26.4实际问题与二次函数 2026-2027学年人教版九年级上册数学讲义

初中数学（RJ）九年级上册 26.4 实际问题与二次函数 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型；会用配方法或顶点式求最大值或最小值，并结合自变量取值范围确定实际最值；能处理常见二次函数实际问题（最大面积/利润、抛物线形轨迹、拱桥/拱门等）；会与几何（矩形/三角形/圆）结合建立与的二次函数关系；会检验自变量范围与实际意义，端点值与顶点值比较取实际最值。 二、知识梳理 知识点 1 　实际问题中二次函数模型的建立 1.常见类型：①最大面积/最大利润/最大收益（顶点取最值）；②抛物线形运动轨迹（跳水、投篮、喷泉）；③桥梁/拱形建筑（跨度与高度）。 2.一般步骤：①审题设元（设自变量与因变量）；②用二次函数表示与的关系；③配方或用顶点式求最值；④代回实际问题并写答。 3.自变量取值范围：必须由实际意义决定（如长度、面积为正，且≤总量限制）。 4.结果检验：最值是否落在自变量范围内；端点值与顶点值比较取实际最值。 知识点 2 　几何与几何应用中的二次函数 1.矩形/正方形/三角形中一边变动导致面积变化：面积=底×高，面积=长×宽，常化为形式。 2.抛物线形拱桥/拱门：方程设为 ，结合端点(0, 0)与顶点求。 3.抛物线形运动轨迹（如篮球、铅球、喷泉水柱）：水平距离为、竖直高度；高度与时间成函数关系。 三、典例精析 题型 1 　图形问题 ★ 点拨　求出边长后，利用面积公式进行计算，注意边长要大于0 1．（24-25九年级上·浙江·阶段检测）正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数，先求出正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵正方形的周长为C ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， 故选：A． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 3．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，，解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 题型 2 　图形运动问题　 ★ 点拨　运动中的图形要结合运动的时间、速度、路程三者之间的关系 1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让以的速度向左运动，当点与点重合时停止运动，则重叠部分的面积与时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，需注意的值的求法． 根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解，即可作答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积为． 故选：B． 2．（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 【答案】； 【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键．根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， 故答案为：，． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发，________时，的面积最大，最大面积是________．    【答案】3；9 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】解：设点P、Q移动的时间为，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：3，9 题型 3 　拱桥问题　 ★ 点拨　拱桥形状为二次函数图象，结合实际图象坐标系，一般以水面为横轴 1．（23-24九年级上·山西临汾·期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ）米． A．11 B．13 C．22 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中： 得到：，解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故选：D． 2．（2026·天津和平·二模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，，解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，，解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 3．（24-25九年级下·天津北辰·阶段检测）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为；②抛物线的解析式为；③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 【详解】解：①观察图形可知，， 即水面宽度为，故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为；故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为，故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的，故④错误． 故选：A． 题型 4 　喷水问题 ★ 点拨　结合图象，主要考察顶点 1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，把点、代入已知函数关系式，运用待定系数法求解，再化为顶点式即可 【详解】解：把点、代入， 得，解得． ∴抛物线的解析式为； ∴顶点坐标为， 故选A． 3．（24-25九年级上·山东威海·期中）广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解． 由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， ∴函数表达式为：， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 即水流喷出的最大高度为． 故选：B． 题型 5 　投球问题 ★ 点拨　在定点处取最值，并且注意自变量的取值范围。给出特殊自变量值求函数，给出函数值反求自变量 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为（    ） A．2m B．3m C．8m D．m 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，令，求解方程即可； 【详解】解：令，则，解得：（舍）， ∴他推出铅球的距离为m； 故选：D 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺混双冠军，羽毛球在空中行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（     ） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 【答案】A 【分析】求羽毛球最大高度即求二次函数的最大值，可化为顶点式求解． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为米． 3．（26-27九年级·全国·暑假作业）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别通过解方程求落地时间，配方求最大高度，代入计算函数值比较大小，逐一验证三个结论即可． 【详解】解：①：小球落地时高度，令， 得， 因式分解得，解得或， 为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要，①正确． ②：， ， 的最大值为，， 因此小球高度不可能达到，②错误． ③：当时，， 当时，， ， 因此小球运动时的高度大于运动时的高度，③错误． 综上，正确结论的个数是，故选B． 题型 6 　销售问题 ★ 点拨　核心公式：利润=单件利润×销售量 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润每件利润销售量”的数量关系． 先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润每件利润销售量”列出函数式． 【详解】解：商品原售价为10元，涨价元后，新售价为元， 商品进价为9元，因此每件利润为“售价进价”，即元， 原销售量为100件，每涨价1元销量减少10件，因此涨价元后，销售量为件， 利润每件利润销售量，代入得： 故选：C． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 3．（25-26九年级下·北京·开学考试）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴，解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴，整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 题型 7 　增长率问题 ★ 点拨　核心公式：终值=初值×（1±）2 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 3．（25-26九年级下·全国·课前预习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 4、 分层训练 1．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状． 【详解】解：过作于， 四边形为矩形， ， ， ∴， 四边形也是矩形， ，， ， ， 在上，在上， ，， ， 关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 2．（2024·山西朔州·三模）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得，设抛物线的表达式为．将代入，求出a的值，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 设抛物线的表达式为． 将代入，得，解得． 抛物线的表达式为． 令，则．解得，（不合题意，舍去）． 的长为． 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【详解】解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴，解得， 则的值可能是． 故选：B． 4．（2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可． 【详解】根据题意得 ， 抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”的含义．根据利润计算公式，每个商品的利润为售价减进货价，上涨元后每个商品的利润为元，销售数量因上涨元减少个，那么现在的销量为个，然后利用利润等于每个商品的利润乘以销售数量，列出式子即可． 【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元， 那么， 故选：B． 6．（2022九年级上·湖南永州·竞赛）道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【答案】5 【分析】利用待定系数法可求出；设获得的利润为W元，根据总利润每千克的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，，∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 7．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设， 把代入得：，解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 8．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）疫情期间，某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为，且售价x的取值范围是，则最大利润是______元． 【答案】35 【分析】该题考查了二次函数的应用，利润函数为二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，在对称轴左边，结合函数在内的增减性得出，最大值在处取得即可求解． 【详解】解：函数， 顶点横坐标为， ∴在对称轴左边， 由于抛物线开口向下，且， ∴在上，二次函数的值的增大而增大， 因此最大值在处取得， 当时，． 则最大利润是35元． 故答案为：35． 9．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：4． 10．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公园”，得到广大市民的一致好评．为确保绿地的质量，工作人员需要用喷灌喷水进行养护．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是____________米． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米，当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为， 将点代入，得：解得， ∴抛物线解析式为：， 令，则，解得，（不合题意，舍去）， ∴， ． 故答案为：20． 11．（21-22九年级上·辽宁葫芦岛·期末）某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，则这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为__________s； 【答案】6 【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点． 【详解】解：＝−（t−6）2＋91， ∵−＜0 ∴这个二次函数图象开口向下． ∴当t＝6时，升到最高点． 故答案为：6． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，是一个学生推铅球时，铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）的函数图象，观察图象，铅球到达最高点时距离地面________米，铅球被推出的距离是________米． 【答案】5；10 【分析】由图知，图象的最高点（顶点）的纵坐标代表铅球行进过程中的最大高度，图象与x轴的交点（时）的横坐标代表铅球落地时的水平距离，进而判断即可得解． 【详解】解：①观察函数图象，铅球行进的高度y随水平距离x的变化而变化，图象的最高点即为抛物线的顶点． 由图象可知，顶点的坐标为，其中，横坐标4表示铅球在水平距离为4米时达到最高点，纵坐标5表示此时的高度为5米，所以，铅球到达最高点时距离地面5米． ②铅球被推出的距离是指铅球落地时与起点的水平距离．当铅球落地时，其高度可为0． 观察图象，抛物线与x轴（即的直线）的交点坐标为，这表示当水平距离x为10米时，高度y变为0，即铅球落地，所以，铅球被推出的距离是10米． 13．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）把一根长为 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式为_______（写出自变量取值范围）． 【答案】 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式，弄清题意，找出题中的等量关系是解答此类题目的关键．根据矩形的面积长宽列出函数关系式即可． 【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为， 则面积，x 需满足 ． 故答案为：． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 14．（2022·浙江杭州·模拟预测）我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 【答案】5； 【分析】根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】解：设，则，面积为， 由图可得：， ∵， ∴， 又∵且， ∴， ∴当时，y取得最大值，此时． 15．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，动点E从点D出发向终点A运动，连接，以为边在上方作正方形，在点E运动的过程中，阴影部分的面积最小为_____________．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，正方形的性质，矩形的性质，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．设，矩形中，可得，由勾股定理可得，再由列出二次函数求解即可． 【详解】解：设， 在矩形中， ， ， ， ，， ∴当时，有最小值，为， 故答案为： 16．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)当时，四边形的面积为______． (2)当的长为多少时，四边形的面积最大？ 【答案】(1)12；(2) 【分析】本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法， （1）由，得到，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，代入即可解答； （2）设，四边形面积为S，由（1）可得，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设交于点， ∵四边形的两条对角线，互相垂直， 即， ∴ ； 故答案为：12； （2）解：设，四边形面积为S， 则， 由（1）得到， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时， ∴当时，四边形的面积最大． 17．（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B的坐标为．点D在边上，且．点M在线段上（不与点A，O重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求点N的纵坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)点N的纵坐标为；(2) 【分析】本题考查了图形与坐标，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数与图形运动综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合矩形的性质以及旋转的性质，得出，得出，故点N的纵坐标为； （2）与（1）同理得，点N的纵坐标为，得出，则四边形面积，代入数值计算，得出四边形面积，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：过点N作于T，如图所示： ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点N的纵坐标为； （2）解：设点，其中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 与（1）同理得，点N的纵坐标为； ∴，， ∴， 四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，且为． 18．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，设菜园垂直于墙的一边长为． (1)当的长为多少时，菜园的面积为？ (2)当的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 【答案】(1)当时，菜园的面积为；(2)当时，菜园的面积最大，最大面积为 【分析】（1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为 ，根据题意列出方程，即可求解； （2）设菜园的面积为 ，根据题意得，利用二次函数的最值，即可求解． 本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，明确题意，得到等量关系，注意配方法求最值在实际中的应用． 【详解】（1）解：∵，则平行于墙的一边长为，根据题意得 ，解得，， ， ， 不符合题意． 答：当时，菜园的面积为． （2）解：设菜园的面积为， ， 当时，菜园的面积最大，最大面积为． 19．（22-23九年级上·山东日照·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式和直线的解析式； (2)如图①，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，同时，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，当，中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接，设运动时间为秒，当为何值时，与相似． (3)如图②，动点在直线上方，且在抛物线上，求出的最大面积，并指出此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为；(2)或；(3)的面积的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）将，代入，用待定系数法即可求解； （2）由题意得，，，当时，，或当时，，由此即可求解； （3）过点作轴，垂足为，交与点，设点的坐标为，则，即可求出的最大值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ，解得． ∴抛物线的解析式为． 设直线的解析式为，将点和点的坐标代入得，，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由题意得：，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，，或当时，， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得． 综上所述可知当或时，与相似． （3）解：如图所示：过点作轴，垂足为，交与点． 设点的坐标为，则， ∴． ∴当时，有最大值，即的面积有最大值，的最大值为， ∴． ∵的面积． ∴的面积的最大值为，此时点的坐标为． 20．（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． (1)请求出抛物线的解析式． (2)跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 【答案】(1)；(2)2米或4米 【分析】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键． （1）根据题意，假设出来抛物线的顶点解析式，然后利用待定系数法即可求解； （2）利用函数值，求自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为， 将点代入中，得， 该抛物线的解析式是． （2）解：将代入，解得，， 小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方． 21．（2026·河南商丘·一模）【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动． 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到地面的距离为，和垂直于地面，高度均为． 【问题解决】 (1)求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（含挂线），灯笼悬挂点，到最高点的水平距离均为． ①求灯笼底端到地面的距离． ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校．若货车的高为，宽为，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）． 【答案】(1)；(2)①；② 【分析】（1）由题意，得点的坐标为，点的坐标为，设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为，根据求出，即可求出函数解析式； （2）①根据题意可知点的横坐标为，将代入函数解析式求出点的纵坐标，减去灯笼的长即可； ②先判断出悬挂灯笼影响进车，令，求出此时x的值，再用原灯笼悬挂点到最高点的水平距离减去x的值即可． 【详解】（1）解：∵，为的中点， ∴ 由题意，得点的坐标为，点的坐标为． 设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得，解得． 大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为． （2）解：①灯笼悬挂点到最高点的水平距离为， 点的横坐标为． 当时，． ． 灯笼底端到地面的距离约为． ②由①得灯笼底端到地面的距离为，且， 悬挂灯笼影响进车． 令，得，解得（负值已舍去）． ． 需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离约为． 22．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得，解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 23．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】(1)；(2)见详解 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：，解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； （2）解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 24．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口距离地面，距离大楼起火侧面，喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处距离地面，距离大楼起火侧面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求水柱所对应的抛物线解析式； (2)若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为，窗户底端到地面的距离为，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？ 【答案】(1)；(2)能 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）令，求出的值，再与和进行比较即可得解． 【详解】（1）解：依题意，得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，则，， ∴云梯消防车此时所在位置喷出的水能射进起火窗户内． 25．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 【答案】(1)；(2)小军第一次投掷实心球不能得满分 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得即可； （2）令，解得，与比较即可． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入， 得，解得． ∴本次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）解：令，解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ，即， ， ∴小军本次投掷实心球不能得满分． 26．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】(1)，；(2)；(3)销售单价定为90元时，商场可获得最大利润 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与的函数关系式为，然后由图像可把点代入进行求解即可； （2）根据（2）及利润=单个利润×总的销售量即可求解； （3）由（2）结合二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，由题意， 得，解得， 与的函数关系式为， 成本为60元，获利不超， ； （2）解：由题意，得： ； （3）解：由（2），得， ， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值900， 答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润． 27．（25-26九年级上·陕西延安·期中）某商场以每个30元的进价购进某品牌玩具进行销售．根据调查发现，每个玩具的售价为40元时，每周的销售量为600个，每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个．设这种品牌玩具的销售单价上涨x元． (1)这种品牌玩具的销售量为______个；（用含x的代数式表示） (2)①若商场销售该品牌玩具每周获得的利润为y元，求y与x的函数关系式； ②当该品牌玩具的销售单价上涨多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)；(2)①y与x的函数关系式为；②当该品牌玩具的销售单价上涨元时，每周的销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个”可进行求解； （2）①根据（1）及题意可直接进行求解； ②由①中函数解析式可得开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：这种品牌玩具的销售量为个； 故答案为； （2）解：①由题意得：； ∴y与x的函数关系式为； ②由①可知：y与x的函数关系式为， ∴开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为； 答：当该品牌玩具的销售单价上涨元时，每周的销售利润最大，最大利润是元． 28．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元；(2)制作A品100件，B品200件时总利润最大 【分析】（1）设制作一件B品的成本为a元，则制作一件B品的成本为元，根据“用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等．”列出方程，即可求解； （2）根据题意，列出w关于x的函数关系式，再求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为元，根据题意得： ，解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：根据题意得：A品的销量为：件，B品的销量为：件， 则， ∵制作A品和B品的总成本不超过1400元， ∴，解得：， ∵且，解得：， ∴， ∵，且， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为4800， 此时， 即制作A品100件，B品200件时总利润最大． 29．（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算：(1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立：(2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计：(3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元；(2)；(3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：，解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴，解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 30．（2026·四川雅安·一模）综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 【答案】(1)此月平均增长率为；(2)①每架迷你无人机的售价应降低元；②要想获得利润最大，售价应定为元． 【分析】（1）设此月平均增长率为x，根据1月和3月的销量建立方程求解即可； （2）①设每架迷你无人机的售价应降低m元，根据利润（售价进价）销售量建立方程求解即可；②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元，根据利润（售价进价）销售量列出W关于n的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设此月平均增长率为x， 由题意得，，解得或（舍去）， 答：此月平均增长率为； （2）解：①设每架迷你无人机的售价应降低m元， 由题意得，，整理得， 解得或， ∵需要尽量减少库存， ∴， 答：每架迷你无人机的售价应降低元； ②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为1250， 此时， 答：要想获得利润最大，售价应定为元． 31．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）【项目式学习】 项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战 项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究． 素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒． 素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 任务—：理解与计算 （1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒． （2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米． 任务二：应用与推理 （3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时） 任务三：设计与分析 （4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见详解 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据素材一得，将数据代入计算即可； （2）根据素材三和素材二，将数据代入求出，即可得到； （3）根据“速度＝路程÷时间”建立函数关系式即可； （4）求出安全停车的路程，再与千米比较即可； 正解理解题意，确定各数量的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，千米/小时米/秒，米/秒， ∴（秒）， ∴从静止加速到最高速度所需的时间秒， 故答案为：； （2）由（1）知：，，， ∴（米）， ∵米千米 ∴列车从静止加速到最高速度所需的最小路程千米， 故答案为：； （3）∵加速和减速时间都是秒且加减速路程都是千米， ∴加速和减速的总时间为秒小时， ∴匀速行驶的时间为小时，匀速行驶的路程为千米，速度为千米/小时， ∴， ∴， ∴列车全程行驶的时间的表达式为； （4）∵，千米/小时米/秒， 米/秒， ∴（秒）， ∴（米）（千米）， ∵千米千米 ∴列车不能安全停车． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 26.4 实际问题与二次函数 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型；会用配方法或顶点式求最大值或最小值，并结合自变量取值范围确定实际最值；能处理常见二次函数实际问题（最大面积/利润、抛物线形轨迹、拱桥/拱门等）；会与几何（矩形/三角形/圆）结合建立与的二次函数关系；会检验自变量范围与实际意义，端点值与顶点值比较取实际最值。 二、知识梳理 知识点 1 　实际问题中二次函数模型的建立 1.常见类型：①最大面积/最大利润/最大收益（顶点取最值）；②抛物线形运动轨迹（跳水、投篮、喷泉）；③桥梁/拱形建筑（跨度与高度）。 2.一般步骤：①审题设元（设自变量与因变量）；②用二次函数表示与的关系；③配方或用顶点式求最值；④代回实际问题并写答。 3.自变量取值范围：必须由实际意义决定（如长度、面积为正，且≤总量限制）。 4.结果检验：最值是否落在自变量范围内；端点值与顶点值比较取实际最值。 知识点 2 　几何与几何应用中的二次函数 1.矩形/正方形/三角形中一边变动导致面积变化：面积=底×高，面积=长×宽，常化为形式。 2.抛物线形拱桥/拱门：方程设为 ，结合端点(0, 0)与顶点求。 3.抛物线形运动轨迹（如篮球、铅球、喷泉水柱）：水平距离为、竖直高度；高度与时间成函数关系。 三、典例精析 题型 1 　图形问题 ★ 点拨　求出边长后，利用面积公式进行计算，注意边长要大于0 1．（24-25九年级上·浙江·阶段检测）正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数，先求出正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵正方形的周长为C ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， 故选：A． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 3．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，，解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 题型 2 　图形运动问题　 ★ 点拨　运动中的图形要结合运动的时间、速度、路程三者之间的关系 1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让以的速度向左运动，当点与点重合时停止运动，则重叠部分的面积与时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，需注意的值的求法． 根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解，即可作答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积为． 故选：B． 2．（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________时，四边形，的面积最小，其最小值是________． 【答案】； 【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键．根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， 故答案为：，． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发，________时，的面积最大，最大面积是________．    【答案】3；9 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】解：设点P、Q移动的时间为，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：3，9 题型 3 　拱桥问题　 ★ 点拨　拱桥形状为二次函数图象，结合实际图象坐标系，一般以水面为横轴 1．（23-24九年级上·山西临汾·期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ）米． A．11 B．13 C．22 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中： 得到：，解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故选：D． 2．（2026·天津和平·二模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，，解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，，解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 3．（24-25九年级下·天津北辰·阶段检测）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为；②抛物线的解析式为；③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 【详解】解：①观察图形可知，， 即水面宽度为，故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为；故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为，故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的，故④错误． 故选：A． 题型 4 　喷水问题 ★ 点拨　结合图象，主要考察顶点 1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，把点、代入已知函数关系式，运用待定系数法求解，再化为顶点式即可 【详解】解：把点、代入， 得，解得． ∴抛物线的解析式为； ∴顶点坐标为， 故选A． 3．（24-25九年级上·山东威海·期中）广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解． 由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， ∴函数表达式为：， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 即水流喷出的最大高度为． 故选：B． 题型 5 　投球问题 ★ 点拨　在定点处取最值，并且注意自变量的取值范围。给出特殊自变量值求函数，给出函数值反求自变量 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为（    ） A．2m B．3m C．8m D．m 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，令，求解方程即可； 【详解】解：令，则，解得：（舍）， ∴他推出铅球的距离为m； 故选：D 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺混双冠军，羽毛球在空中行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（     ） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 【答案】A 【分析】求羽毛球最大高度即求二次函数的最大值，可化为顶点式求解． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为米． 3．（26-27九年级·全国·暑假作业）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别通过解方程求落地时间，配方求最大高度，代入计算函数值比较大小，逐一验证三个结论即可． 【详解】解：①：小球落地时高度，令， 得， 因式分解得，解得或， 为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要，①正确． ②：， ， 的最大值为，， 因此小球高度不可能达到，②错误． ③：当时，， 当时，， ， 因此小球运动时的高度大于运动时的高度，③错误． 综上，正确结论的个数是，故选B． 题型 6 　销售问题 ★ 点拨　核心公式：利润=单件利润×销售量 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润每件利润销售量”的数量关系． 先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润每件利润销售量”列出函数式． 【详解】解：商品原售价为10元，涨价元后，新售价为元， 商品进价为9元，因此每件利润为“售价进价”，即元， 原销售量为100件，每涨价1元销量减少10件，因此涨价元后，销售量为件， 利润每件利润销售量，代入得： 故选：C． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 3．（25-26九年级下·北京·开学考试）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴，解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴，整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 题型 7 　增长率问题 ★ 点拨　核心公式：终值=初值×（1±）2 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 3．（25-26九年级下·全国·课前预习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 4、 分层训练 1．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山西朔州·三模）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2022九年级上·湖南永州·竞赛）道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 7．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 8．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）疫情期间，某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为，且售价x的取值范围是，则最大利润是______元． 9．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 10．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公园”，得到广大市民的一致好评．为确保绿地的质量，工作人员需要用喷灌喷水进行养护．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是____________米． 11．（21-22九年级上·辽宁葫芦岛·期末）某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，则这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为__________s； 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，是一个学生推铅球时，铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）的函数图象，观察图象，铅球到达最高点时距离地面________米，铅球被推出的距离是________米． 13．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）把一根长为 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式为_______（写出自变量取值范围）． 14．（2022·浙江杭州·模拟预测）我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 15．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，动点E从点D出发向终点A运动，连接，以为边在上方作正方形，在点E运动的过程中，阴影部分的面积最小为_____________．    16．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)当时，四边形的面积为______． (2)当的长为多少时，四边形的面积最大？ 17．（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B的坐标为．点D在边上，且．点M在线段上（不与点A，O重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求点N的纵坐标； (2)求四边形面积的最大值． 18．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，设菜园垂直于墙的一边长为． (1)当的长为多少时，菜园的面积为？ (2)当的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 19．（22-23九年级上·山东日照·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式和直线的解析式； (2)如图①，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，同时，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，当，中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接，设运动时间为秒，当为何值时，与相似． (3)如图②，动点在直线上方，且在抛物线上，求出的最大面积，并指出此时点的坐标． 20．（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． (1)请求出抛物线的解析式． (2)跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 21．（2026·河南商丘·一模）【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动． 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到地面的距离为，和垂直于地面，高度均为． 【问题解决】 (1)求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（含挂线），灯笼悬挂点，到最高点的水平距离均为． ①求灯笼底端到地面的距离． ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校．若货车的高为，宽为，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）． 22．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 23．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 24．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口距离地面，距离大楼起火侧面，喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处距离地面，距离大楼起火侧面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求水柱所对应的抛物线解析式； (2)若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为，窗户底端到地面的距离为，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？ 25．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 26．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 27．（25-26九年级上·陕西延安·期中）某商场以每个30元的进价购进某品牌玩具进行销售．根据调查发现，每个玩具的售价为40元时，每周的销售量为600个，每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个．设这种品牌玩具的销售单价上涨x元． (1)这种品牌玩具的销售量为______个；（用含x的代数式表示） (2)①若商场销售该品牌玩具每周获得的利润为y元，求y与x的函数关系式； ②当该品牌玩具的销售单价上涨多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 28．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 29．（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算：(1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立：(2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计：(3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 30．（2026·四川雅安·一模）综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 31．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）【项目式学习】 项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战 项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究． 素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒． 素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 任务—：理解与计算 （1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒． （2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米． 任务二：应用与推理 （3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时） 任务三：设计与分析 （4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $