广东省湛江市吴川市第一中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

2022-2023学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 1、 选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分) 1.下列各数中是无理数的是( ) A. B.3.14 C. D. 2.下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A.平行四边形 B.等边三角形 C.圆 D.直角三角形 3.矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A.两组对边分别平行 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 4.已知2x3yn+4和﹣x2m+1y2是同类项,则式子(m+n)2022的值是( ) A.1 B.﹣1 C.0 D.﹣12021 5.分式方程的解是( ) A.x=3 B.x=﹣3 C.x=﹣1 D.x=1 6.如图,在 ABC中,DE∥BC,AD=6,BD=3,AE=4,则AC的长为( ) A.9 B.7 C.6 D.5 7.如图,点P时反比例函数y=图象上一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线段,与坐标轴围成的矩形面积是4,那么反比例函数的解析式是( ) 1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图,在 ABC中,请根据尺规作图的痕迹,若AC=6,AD=2,则BD的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 9.如图,CD是⊙O的直径,A、B是⊙O上的两点,若∠ABD=20 ,则∠ADC的度数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于此二次函数的下列四个结论:①a+b+c<0;②c>1;③b2﹣4ac>0;④2a﹣b<0,其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分1) 11.点A(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标是 . 12.分解因式:4x2﹣1= . 13.如图,在长方形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把 CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的F处,则AF的长为 . 14.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣2x2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是 米. 15.如图,已知⊙O的周长为4 ,的长为 ,则图中阴影部分的面积为 . 三、解答题(一)(本题共3小题,每小题8分,共24分) 16 .计算:; 17.解不等式组 18.如图,将 ABC绕点C顺时针旋转得到 DEC,点A的对应点D落在线段AB上.已知∠A=70 ,求∠BDE的度数. 四、解答题(二)(本题共3小题,每小题9分,共27分) 19.现有三张不透明的卡片,它们的背面完全一样,正面分别写有数字﹣1,1,2,现将三张卡片背面朝上,洗匀后放在桌子上. (1)从中随机抽取一张卡片,正面的数字是负数的概率为 . (2)从中随机抽取一张卡片,记下数字后放回,再随机抽取一张,记下卡片上的数字,请用列表法或画树状图的方法计算这两个数的积大于0的概率. 20.如图,菱形ABCD的对角线交于点O,点E是菱形外一点,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形DECO是矩形; (2)连接AE交BD于点F,当∠ADB=30 ,DE=3时,求菱形ABCD的面积. 21.如图,已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的图象交于A(6,1),B(﹣2,n)两点,连接OA,OB. (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)求 AOB的面积; (3)根据图象,请直接写出不等式kx+b<的解集. 五、解答题(三)(本题共2 小题,每小题12分,共24分) 22.如图, ABC是直角三角形,∠ABC=90 ,以AB为直径的⊙O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE. (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系?并说明理由; (2)若⊙O的半径为,DE=3,求AE的长. 23.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且点B与点C的坐标分别为B(3,0),C(0,3),点M是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是线段MB上一个动点,且点P的横坐标为m,过点P作PD⊥x轴于点D,交抛物线于点E,求线段PE的最大值,并求出此时点E的坐标; (3)在(2)的条件下,若在线段MB上存在点P,使得 PCD为直角三角形,请直接写出点P的坐标. 2022-2023学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 1、 选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分) 1.下列各数中是无理数的是( ) A. B.3.14 C. D. 【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项. 【解答】解:A.=3,3是整数,属于有理数,故本选项不符合题意; B.3.14是有限小数,属于有理数,故本选项不符合题意; C.是无理数,故本选项符合题意; D.是分数,属于有理数,故本选项不符合题意. 故选:C. 【点评】此题考查了无理数的定义.解题的关键是掌握无理数的定义,注意初中范围内学习的无理数有: ,2 等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…(每两个1之间0的个数依次加1),等有这样规律的数. 2.下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A.平行四边形 B.等边三角形 C.圆 D.直角三角形 【分析】根据轴对称图形定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形;中心对称图形的概念:把一个图形绕某一点旋转180 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,进行分析即可求解. 【解答】解:平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形; 等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形; 圆是轴对称图形,也是中心对称图形; 直角三角形既不是轴对称图形,不是中心对称图形, 故选:C. 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合. 3.矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A.两组对边分别平行 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解. 【解答】解:A、矩形与菱形的两组对边都分别平行,故本选项错误; B、矩形的对角线相等,菱形的对角线不相等,故本选项正确; C、矩形与菱形的对角线都互相平分,故本选项错误; D、矩形与菱形的两组对角都分别相等,故本选项错误. 故选:B. 【点评】本题考查了矩形的性质,菱形的性质,熟记两图形的性质是解题的关键. 4.已知2x3yn+4和﹣x2m+1y2是同类项,则式子(m+n)2022的值是( ) A.1 B.﹣1 C.0 D.﹣12021 【分析】根据同类项的定义(所含字母相同,相同字母的指数相同)列出方程,求出n,m的值,再代入代数式计算即可. 【解答】解:根据题意得:2m+1=3,n+4=2, 解得:m=1,n=﹣2, 则(m+n)2022=(﹣1)2022=1. 故选:A. 【点评】本题考查同类项,解题的关键是正确理解同类项的概念,本题属于基础题型. 5.分式方程的解是( ) A.x=3 B.x=﹣3 C.x=﹣1 D.x=1 【分析】根据解分式方程的步骤求解即可. 【解答】解:两边同乘x(x﹣2), 得5x=3(x﹣2), 解得x=﹣3, 经检验,x=﹣3是原方程的根, 故选:B. 【点评】本题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键,注意验根. 6.如图,在 ABC中,DE∥BC,AD=6,BD=3,AE=4,则AC的长为( ) A.9 B.7 C.6 D.5 【分析】由DE∥BC,利用平行线分线段成比例的推论,可得出=,代入AB=AD+BD=6+3,AD=6,AE=4,即可求出AC的长. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴=, 即=, 解得:AC=6, ∴AC的长为6. 故选:C. 【点评】本题考查了平行线分线段成比例,牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.”是解题的关键. 7.如图,点P时反比例函数y=图象上一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线段,与坐标轴围成的矩形面积是4,那么反比例函数的解析式是( ) A.y= B.y=﹣ C.y= D.y=﹣ 【分析】先根据反比例函数的图象在第二象限可知,k<0,再根据矩形面积是4可知k=﹣4,故可得出解析式. 【解答】解:∵点P是反比例函数y=图象上的一点,函数的图象在第二象限, ∴k<0, ∵矩形面积是4可知k=﹣4, ∴反比例函数的解析式为:y=﹣. 故选:D. 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|. 8.如图,在 ABC中,请根据尺规作图的痕迹,若AC=6,AD=2,则BD的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【分析】根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线,垂直平分线上的点与线段两个端点距离相等可得DB=DC,进而可得BD的长. 【解答】解:根据作图过程可知:MN是线段BC的垂直平分线, ∴DB=DC, ∵AC=6,AD=2, ∴BD=DC=AC﹣AD=4, 故选:C. 【点评】本题考查了作图﹣基本作图,线段垂直平分线的性质,解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法. 9.如图,CD是⊙O的直径,A、B是⊙O上的两点,若∠ABD=20 ,则∠ADC的度数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 【分析】由已知可求得∠C的度数,再根据圆周角定理及三角形内角和定理即可求得∠ADC的度数. 【解答】解:∵∠ABD=20 ∴∠C=∠ABD=20 ∵CD是⊙O的直径 ∴∠CAD=90 ∴∠ADC=90 ﹣20 =70 . 故选:D. 【点评】熟练运用圆周角定理及其推论. 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于此二次函数的下列四个结论:①a+b+c<0;②c>1;③b2﹣4ac>0;④2a﹣b<0,其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】根据对称轴及抛物线与坐标轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.①取x=1,即可得y=a+b+c的符号,②根据图象与y轴交点坐标得出即可;③根据图象与x轴的交点的个数,解根的判别式b2﹣4ac与0的大小;④将对称轴方程x=﹣<0变形解答. 【解答】解:①与图象知,当x=1时,y<0,即a+b+c<0.故此选项正确; ②∵图象与y轴交点坐标在y轴上方,但在1的下方, ∴1>c>0,故此选项错误; ③图象与x轴有2个交点,依据根的判别式可知b2﹣4ac>0,故此选项正确; ④∵对称轴方程﹣1<﹣<0, ∴1>>0; ∵a<0, ∴b>2a, ∴2a﹣b<0.故此选项正确; 综上所述,正确的说法有①、③、④,共有3个. 故选:C. 【点评】此题考查了二次函数的性质以及图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用,熟练掌握其性质利用数形结合是解题关键. 2、 填空题 11.点A(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标是 . 【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(﹣2,3)关于原点O的对称点是P′(2,﹣3) 【解答】解:根据两个点关于原点对称, ∴点P(﹣2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,﹣3); 故答案为(2,﹣3). 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标,运用时要熟练掌握,可以不用图画和结合坐标系,只根据符号变化直接写出对应点的坐标. 12.分解因式:4x2﹣1; 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可. 【解答】解:(1)原式=(2x+1)(2x-1) 【点评】本题考查公式法分解因式,掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提. 13.如图,在长方形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把 CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的F处, 则AF的长为 【分析】(1)根据矩形的性质可得CD=AB=10,BC=AD=6,由翻折可得DF=DC=10,然后根据勾股定理即可解决问题; 【解答】解:在长方形ABCD中,CD=AB=10,BC=AD=6, 由翻折可知:DF=DC=10, 在Rt DAF中,AD=6,DF=10, ∴AF==8; 【点评】本题考查了矩形,熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键. 14.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣2x2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是 米. 【分析】水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣2x2+4x的顶点纵坐标,将y=﹣2x2+4x写成顶点式即可得出顶点坐标,从而求得答案. 【解答】解:由题意可知,水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣2x2+4x的顶点纵坐标, ∵y=﹣2x2+4x =﹣2(x2﹣2x) =﹣2(x﹣1)2+2, ∴顶点坐标为(1,2), ∴水喷出的最大高度是2米. 故答案为:2. 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用,将实际问题与数学模型联系起来是解题的关键. 15.如图,已知⊙O的周长为4 ,的长为 ,则图中阴影部分的面积为 . 【分析】首先根据⊙O的周长为4 ,求出⊙O的半径;然后根据的长,可求得∠AOB=90 ;最后用⊙O的面积的减去 AOB的面积,求出图中阴影部分的面积. 【解答】解:∵⊙O的周长为4 , ∴⊙O的直径是4, ∴⊙O的半径是2, ∵的长为 , ∴的长等于⊙O的周长的, ∴∠AOB=90 , ∴S阴影=﹣= ﹣2. 故答案为 ﹣2. 【点评】此题主要考查了扇形面积的计算,以及弧长的计算方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确求阴影面积常用的方法:①直接用公式法;②和差法;③割补法. 3、 解答题(一) 16.计算:; 【分析】(1)先计算二次根式的乘法,再算加减,即可解答; 【解答】解:(1) =+﹣2 =3+4﹣2 =+4; 【点评】本题考查了二次根式的混合运算,准确熟练地进行计算是解题的关键. 17.解不等式组 【分析】(1)首先解每个不等式,两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集; 【解答】解:(1), 解①得:x≥2, 解②得:x>2. 则不等式组的解集是:x>2; 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观察不等式的解,若x>较小的数、<较大的数,那么解集为x介于两数之间. 18.如图,将 ABC绕点C顺时针旋转得到 DEC,点A的对应点D落在线段AB上.已知∠A=70 ,求∠BDE的度数. 【分析】由旋转的性质可得AC=CD,∠A=∠CDE=70 ,由等腰三角形的性质可得∠A=∠ADC=70 ,即可求解. 【解答】解:∵将 ABC绕点C顺时针旋转得到 DEC, ∴AC=CD,∠A=∠CDE=70 , ∴∠A=∠ADC=70 , ∴∠BDE=180 ﹣∠ADC﹣∠CDE=40 , ∴∠BDE的度数为40 . 【点评】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,掌握旋转的性质是解题的关键. 4、 解答题(二) 19.现有三张不透明的卡片,它们的背面完全一样,正面分别写有数字﹣1,1,2,现将三张卡片背面朝上,洗匀后放在桌子上. (1)从中随机抽取一张卡片,正面的数字是负数的概率为 . (2)从中随机抽取一张卡片,记下数字后放回,再随机抽取一张,记下卡片上的数字,请用列表法或画树状图的方法计算这两个数的积大于0的概率. 【分析】(1)直接根据概率公式求解; (2)先画树状图展示所有9种等可能的结果数,再找出两个数的积大于0的结果数,然后根据概率公式求解. 【解答】解:(1)从中随机抽取一张卡片,正面的数字是负数的概率=; 故答案为; (2)画树状图为: 共有9种等可能的结果数,其中两个数的积大于0的结果数为5, 所以两个数的积大于0的概率=. 【点评】本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率. 20.如图,菱形ABCD的对角线交于点O,点E是菱形外一点,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形DECO是矩形; (2)连接AE交BD于点F,当∠ADB=30 ,DE=3时,求菱形ABCD的面积. 【分析】(1)根据菱形的性质求出∠DOC=90 ,根据平行四边形和矩形的判定得出即可; (2)根据矩形和菱形的性质即可得到结论. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, 即∠DOC=90 , ∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形DECO是平行四边形, ∴四边形DECO是矩形; (2)解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AO=OC, ∵四边形DECO是矩形, ∴DE=OC, ∵DE=3, ∴DE=AO=3, ∵∠ADB=30 ,AC⊥BD, ∴OD=3, ∴AC=6,BD=6, ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=. 【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键. 21.如图,已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的图象交于A(6,1),B(﹣2,n)两点,连接OA,OB. (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)求 AOB的面积; (3)根据图象,请直接写出不等式kx+b<的解集. 【分析】(1)通过待定系数法求函数解析式. (2)先求出直线与y轴交点C坐标,再由S AOB=S BOC+S AOC求解. (3)由图象中直线在曲线下方时x的取值范围求解. 【解答】解:(1)把A(6,1)代入y2=得1=, 解得m=6, ∴反比例函数为y2=, 把B(﹣2,n)代入y2=, 得n==﹣3, ∴点B坐标为(﹣2,﹣3), 将(6,1),(﹣2,﹣3)代入y1=kx+b得, 解得, ∴一次函数为y1=x﹣2. (2)设直线与y轴交点为C, 把x=0代入y1=x﹣2得y1=﹣2, ∴直线与y轴交点C坐标为(0,﹣2),OC=2, ∴S AOB=S BOC+S AOC=OC•|xB|+OC•xA= 2 2+=8. (3)由图象可得当x<﹣2或0<x<6时,直线在曲线下方, ∴不等式kx+b<的解集为x<﹣2或0<x<6. 【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点问题,解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系,掌握坐标系内求三角形面积的方法. 5、 解答题(三) 22.如图, ABC是直角三角形,∠ABC=90 ,以AB为直径的⊙O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE. (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系?并说明理由; (2)若⊙O的半径为,DE=3,求AE的长. 【分析】(1)直线DE与⊙相切.根据切线的判定定理只需证明OE⊥DE即可; (2)根据(1)中的证明过程,会发现BC=2DE,根据勾股定理求得AC的长,进一步求得直角三角形斜边上的高BE,最后根据勾股定理求得AE的长. 【解答】解:(1)直线DE与⊙相切.理由如下: 连接OE,BE, ∵AB是直径. ∴BE⊥AC. ∵D是BC的中点, ∴DE=DB. ∴∠DBE=∠DEB. 又OE=OB, ∴∠OBE=∠OEB. ∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB. 即∠ABD=∠OED. ∵∠ABC=90 , ∴∠OED=90 , 又∵EO为⊙O半径, ∴DE是⊙O的切线. (2)∵∠ABC=90 ,AB=2,BC=2DE=6, ∴AC=4. ∴BE=3. ∴AE=. 【点评】本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可. 23.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且点B与点C的坐标分别为B(3,0),C(0,3),点M是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是线段MB上一个动点,且点P的横坐标为m,过点P作PD⊥x轴于点D,交抛物线于点E,求线段PE的最大值,并求出此时点E的坐标; (3)在(2)的条件下,若在线段MB上存在点P,使得 PCD为直角三角形,请直接写出点P的坐标. 【分析】(1)把B点和C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组,然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式; (2)把(1)中的一般式配成顶点式可得到M(1,4),设直线BM的解析式为y=kx+n,再利用待定系数法求出直线BM的解析式,则P(m,﹣2m+6)(1≤m≤3),于是PE=﹣m2+4m﹣3=﹣(m﹣2)2+1,然后根据二次函数的性质解决问题; (3)讨论:∠PDC不可能为90 ;当∠DPC=90 时,易得﹣2m+6=3,解方程求出m即可得到此时P点坐标;当∠PCD=90 时,利用勾股定理得到和两点间的距离公式得到m2+(﹣2m+3)2+32+m2=(﹣2m+6)2,然后解方程求出满足条件的m的值即可得到此时P点坐标. 【解答】解:(1)把B(3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c, 得, 解得, ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3; (2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴M(1,4), 设直线BM的解析式为y=kx+n, 把B(3,0),M(1,4)代入, 得, 解得, ∴直线BM的解析式为y=﹣2x+6, 设P(m,﹣2m+6)(1≤m≤3), 则E(m,﹣m2+2m+3), ∴PE=﹣m2+4m﹣3=﹣(m﹣2)2+1, ∵1≤m≤3, ∴当m=2时,S有最大值,最大值为1; (3)存在. ∠PDC不可能为90 ; 当∠DPC=90 时,则PD=OC=3,即﹣2m+6=3,解得m=,此时P点坐标为(,3), 当∠PCD=90 时,则PC2+CD2=PD2,即m2+(﹣2m+3)2+32+m2=(﹣2m+6)2, 整理得m2+6m﹣9=0,解得m1=﹣3﹣3(舍去),m2=﹣3+3, 当m=﹣3+3时,y=﹣2m+6=6﹣6+6=12﹣6,此时P点坐标为(﹣3+3,12﹣6), 综上所述,当P点坐标为(,3)或(﹣3+3,12﹣6)时, PCD为直角三角形. 【点评】本题是二次函数的综合题,主要考查了二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征;会利用待定系数法求函数解析式;两点间的距离公式和三角形面积公式;注意分类讨论的是解决此题的关键. 第7页(/共4页) 第8页/(共10页) 知人善教 培养品质 引发成长动力 第7页/(共22页) 第8页/(共22页) 知人善教 激发兴趣 塑造能力 学科网(北京)股份有限公司 $$