2.3.3 直线的交点坐标与距离公式 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.3　直线的交点坐标与距离公式 教学目标 （1）理解点到直线的距离的概念，会利用垂线段刻画点到直线的距离，掌握点到直线的距离公式并能正确运用公式求距离。 （2）理解距离公式中各记号的含义。 （3）会判断点与直线的位置关系。 （4）通过从定义出发和向量投影两种方法推导距离公式，经历抽象概括活动，体会数形结合与向量方法的优势，培养逻辑推理和数学运算能力，增强数形结合意识。 教学重难点 教学重点：掌握点到直线的距离公式的推导方法，并能灵活运用公式求点到直线的距离及解决相关面积问题。 教学难点：利用向量投影方法推导点到直线的距离公式，理解投影向量的作用。 教学准备 PPT 课件 教学流程设计 一 问题引入 客观世界中，测量一个目标到一条公路的垂直距离、计算一个村庄到一条河流的最短路径、确定一个信号塔到一条输电线路的安全间距等实际问题，都可以归结为求一个定点到一条定直线的距离。当直线用一般方程表示、点用坐标表示后，如何用一个代数公式精确计算这个距离，就是本课要研究的核心问题。 问题1：初中已学过的点到直线的距离的定义是什么？你能举出一个具体实例吗？ 师生活动：回顾垂线段定义，举例说明。 教师活动：强调距离本质，设问引入新课。 二 创设情境，探究发现 （一）点到直线的距离的概念 1 情境1：问题1 已知点和直线，如何求点到直线的距离？从定义出发，距离就是垂线段的长度，需要先求出垂足的坐标，再用两点间距离公式计算。 关键要素：点的坐标和直线的方程是两个基本要素。 对应关系的确定性：给定点和直线后，垂足唯一，距离值唯一确定。 情境2：如图1，直观展示点到直线的垂线段，其中为垂足，距离即为线段的长度。 关键要素：垂线与直线垂直，为垂足。从图形可直观看出，当点的位置或直线的方程发生变化时，垂线段的长度也随之变化。 对应关系的确定性：对于给定的点和直线，垂足唯一存在，距离值唯一确定。 情境3：用向量方法刻画距离，距离为向量在法向量上投影向量的模。 关键要素：取直线上任意一点，取与直线方向向量垂直的单位法向量，距离为。 对应关系的确定性：无论点在直线上取哪个位置，投影向量的模都相同，距离值唯一确定。这是因为法向量固定后，投影只依赖于点到直线的位置关系，与的选取无关。 教师活动：引导学生比较三种情境，组织讨论：三种方法分别从什么角度刻画点到直线的距离？它们有什么共同特征？哪种方法的运算更简便？请同学们关注运算过程的繁简差异，思考简化运算的途径。 学生活动：分组讨论后归纳：三种方法都把点到直线的距离转化为可计算的量，共同特征是给定点和直线后距离唯一确定，向量方法避免了求垂足坐标的复杂运算。 教师补充：引导学生反思第一种方法中引起复杂运算的原因。 学生回应：求垂足坐标需要解二元一次方程组，再将结果代入两点间距离公式，式子繁琐，整体运算量较大。 教师追问：能否绕过垂足直接求距离？ 学生思考：利用向量投影可以绕过求垂足坐标这一步骤，直接计算距离，因为投影向量的模只与点和直线的方程有关，从而有效简化了运算过程。 教师总结：向量投影方法更为简洁高效。 2 交流形成概念： 在教师启发下，归纳上述各情境中点到直线距离的共同属性如下。 （1）都涉及一个定点和一条定直线两个基本要素。 （2）距离的本质都是从点到直线的垂线段的长度。 （3）无论采用定义法还是向量投影法，给定点的坐标和直线的方程后，距离值都被唯一确定，与中间变量如直线上点的选取无关。 定义：点到直线的距离为。其中、不同时为零，即。可以验证，当或时，即直线为水平直线或竖直直线时，上述公式仍然成立，这说明该公式适用于任意位置的直线。 公式中分子表示将点的坐标代入直线方程左端后取绝对值，其几何意义是点相对于直线的偏移程度的度量。当点在直线上时，分子为零，距离为零，这与直观认识一致。当点不在直线上时，分子为正数，距离为正数。 公式中分母是直线法向量的模，起到归一化作用，使得距离值与直线方程系数的缩放无关。将直线方程两边同乘非零常数后，分子分母同比例变为原来的倍，距离值不变。 此外，公式中的绝对值符号保证了距离的非负性，即，这与距离的几何意义一致。利用该公式可以直接计算任意点到任意直线的距离，无需先求垂足坐标，大大简化了运算。 3 变式思考，解决问题 （1）如图2，下列各式中，能正确表示点到直线的距离的是（　） A．　B． C．　D． 分析：本题考查点到直线距离公式的直接应用，需正确识别公式中分子和分母的结构。 解：第一步，确认点的坐标和直线的系数，其中、、。第二步，将坐标和系数代入距离公式，得。第三步，对比各选项，选项A与计算结果一致，选项B分母未开根号，选项C缺少绝对值符号，选项D分子中常数项符号错误。 答案： （2）如图3，在三角形中，、、，下列用点到直线距离公式求边上的高的是（　） A．　B． C．　D． 分析：本题考查点到直线距离公式在求三角形高中的应用，需先求边所在直线方程，再求点到该直线的距离。 解：第一步，由、两点坐标，利用两点式求边所在直线方程为。第二步，边上的高就是点到直线的距离，代入公式得。第三步，对比各选项，选项B与计算结果一致，选项A代入点的坐标而非点的坐标，选项C直线方程常数项符号错误，选项D分母未开根号。 答案： （二）点到直线的距离的三要素 包括：点、直线、距离。 （三）常见距离公式的相关要素 同一距离定义：当且仅当满足以下两个条件时，两个表达式表示同一点到直线的距离：（1）所给点与直线相同；（2）距离值相等。 如图4，直观展示距离的唯一性。 （四）延伸 例． 点到直线的距离公式是舍弃了具体物理背景后抽象出来的数学模型，它可以广泛刻画一类关系：只要给定一个点的坐标和一条直线的方程，就可以用公式精确计算距离。例如，在求三角形面积时，将一边所在直线看作定直线，对边顶点看作定点，直接套用距离公式即可求出高，进而求出面积。这种方法避免了复杂的几何作图，体现了代数方法解决几何问题的优势。 试构建一个问题情境，使其中的距离关系可用公式描述。 （五）小结及作业 你学到了哪些求距离的方法？体会了什么数学思想？ 学科网（北京）股份有限公司 $