第二十六章 二次函数 知识总结 练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

初中数学（RJ）九年级上册 第二十五章　一元二次方程 学生版 一、全章知识清单 板块 1 　二次函数的概念 1.定义：一般地，形如（是常数，≠0）的函数叫做二次函数。 2.必备条件：①自变量最高次数为2；②≠0（二次项系数为零就退化为一次函数）。 二次函数的自变量取值范围：除特殊注明（如实际问题）外，一般为全体实数。 3.各部分内容：二次项：，二次项系数：；一次项：，一次项系数：；常数项： 板块 2　　二次函数的解析式及求法 1.一般式：（是常数，≠0） 2.特殊形式：（≠0，，）；（≠0，）；（≠0，） 3.待定系数法求解析式：根据已知条件（一般式/顶点式/交点式），将系数转化为方程组求解。 4.一般式：已知三点坐标可列三元一次方程组；适合顶点不易直接看出、需分别求三系数。 顶点式：已知顶点与另一点；适合顶点明显或要先写顶点再展开。 交点式 ：已知轴交点、与另一点；适合已知两根情形。 ⚠ 易错　用待定系数法时，所设形式要与已知条件匹配：已知顶点选顶点式、已知轴交点选交点式；否则方程组会变复杂甚至解不出。 ◆ 方法　求解析式后用第二、三个已知点回代检验（≠0、顶点/交点是否正确），可避免算错返工。 板块 3　　二次函数的图象与性质 的图象 1.图象：以原点为顶点、轴为对称轴的抛物线；开口向上，开口向下。 2.开口大小：越大抛物线越瘦（开口越窄），越小越胖（开口越宽）。 3.对称性：关于轴对称；顶点 (0,0) 既是最高点（）也是最低点（） 4.增减性：时递减、递增；时相反 的图象 1.图象：把的图象沿轴向上（）或向下（）平移个单位得到的抛物线。 2.对称轴：（轴）；顶点 。 3.最值：时，时。 4.增减性：平移规律：上加下减，只动顶点坐标，形状、开口方向、对称轴不变。 的图象 1.图象：把的图象沿轴向右（）或向左（）平移个单位。 2.对称轴：；顶点。 3.平移规律：左加右减，只动顶点坐标。 4.特殊点：与轴交于（顶点恰在轴上），与轴交于。 的图象 顶点式（标准式）：对称轴，顶点。 平移：先把经两步平移到，与上面规律一致。 开口方向与大小：仅由决定，开口向上、开口向下；决定开口宽度。 增减性：时递减、递增；时相反；顶点处取最值。 的图象 1.一般式化为顶点式：；对称轴，顶点（，）。 2.开口方向：开口向上有最小值；开口向下有最大值。 3.最值公式：；当时为最小值，时为最大值。 4.与轴交点：判别式Δ=；Δ>0两交点、Δ=0顶点在轴、Δ<0不相交。与轴交点：(0,)。 板块 4　　二次函数与一元二次方程的关系 1.本质：方程的根等价于函数图象与轴交点的横坐标。 2.三种情形：①时抛物线与轴有两个交点，方程有两个不等实根；②时抛物线与轴有一个交点（顶点恰在轴），方程有相等实根；③时无交点，方程无实根。 3.对称关系：若是两交点横坐标，则，（韦达定理的图象解读）。 4.应用：已知抛物线与轴交点个数或距离，反求参数范围（中字母系数的取值）。 板块 5　　实际问题中二次函数模型的建立 1.常见类型：①最大面积/最大利润/最大收益（顶点取最值）；②抛物线形运动轨迹（跳水、投篮、喷泉）；③桥梁/拱形建筑（跨度与高度）。 2.解题思路：①矩形/正方形/三角形中一边变动导致面积变化：面积=底×高，面积=长×宽，常化为形式。②抛物线形拱桥/拱门：方程设为 ，结合端点(0, 0)与顶点求。③抛物线形运动轨迹（如篮球、铅球、喷泉水柱）：水平距离为、竖直高度；高度与时间成函数关系。 3.一般步骤：①审题设元（设自变量与因变量）；②用二次函数表示与的关系；③配方或用顶点式求最值；④代回实际问题并写答。 4.自变量取值范围：必须由实际意义决定（如长度、面积为正，且≤总量限制）。 5.结果检验：最值是否落在自变量范围内；端点值与顶点值比较取实际最值。 二、综合训练 1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 5．（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 6．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 7．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）若是二次函数，则的值为______． 8．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）已知函数是二次函数，则m的值为________． 9．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值为______． 10．（2025九年级·全国·专题练习）某果园有100棵橘子树，平均每棵橘子树结600个橘子．根据经验估计，每多种1棵橘子树，平均每棵橘子树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y，则果园里增种________棵橘子树时，橘子的总个数最多，最多为________． 11．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 12．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，抛物线的对称轴为直线，则______(填、或)． 13．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 14．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______． 16．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，下列结论：；；；．所有正确的结论有______．（填序号） 17．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴交于点．现有下列4个结论：①；②；③；④（为实数且）．其中正确的结论有__________（填序号）． 18．（25-26九年级上·吉林四平·期末）如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 19．（24-25九年级上·吉林松原·期末）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，根据以上信息可知主桥拱最高点与其在水中的倒影点之间的距离为__________米． 20．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 21．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 22．（2025九年级上·全国·专题练习）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．若设有x个房间空闲，则宾馆利润为y元．请你写出y与x的函数关系式____________________． 23．（25-26八年级下·北京·期末）某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 24．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知一次函数和二次函数图象交于两点A，B两点，且它们的横坐标分别是3，． (1)求一次函数的解析式． (2)设二次函数图象的顶点为C，求得面积． 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 26．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 27．（2026九年级上·全国·专题练习）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的解析式． 28．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，且B，C两点间的距离为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是线段上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，交抛物线于点F，过点F作轴，交y轴于点G，求四边形周长的最大值及此时点E的坐标． 29．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 30．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，且在x轴上方，连接、，若的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，连接，求的最小值． 31．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， (1)求的取值范围； (2)若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 32．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 33．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和该二次函数的顶点坐标； (2)当时，求自变量的取值范围． 34．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，已知抛物线经过两点． (1)求抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 35．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 36．（25-26九年级上·江苏·课后作业）某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是． (1)试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； (2)如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式． 37．（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 38．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）根据背景素材，探索解决问题． 背景 某公司的一种商品，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（，且x为整数）元． 问题解决 任务1 当元时，该种商品的销售量为 件． 任务2 公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？ 任务3 当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 任务4 若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为 ． （利润销售利润补贴） 39．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加1辆．租出的车每月需维护费150元，未租出的车每月需维护费50元． (1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出 辆车．（直接填写答案） (2)设每辆车的月租金为x（）元，用含x的代数式填空． 未租出的车辆数 租出的车辆数 所有未租出的车每月的维护费 租出的车每辆的月收益 (3)每辆车的月租金定为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 40．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 第二十五章　一元二次方程 教师版 一、全章知识清单 板块 1 　二次函数的概念 1.定义：一般地，形如（是常数，≠0）的函数叫做二次函数。 2.必备条件：①自变量最高次数为2；②≠0（二次项系数为零就退化为一次函数）。 二次函数的自变量取值范围：除特殊注明（如实际问题）外，一般为全体实数。 3.各部分内容：二次项：，二次项系数：；一次项：，一次项系数：；常数项： 板块 2　　二次函数的解析式及求法 1.一般式：（是常数，≠0） 2.特殊形式：（≠0，，）；（≠0，）；（≠0，） 3.待定系数法求解析式：根据已知条件（一般式/顶点式/交点式），将系数转化为方程组求解。 4.一般式：已知三点坐标可列三元一次方程组；适合顶点不易直接看出、需分别求三系数。 顶点式：已知顶点与另一点；适合顶点明显或要先写顶点再展开。 交点式 ：已知轴交点、与另一点；适合已知两根情形。 ⚠ 易错　用待定系数法时，所设形式要与已知条件匹配：已知顶点选顶点式、已知轴交点选交点式；否则方程组会变复杂甚至解不出。 ◆ 方法　求解析式后用第二、三个已知点回代检验（≠0、顶点/交点是否正确），可避免算错返工。 板块 3　　二次函数的图象与性质 的图象 1.图象：以原点为顶点、轴为对称轴的抛物线；开口向上，开口向下。 2.开口大小：越大抛物线越瘦（开口越窄），越小越胖（开口越宽）。 3.对称性：关于轴对称；顶点 (0,0) 既是最高点（）也是最低点（） 4.增减性：时递减、递增；时相反 的图象 1.图象：把的图象沿轴向上（）或向下（）平移个单位得到的抛物线。 2.对称轴：（轴）；顶点 。 3.最值：时，时。 4.增减性：平移规律：上加下减，只动顶点坐标，形状、开口方向、对称轴不变。 的图象 1.图象：把的图象沿轴向右（）或向左（）平移个单位。 2.对称轴：；顶点。 3.平移规律：左加右减，只动顶点坐标。 4.特殊点：与轴交于（顶点恰在轴上），与轴交于。 的图象 顶点式（标准式）：对称轴，顶点。 平移：先把经两步平移到，与上面规律一致。 开口方向与大小：仅由决定，开口向上、开口向下；决定开口宽度。 增减性：时递减、递增；时相反；顶点处取最值。 的图象 1.一般式化为顶点式：；对称轴，顶点（，）。 2.开口方向：开口向上有最小值；开口向下有最大值。 3.最值公式：；当时为最小值，时为最大值。 4.与轴交点：判别式Δ=；Δ>0两交点、Δ=0顶点在轴、Δ<0不相交。与轴交点：(0,)。 板块 4　　二次函数与一元二次方程的关系 1.本质：方程的根等价于函数图象与轴交点的横坐标。 2.三种情形：①时抛物线与轴有两个交点，方程有两个不等实根；②时抛物线与轴有一个交点（顶点恰在轴），方程有相等实根；③时无交点，方程无实根。 3.对称关系：若是两交点横坐标，则，（韦达定理的图象解读）。 4.应用：已知抛物线与轴交点个数或距离，反求参数范围（中字母系数的取值）。 板块 5　　实际问题中二次函数模型的建立 1.常见类型：①最大面积/最大利润/最大收益（顶点取最值）；②抛物线形运动轨迹（跳水、投篮、喷泉）；③桥梁/拱形建筑（跨度与高度）。 2.解题思路：①矩形/正方形/三角形中一边变动导致面积变化：面积=底×高，面积=长×宽，常化为形式。②抛物线形拱桥/拱门：方程设为 ，结合端点(0, 0)与顶点求。③抛物线形运动轨迹（如篮球、铅球、喷泉水柱）：水平距离为、竖直高度；高度与时间成函数关系。 3.一般步骤：①审题设元（设自变量与因变量）；②用二次函数表示与的关系；③配方或用顶点式求最值；④代回实际问题并写答。 4.自变量取值范围：必须由实际意义决定（如长度、面积为正，且≤总量限制）。 5.结果检验：最值是否落在自变量范围内；端点值与顶点值比较取实际最值。 二、综合训练 1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【答案】A 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、最高次为1次，不是二次函数，不符合题意； B、中为分式，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、中为分式，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 3．（2026九年级上·全国·专题练习）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点A，B，C代入抛物线解析式，求出，，，即可比较． 【详解】解：∵点，，都在抛物线上， ∴， ， ， ∴． 4．（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【答案】D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 5．（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 6．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且，解得． 7．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即，解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 8．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）已知函数是二次函数，则m的值为________． 【答案】 根据二次函数的定义，指数必须为2且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且，解得且 ∴ 故m的值为． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 且， 由得，∴ ， 由得，∴ ． 故答案为：． 10．（2025九年级·全国·专题练习）某果园有100棵橘子树，平均每棵橘子树结600个橘子．根据经验估计，每多种1棵橘子树，平均每棵橘子树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y，则果园里增种________棵橘子树时，橘子的总个数最多，最多为________． 【答案】10；60500 【详解】解：由题意，增种棵橘子树后，果园共有棵橘子树，每棵橘子树结个橘子，因此橘子总个数． ∵， ∴函数有最大值， ∵二次函数对称轴， ∴时，，为最大值． 故答案为：；． 11．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 12．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，抛物线的对称轴为直线，则______(填、或)． 【答案】 【分析】先将因式分解得到；由对称轴，顶点在x轴的下方可知，时函数值小于0；时函数值大于0，代入判断乘积正负． 【详解】解：． 当时，，由图，顶点横坐标为1，顶点在x轴下方， ． 当时，，从图象可知，对应点在x轴上方， ． ， 即， ． 13．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． ①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象过点得，再结合对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1进行判定求解． 【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ②∵对称轴为直线， 即， ∴，故结论②正确； ③∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故结论③错误； ④∵点，点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1， ，故结论斯正确． 综上所述，正确的结论共3个． 故答案为：3． 14．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得，解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质和解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键；先根据点 M 和 N 在函数图象上求出和的表达式，再代入不等式，并结合点 P 在函数上得到 p 的表达式，消去常数 d 后得到关于 k 的不等式组，解不等式组即可得到 k 的取值范围． 【详解】解：∵在二次函数 上， ∴． ∵在二次函数上， ∴． ∵， ∴． 又∵ 在二次函数上， ∴， 代入不等式得 ． 即 ． 解左边不等式 即， 因式分解得， 解得 或 ． 解右边不等式，即， 因式分解得，解得 ． 取交集，得或 ． 故答案为或 ． 16．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，下列结论：；；；．所有正确的结论有______．（填序号） 【答案】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的位置和与轴交点情况即可判断、、的符号，从而判断；根据对称轴是直线即可判断；根据抛物线与轴的交点情况即可判断；当时，根据图象即可判断． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故正确； ∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴，故正确； 当时，， ∴，故正确； 综上可得：正确． 17．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴交于点．现有下列4个结论：①；②；③；④（为实数且）．其中正确的结论有__________（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】根据图象开口方向判断的符号，结合对称轴判断与的关系，根据与轴交点判断的符号；利用对称性确定时的函数值符号；利用函数的最值性质判断不等式 . 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上 ， ， 对称轴为直线， ，故②正确； ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①错误； 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，即，故③正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，函数取得最小值， 当时，， ，即，故④正确 综上所述，正确的结论是②③④ . 18．（25-26九年级上·吉林四平·期末）如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得B的纵坐标为，把代入解析式确定A、B的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意B的纵坐标为， 把代入，得，解得， ∴，， ∴， 即水面宽度为． 故答案为：20． 19．（24-25九年级上·吉林松原·期末）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，根据以上信息可知主桥拱最高点与其在水中的倒影点之间的距离为__________米． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为米，则，且主桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解的值，将解析式化简为顶点式，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为米，则， ∴，解得，， ∴， ∴， ∴倒影点的坐标为， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为（米）， 故答案为：． 20．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，，解得， ， ∴水面宽度为米． 21．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 22．（2025九年级上·全国·专题练习）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．若设有x个房间空闲，则宾馆利润为y元．请你写出y与x的函数关系式____________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键，根据题意表示出每间房间的利润以及住满的房间数，进而得出答案． 【详解】解：当有x个房间空闲时，每个房间每天的定价为元，入住了个房间， 根据题意得：． 故答案为：． 23．（25-26八年级下·北京·期末）某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 【答案】； 【分析】（1）设安排加工A零件的工人人数为名，根据题意知加工C零件的工人人数为名，进而根据工人总人数为60名列方程求解即可； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名，根据题意列不等式得到，且x为正整数；分别求得生产A、B、C三种零件的总利润，则可得总利润且化简为，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设安排加工A零件的工人人数为名，因为加工A零件和C零件总数相等，且每名工人只能加工A零件3件或C零件1件，所以加工C零件的工人人数为名， 由题意得，解得， 所以安排加工A零件的工人人数为8名； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名， 满足：，即且， 即，解得， 同时x为正整数； 由题意，A零件总利润：， B零件总利润：，代入，得：， C零件总利润：， 总利润W为：， 展开并整理得， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为直线， 此时，且，符合条件； 所以加工B零件的人数为24名． 24．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知一次函数和二次函数图象交于两点A，B两点，且它们的横坐标分别是3，． (1)求一次函数的解析式． (2)设二次函数图象的顶点为C，求得面积． 【答案】(1)；(2)2 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题，求一次函数解析式，三角形的面积，解题的关键是求出点、的坐标． （1）根据A、B两点的横坐标求出A、B的坐标，然后将A、B两点的坐标代入一次函数关系式，求出一次函数的关系式即可； （2）画出图象，然后求出，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）解：∵A、B两点在上，横坐标分别是3、， ∴把，分别代入得：，， ∴A、B两点的坐标分别为：，， 把，代入得：，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图所示， 二次函数的顶点坐标为 当时， ∴ ∴ ∴． 25．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【答案】(1)当时，函数有最大值0；(2)6或1 【分析】（1）由题意得，由二次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解； （2）分、及三种情况，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的解析式为． ∴当时，函数有最大值0． （2）解：二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数值y的最大值为， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得（舍去）； 若，则函数的最大值为0，与题意不符． 综上所述，h的值是6或1． 26．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得，解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 27．（2026九年级上·全国·专题练习）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】先由题意得到抛物线的顶点式，再将点代入解析式解方程即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线经过点， ，解得， 则这个二次函数的解析式为． 28．（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，且B，C两点间的距离为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是线段上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，交抛物线于点F，过点F作轴，交y轴于点G，求四边形周长的最大值及此时点E的坐标． 【答案】(1)；(2)，四边形周长最大值为 【分析】（1）根据B，C两点间的距离为 ，求得点坐标，由待定系数法即可求解； （2）分两种情况讨论，即点在线段上，或点在线段上，设，列出四边形周长的表达式，利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得点在轴负半轴， 设， 根据勾股定理可得， 即，解得（正数舍去）， ， 设抛物线的解析式为， 把代入可得 ，解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设点，则， 当点在线段上时， 四边形周长， 当时，取得最大值，此时无法组成四边形，故不符合题意； 当点在线段上时， 四边形周长， 当时，四边形周长取最大值，为． 即时，四边形周长最大值为． 29．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，，；(2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 30．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，且在x轴上方，连接、，若的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，连接，求的最小值． 【答案】(1)；(2)或；(3) 【分析】本题考查待定系数法，求抛物线上点的坐标，二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）把点、、代入抛物线，求出a，b，c的值，即可解答； （2）设点（），根据求出y的值，再代入抛物线解析式，即可得到点P的坐标； （3）根据垂线段最短可得当垂直对称轴时，取得最小值，其值是点P到对称轴的距离，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、、三点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵，， ∴， 设点（），则， 即，解得， 将代入抛物线解析式，得，解得， ∴点P的坐标为或． （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∵点Q在对称轴上， ∴当垂直对称轴时，取得最小值，其值是点P到对称轴的距离，为． 31．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， (1)求的取值范围； (2)若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】(1)且.；(2)或. 【分析】（1）由是二次函数解析式可得，再由二次函数的图像与轴有两个交点可得，即可求出的取值范围； （2）设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（），由和根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：，综上：且． （2）解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 32．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据二次函数最小值、增减性等性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵ ， ∴ 函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴ 的取值范围是. 33．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和该二次函数的顶点坐标； (2)当时，求自变量的取值范围． 【答案】(1)的值为，该二次函数的顶点坐标为；(2)或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． ()根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标； ()根据和二次函数的性质，可以求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的顶点坐标为， 由上可得，的值为，该二次函数的顶点坐标为； （2）令，则：， ，解得， ∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上， ∴当时，或． 34．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，已知抛物线经过两点． (1)求抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)，；(2)；(3)或 【分析】（1）令解方程即可得到抛物线与轴的交点坐标； （2）根据二次函数的图象和性质即可得出答案； （3）设，则的高为，，由列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标． 【详解】（1）解：令，即，解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为， 当时，， ∴； （3）解：设，则的高为， ∵， ∴． ∵， ∴，解得：， 当时，即， 此时方程无解； 当时，即解得：或， ∴或． 35．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【分析】（1）根据直线的解析式求出点、的坐标，再根据抛物线的对称性求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称轴是，可以求出抛物线的最小值为，最大值为，即可得到的取值范围； （3）过点作直线轴，交直线于点，设点的坐标是，即可得到点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的性质可知当点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【详解】（1）解：当时，可得：，解得：， 点的坐标为， 设点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 可得：，解得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， 把点、、的坐标代入， 可得：，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时，； （3）解：设点的坐标是， 如下图所示，过点作直线轴，交直线于点， 则点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ，整理可得：， 当时有最大面积，最大面积是， 此时，即点的坐标是． 36．（25-26九年级上·江苏·课后作业）某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是． (1)试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； (2)如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式． 【答案】(1)（）；(2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据函数图象设出函数关系式，再将A点坐标代入求解即可求解； （2）设抛物线的表达式，将A点坐标代入即可求解． 【详解】（1）解：由已知可设抛物线的函数表达式是（其中． 抛物线经过了点 解得． 故所求的函数表达式为， 令，得或．不合题意，舍去）． 自变量的取值范围是． （2）解：原抛物线的顶点在坐标原点，开口向下，且过点， 所以设抛物线的表达式为， 则解得：， 故所求抛物线弧的函数表达式是． 37．（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 【答案】(1)一次，；(2)日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒；(3)45 【分析】（1）根据表格可得，当销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据题意得，，根据二次函数的性质求出w的最大值及对应的销售单价； （3）根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数； 设一次函数关系式为． 将，代入，得 可得解得 所以，与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即． 关于的二次函数开口向下，对称轴为． 所以，当时，可以取得最大值，最大值为． 所以，日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒． （3）解：由题意得， 整理得解得， ∴此时销售单价为45元/盒时更惠民． 38．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）根据背景素材，探索解决问题． 背景 某公司的一种商品，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（，且x为整数）元． 问题解决 任务1 当元时，该种商品的销售量为 件． 任务2 公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？ 任务3 当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 任务4 若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为 ． （利润销售利润补贴） 【答案】任务1：600；任务2：70或80元；任务3：售价为75元，有最大值，最大值为12500元；任务4：10 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式，并利用二次函数的性质得出最值． 任务1：根据题意列式计算即可； 任务2：设这种商品每件售价是元，根据等量关系“利润（售价进价） 销量”列出一元二次方程，解之可得． 任务3：设当售价为元时，该商店销售这种商品每天获得的利润为元，根据与任务2中相同的关系列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值． 任务4：根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】任务1：当元时，该种商品的销售量为件， 故答案为：600； 任务2：设这种商品每件售价是元， 根据题意，得， 解方程得：或， 即当每件的销售价为70或80元时，销售该商品每天能获得利润12000元； 任务3：设当售价为元时，该商店销售这种商品每天获得的利润为元， 由题意得： ∵，， ∴该函数图象为开口向下的抛物线，在对称轴处取得最大值， ∴每件销售价为75元时，获得最大利润；最大利润为12500元． 任务4：根据题意可得此时 ， ∵当销售价为70元时，利润最大， ∴， 解得：， 故答案为：10． 39．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加1辆．租出的车每月需维护费150元，未租出的车每月需维护费50元． (1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出 辆车．（直接填写答案） (2)设每辆车的月租金为x（）元，用含x的代数式填空． 未租出的车辆数 租出的车辆数 所有未租出的车每月的维护费 租出的车每辆的月收益 (3)每辆车的月租金定为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 【答案】(1)88；(2)；或；或；元；(3)当每辆车的月租金为4050元时，月收益最大，最大月收益为307050元 【分析】本题考查了列代数式，构造二次函数求最值，熟练掌握二次函数的最值是解题的关键． （1）根据题意，未租出车辆数为， 减法计算即可． （2）根据题意，得未租出的车辆数为；租出车辆数为：或；所有未租出的车每月的维护费为元；租出的车每辆的月收益元，解答即可． （3）设每个月的总收益为w元，每辆车的月租金为x（）元，根据题意，得，构造二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：根据题意，未租出车辆数为， 故租出车辆数为：． 故答案为：88． （2）解：根据题意，得，未租出的车辆数为； 租出车辆数为：或； 所有未租出的车每月的维护费为元； 租出的车每辆的月收益元． 故答案为：；或；或；． （3）设每个月的总收益为w元，每辆车的月租金为x（）元，根据题意，得， ， ∵， ∴W有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为307050， 答：每辆车的月租金定为4050元时，租车公司的月收益最大．最大月收益是307050元． 40．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元；(2)的值为或，收入与的新关系式为；(3)见详解 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3），理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴解得． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $