或， 故选：D． 10. 如图，为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连接，取中点Q，连接，则线段的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，作于H．首先证明点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作于H． ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点Q在的延长线上时，的值最大（也可以通过求解） 在中，∵， ∴，， 在中，， ∴CQ的最大值为， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，先把变形为，然后把代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由， ∵， ∴原式 ， 故答案为：． 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，且，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割得，结合代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 则 故答案为：． 14. 过坐标原点，与轴、轴相交于点A、B，且，反比例函数的图象经过圆心，作射线，则图中阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，易得是直径，根据勾股定理，可求出半径，再求出的面积和扇形的面积即是阴影部分的面积． 【详解】连接，如图所示， ， 是直径， ， 根据勾股定理，得， 半径为， 根据图形的对称性可将阴影部分转换为一个等腰直角三角形和一个四分之一圆，则： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与圆的综合，熟练掌握反比例函数的性质与圆的性质是解题的关键． 15. 如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有_________．（写出序号即可） 【答案】③⑤##⑤③ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出，，，可判断①；根据对称轴为直线可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为及时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及时的函数值可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：由抛物线的开口向下，得， 由抛物线的对称轴是直线，得、异号，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴，得， 所以，故①不正确； 由抛物线的对称轴是直线， 所以，即，故②错误； 由抛物线的对称性以及图象可知， 与对应的函数值相同，都等于c，又， 当时，，因此③正确； 由图象可知，当时，， 因为， 所以，即，故④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大， 当时，， 即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：③⑤， 故答案为：③⑤． 三、简答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】先进行化简计算，然后再进行实数的运算即可。 【详解】解：原式=4-2+4-1 =3 【点睛】本题考查了幂的运算，二次根式的化简、特殊角的三角函数值，关键在于熟悉运算知识，需要注意运算的顺序和符号。 17. 先化简后求值：，其中 . 【答案】； -7． 【解析】 【分析】按照完全平方公式展开，再合并同类项得到最简代数式，再代入x取值求出代数式的值． 【详解】原式 当时，原式=-7 【点睛】本题考查完全平方公式，平方差公式，掌握相应方法和运算法则是解题关键． 18. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为_____________； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为，，，，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件． 用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果： 由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即，， ． 四、简答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直线与轴交于点，点为轴上一个动点，若，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合； （1）把点代入，得，进而求得点的坐标为，待定系数法求求一次函数解析式即可求解； （2）设点的坐标为，连接，，则点，根据列出方程，即可求解． 【小问1详解】 把点代入，得， 反比例函数的表达式为，点代入，得， 点的坐标为， 直线过点，， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 设点的坐标为，连接，，则点， ， ， ， ，解得，， 点的坐标为或. 20. 为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向．测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点，在点的正东方向 点，在点的正东方向 点在点的正东方向，点在点的正西方向 测量数据 ， ， ． ， ， ． ， ， ． （1）哪个小组的数据无法计算出河宽？ （2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到）；（参考数据：，，，） （3）计算的结果和实际河宽有误差，请提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】（1）第二组；（2）第一个小组的解法，河宽约为56.3m；第三个小组的解法：河宽为56.4m；（3）①在测量前先校准测量仪器，消除测量系统误差；②注意测量仪器的使用环境要求，如温度、湿度、气压等等。确保测量在最佳环境下进行；③确保测量过程和数据读取的正确，应严格遵循测量标准或测量仪器的要求；④对每个数据应多次测量，并求平均值和方差，减小测量过程中的随机误差． 【解析】 【分析】（1）第二个小组的数据无法计算河宽；根据△HAB中，由，可求∠AHB，只有角之间关系，没有线段的长度，而且与没有联系可得无法求出河宽； （2）第一个小组的解法，在Rt△HAB中， ，在Rt△HAC中，，根据BC=AC-AB列方程即可求解； 第三个小组：在中，，在中，，根据CA+AB=CB，构建方程求解即可． （3）①在测量前先校准测量仪器，消除测量系统误差； ②注意测量仪器的使用环境要求，如温度、湿度、气压等等。确保测量在最佳环境下进行； ③确保测量过程和数据读取的正确，应严格遵循测量标准或测量仪器的要求； ④对每个数据应多次测量，并求平均值和方差，减小测量过程中的随机误差 【详解】解：（1）第二小组，∵△HAB中，由，可求∠AHB，只有角之间关系，没有线段的关系量，无具体长度，而且与没有联系，无法求出河宽； （2）第一个小组的解法， 在Rt△HAB中， ， 在Rt△HAC中， ∵BC=AC-AB， ∴-=BC， ∴AH =， ∴， 答：河宽约为56.3m； 第三个小组的解法： ∵， ∴在中，，在中，， ∵， ∴，即， 解得， 答：河宽为56.4m； （3）①在测量前先校准测量仪器，消除测量系统误差； ②注意测量仪器的使用环境要求，如温度、湿度、气压等等。确保测量在最佳环境下进行； ③确保测量过程和数据读取的正确，应严格遵循测量标准或测量仪器的要求； ④对每个数据应多次测量，并求平均值和方差，减小测量过程中的随机误差． 【点睛】本题考查利用三角函数解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 21. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）； （2）水面的直径为 （3） 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 【解析】 【分析】（1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【小问1详解】 由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． 【小问2详解】 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． 【小问3详解】 略 【点睛】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. 五、简答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践：某“综合与实践”小组开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，利用长为，宽为长方形纸板制作出两种不同方案的正方体盒子，请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 如图1，若，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒． 问题解决：（1）此时，你发现与之间存在的数量关系为______． 动手操作二： 如图2，若，现在在纸板的四角剪去两个小正方形和两个小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒，其大小与（1）中无盖正方体大小一样． 拓展延伸：（2）请你在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形（用阴影表示），折痕用虚线表示： （3）此时，你发现与之间存在的数量关系是什么？若，求有盖正方体纸盒的表面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），． 【解析】 【分析】（1）分析得出做成的无盖正方体纸盒的棱长是c，进而可得； （2）实际上是从大长方形纸中剪出一个正方形展开图，故从11种正方体展开图中选择合适的剪出形状即可； （3）根据图形和正方体棱长都相等的性质可得，，化简得到，然后求出时c的值，再根据正方体的表面积公式计算即可． 【详解】解：（1）由题意可知，做成的无盖正方体纸盒的棱长是c， 故可得：， 故答案为：； （2）所画图形如图所示（图形不唯一）： （3）由图形可得：，， ∴， ∴， 当时，， ∴此时有盖正方体纸盒的表面积为：． 【点睛】本题考查了列代数式，基本几何图形的性质与正方体的展开图，熟练掌握并灵活运用相关性质，找到图中边长的数量关系是解答的关键． 23. 如图，在矩形中， ，连接，点A关于的对称点为点E，连接， 与交于点 F．以点 C为圆心，为半径作圆． （1）如图1，当点E在⊙C上时，求证： ； （2）如图2，当点F在⊙C上时，求 的值； （3）如图3，分别交于点G、H，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：由矩形的性质知， 在⊙C上， ， 点A关于的对称点为点E， 垂直平分， ， ， ， ， 则在和中 ， 由 ， （2） （3） ， 证明：由对称和矩形的性质知， 由外角的定义知， ， ， 再由对称和矩形的性质知，， 在和中， 由 ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据点E在⊙C上，矩形和对称的性质可以得出，再根据角的关系得出，最后由证明全等； （2）设，连接，过点作于，构造出，通过相似关系表示出，根据表示出，进而表示出，最后根据勾股定理在中列方程求解即可求出； （3）先根据得出，进而证明，再根据外角的性质证明，进而根据等腰三角形顶角和底角的关系证明，所以得出，最后根据直角三角形的互余关系证出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：如图，连接，过点作于 由点F在⊙C上可知，不妨设， 由可知， ， ， 由垂直平分可知， ， ， 由勾股定理可求得， ， ， ， 则在中，由勾股定理得， ， 不妨设，则可化简为，即， 结合，解得， ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $