2.3 直线的交点坐标与距离公式-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二章直线和圆的方程静 2.3直线的交点坐标与距离公式 重点和难点 课标要求 1.掌握两条直线的交点坐标 重点：两直线的交点坐标，点到直线的距离公式： 2.掌握两点间的距离公式. 难点：点到直线的距离公式的推导 3.掌握点到直线的距离公式. 4.理解两条平行直线间的距离公式. LHBIA 必备知识梳理 1AABB1101111111111011101111110011111101101101111111110111011011011 基础梳理 知识点1 两条直线的交点 1.两条直线的交点及交点坐标 划重点 已知两条不重合的直线L1:A1x十B1y十C1=0(A1,B1不同 将两条直线的方程联立，得 A1x+B1y+C1=0, 时为0)，l2:A2x十B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)，如果这两条 方程组 A2x+B2y+C2=0. 直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标就是这两个 方程组有唯一解，则两条直线相 方程联立所得的方程组的唯一解。◆重直 交，此解就是交点的坐标；若方 程组无解，则两条直线无公共 2.方程组解的数量与两条直线的位置关系 ,点，此时两条直线平行；若方程 组有无穷多解，则两条直线重合 A1x+B1y+C1=0, 方程组 的解 唯一解 无数解 无解 A2x+B2y+C2=0 直线1与12的公共点个数 1个 无数个 0个 敲黑板⊙ 直线1与l2的位置关系 相交 平行 (1)利用两，点间距离公式可以 重合 将有关的几何问题转化成代数问题 (此时方程组中的两个方程可化成同一个方程) 进行研究，如√(x十1)严十y-1D 知识点(2两点间的距离 可看作点(x,y)与点(-1,1)之 P1(x1,y1),P2（x2,y2)两点间的距离公式|P1P2= 间的距离 (2)已知斜率为k的直线上 √(x2一x1)十（小y2一y1)严，如图1.◆题黑顿 的两点P1(x1y1),P2(x2y2),由 (两点间的距离公式与两，点的先后顺序无关) 两，点间的距离公式可得P1Pz= 特别地，(1)原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离OP|= √(x2-x1)2+y2-y1)=|x2 √x2+y2; x1|·√1+k2=|y2-y1· (2)当P1P2平行于x轴时，|P1P2=|x2一x1,如图2； √小十后≠0)，道也是以后在 (3)当P1P2平行于y轴时，|P1P2=|y2-y1,如图3. 解析几何中经常会用到的弦长 公式 (这两种特殊情形可以由公式得到，也可以由图形更加直观地看出来) 57 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA ky 1P(x2y,) P(x2,y2） P() P(x2,y2） HPQl=y-y Q Px1,y） P(x,y） PQ=x-7 图1 图2 图3 划重点 知识点(3点到直线的距离公式 (1)公式的特征： (1)定义 (分子：将点的坐标代入直 线方程的左边，加绝对值) 点P。到直线1的距离是指从点P。到直线l的垂线段PQ Azo+Byo+CI 的长度，其中Q为垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与 √A+B 直线外该点的连线的最短距离： ↓ (分母：直线方程中x,y系数 (2)公式 平方和的算术平方根) 已知一个定点P(xo,yo),一条直线为l:Ax十By十C=0,则 (2)适用条件：应用此公式 定点P到这条直线1的距离为d=A。十By+C 时，若给出的直线方程不是一般 ◆划重点。 √A2+B2 式，则应先把方程化为一般式， 再利用公式求解」 (3)点到几种特殊直线的距离 ①点P(xo,yo)到x轴的距离d=|yo; ②点P(xo,yo)到y轴的距离d=|xo; 敲黑板⊙ ③点P(xo,yo)到与x轴平行的直线y=b(b≠0)的距离d= (1)两条平行直线间的距离 |y0一b;(通过画出草图能直观得到)》 公式适用于两条直线的方程都 ④点P(xoyo)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d= 是一般式，并且x,y的系数分 别对应相等的情况，否则必须先 lxo-al. 将系数化为对应相等才能套用 知识点(4两条平行直线间的距离公式 公式 (1)定义 (2)两条平行直线间的距离 可以转化为点到直线的距离！ 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段 (3)①两直线都与x轴垂 的长。 直时，l1:x=x1,l2:x=x2,则 (2)公式 d=x2-x1; 设有两条平行直线l1:Ax十By+C1=0,l2:Ax+By+C2= ②两直线都与y轴垂直 时，l1:y=y1,l2:y=y2,则d= |C1-C2 0,则它们之间的距离为d= 敲黑板。 y2-y1. √JA2+B2 重难拓展 重难点1坐标法（或解析法） 1.坐标法的定义 通过建立平面直角坐标系，设出已知点的坐标，表示出未知点 的坐标，把几何问题转化为代数问题，从而通过代数运算解决几何 58 第二章直线和圆的方程 问题，这种解决问题的方法叫作坐标法，也称为解析法.心划重点 划重点 2.坐标法解决问题的一般步骤 建立适当的平面直角坐标 (1)建立适当的平面直角坐标系； 系对简化计算很重要，建立平面 (2)设出已知点的坐标，表示出未知点的坐标； 直角坐标系应遵循以下原则： (3)利用已学的坐标公式列出方程（组），通过计算得出代数结论； (1)要使尽可能多的已知，点 (4)得到几何问题的结论， 落在坐标轴上，这样便于计算， 用框图表示如图. (2)如果图形中有互相垂直 几何问题 建立坐标系 代数问题 的两条线段，可以考虑将其所在 直线作为坐标轴； 几何结论 代数结论 (3)如果图形具有中心对称 性，可以考虑将图形的中心作为 例①在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2+ 坐标原点； 1ACI2=2(|AD12+|DC12). (4)如果图形具有轴对称性， 证明以D为原点，BC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示 可以考虑将对称轴作为坐标轴】 设A(b,c),C(a,0),B(一a,0) 因为|AB12=(a+b)2+c2,|AC2=(a-b)2+ (-c)2,lAD12=b2+c2,|DC|2=a2, 所以|AB|2+|AC12=2(a2+b2+c2),|AD2+B 1DC12=a2+b2+c2, 所以|AB2+|AC2=2(AD12+|DCI2). 拓视野⊙ 重难点②过两条直线交点的直线系方程 点斜式y一y0=(x一xo) 例2[回归教材P80T16]已知入为任意实数，当入变化时， 和斜截式y=kx十b都是交点 方程3x十4y一2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何 直线系方程。 特点？ ①将点斜式整理为y一y。 解析当入变化时，方程3x十4y一2十入(2x十y十2)=0表示直线，这些 (x一xo)=0,对照交点直线 直线都经过直线3x十4y一2=0与直线2x十y十2=0的交点（一2,2）. 系方程，其中入就是一，y一y0 深挖教材 =0是直线L1,x-x0=0是直 过两条直线交点的直线系方程 线L2,故y-y0=k(x-x0)是 设直线l1:A1x十B1y十C1=0与直线l2:A2x十B2y十C2=0相交， 过点(xo,y0)除x=x0外的所 则过L1,l2的交点的直线系方程为A1x十+B1y十C1十入(A2x十B2y十C2) 有直线.餐得 =0(其中入为参数). ②同①可说明直线系方程 (注意，此时直线系中不包括直线1) y=kx十b(b为已知，k为参数) 上面的直线系方程可以改写为m(A1x十B1y十C1)十n(A2x十B2y 是过点(0，b)除x=0(即y轴) (此为斜载式下直线 十C2)=0(其中m,n为参数，且m2十n2≠0).◆扬视野D 一所过定点的坐标) (当m=1,n=0时，此方程即为直线l1的方程；当m=0,n=1时，此方程即为直 外的所有直线。 线12的方程) 变式①(2026·浙江宁波宁海中学检测)若直线1经过两直 线2x一3y一3=0和x十y十2=0的交点，且斜率为一3，则直线L 的方程为 59 重难点手册高中数学选择性必修 第一册 RJA VIABAAI1IIIAA11I11111011101111111111111111111111111111111111011113111111101111 关键能力提升 111111目111ii111 题型1直线的交点问题 (2)特殊解法（直线系法）：先设出过两直 1.直线交于同一点 线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系 例3若直线11：x十2y一4=0与直线12： 数法求出参数，最后确定直线方程」 kx一y+2k十1=0的交点位于第一象限，则实 例④(2026·湖北武汉六中月考)已知直 数k的取值范围是(). 线l经过直线2x-y一3=0和4x-3y一5=0 A(-62》 的交点P,且垂直于直线x十y一2=0，则直线 L的方程为 B(2副 解析方法一 由/2xy-3= 得=2， "4x-3y-5=0y=1, c(-o,2)u(2+ 即点P的坐标为(2,1). 因为直线1与直线x十y一2=0垂直， D(o,2》u(6,+∞） 所以直线1的斜率为1. 由点斜式得直线1的方程为y一1=1·(x一2)， 解析（题干给出两直线的交点在第一象限，故可考虑先 即x-y-1=0. 由两条直线的方程求出它们的交，点坐标》 方法二直线1的方程可设为2x一y-3十入(4x一 |x+2y-4=0,① 联立 3y一5)=0（其中为常数）， kx-y+2k+1=0,② 即(2+4)x-(1+3λ)y-5λ-3=0. 由①得x=4-2y,代入②得k(4-2y)-y+2k 因为直线1与直线x十y一2=0垂直， +1=0, 整理得-(2k十1)y十6k十1=0，解得y= 6k+1 所以2+ 1+3λ ·（-1)=-1,解得λ=-1. 2k+1’ 故直线1的方程为x一y一1=0. 所以x=4-2y=4-2· 6k+12-4k 2k十12k+1' 答案x-y-1=0. 故11与l2的交点为A /2-4k6k+1\ 题型(2两点间距离公式的应用 2k+1'2k+1/ 2-4k、 1.求两点间的距离问题 2k+1>0, ③ 对于任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的 因为点A在第一象限，所以 特0 ④ 距离公式AB=√(x2一x1)十(y2-y1),习 由③得(2-4k)(2k+1)>0, 惯上是用第二个点的坐标减去第一个点相应 的坐标.当两点确定的直线垂直于x轴或y轴 所以(4k-2)(2k十1)<0，解得一 ⑤ 时，A,B间的距离可直接用两点的纵坐标或横 由④得(6k十1)(2k+1)>0,解得<- 或> 坐标之差的绝对值求出. 例⑤已知直线l1:x十2y一10=0，l2: 日，结合⑤得-日<k<2 2x-y-10=0,l3:(a+1)x+(2-a)y+a+ 答案A 10=0(a∈R),l1与l2相交于点M. 2.过两直线交点的直线系方程的应用 (1)若l3过点M,求a的值； (1)常规解法（方程组法）：一般是先解方 (2)设直线l3过定点N,求MN. 程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线 解析(1)（观察发现1，l2不含参数，它们的交点坐标容 方程 易求出，将交，点坐标代入l的方程，即可求出a) 60 ,第二章直线和圆的方程 联立区+2)-10=0解得=6所以M(6,2. 2x-y-10=0, 。=4或-9 y=2, 代入l3的方程得(a+1)·6十(2-a)·2+a+ 答案C 10=0,解得a=-4. 变式2(1)已知直线1与两直线11：2x一 (2)直线l3的方程可化为a(x-y+1)十(x+ y十3=0和l2:2x一y一1=0平行且距离相 红一y+1=0,.得2 x=一4， 2y+10)=0,令 所以 等，求1的方程； x+2y+10=0,y=-3, (2)已知直线l1过点A(0,1),l2过点 N(-4,-3), B(5,0),如果11∥12，且11与12之间的距离为 |MN|=√/(-4-6)2+(-3-2)2=55. 5,求11，l2的方程， 2.两点间距离公式的逆向运用 2.点到直线距离公式的逆用 例⑥(2026·江西南昌一中检测)在已知 例⑧已知点P(x,y)在直线3x+4y一 直线2x一y=0上存在一点P,使它到点 5=0上运动，求|3x+4y+10|的值 M(5,8)的距离为5，求直线PM的方程. 解析，点P在直线2x一y=0上， 解析|3x+4y+10=3x+4y+10. √32+4 ∴.可设点P的坐标为(a,2a), ∴.√/(a-5)2+(2a-8)2=5, V32+4=5.3x+4y+10l 5 即502-42a+64=0,解得a=2或 5 而3x+4y+10即为点P(x,y)到直线1：3x十 P2,)减P(号， 4y+10=0的距离，又点P在直线l1:3x+4y-5=0 ∴直线PM的方程为y8_5或y一8=x-5 上运动，且1/亿，所以3x+4y十10_-5-101 S 5 4-82-564 -832-5’ 5 5 3,所以|3x+4y+10=15. 即4x-3y十4=0或24x-7y-64=0. 变式3已知动点P,Q分别在直线11： 题型③点到直线的距离公式的应用 3x+4y-5=0和直线12：3x+4y+10=0上 1.点到直线的距离公式 运动，则|PQ的最小值为 如果已知点P。的坐标为(xoyo),求P。 题型（④与平面内距离公式有关的综 到已知直线L:Ax十By十C=0的距离，可直接 合问题 应用公式d=Axo十By十C 1.与三角形、四边形有关的综合问题 √JA2+B2 例9已知点A(2,1),B(3,4),C(-2, 例7若点A(3,4),B(5,3)到直线1：2x+ -1). ay十1=0的距离相等，则a=(). (1)求△ABC的面积； A.4 B.-4 (2)求∠ABC的平分线所在直线的方程. C4或9 D-4或% 解析(I)方法一设AB边上的高为h,则h就 是，点C到AB所在直线的距离. 解析（条件给出点A,B到直线L的距斋相等，该距离又 |AB|=√(3-2)2+(4-1)2=√10. 能用，点到直线的距离公式计算，故由此可建立方程求a) 由题意得，|2X3+a·4+1_12×5+a·3+1l 由两点式可得AB边所在直线的方程为y 4-1 √22+a √22+a2 所以|4a+7=|3a+11|, 3-2,即3x-y-5=0. x-2 故4a+7=3a+11或4a+7=-3a-11,解得： 点C(-2,一1)到直线3x-y-5=0的距离h= 61 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 13×(-2)-(-1)-51=√10， 2.最值问题 √32+(-1)2 例10(2026·江苏连云港高级中 所以Sae=号×ABXh=号×V面X而- 学月考)在平面直角坐标系中，点A(2, 5.(无论用哪个底及对应的高，得出的结果都是一样的) 3),B(1,1),直线l:x+y+1=0. 方法二BA=(-1,-3),BC=(-5,-5) (1)在直线L上找一点C,使得|AC+|BC S8e=2×1(-1DX(-5)-(-3)X(-51= 最小，并求出这个最小值和点C的坐标； 2 (2)在直线L上找一点D,使得|AD |5一15引=5.（三角形面积公式的向量坐标形式） BD川最大，并求出这个最大值和点D的坐标. (2)由(1)知，边AB所在直线方程为3.x-y一5 解析(1)设，点A(2,3)关于直线1：x十y+1=0 =0, 的对称点为A'(x,y), 边BC所在直线方程为y一4= 4-(-1) 3-(-2) x-3), y-3 x-2 =1, 即x-y+1=0. 则 设∠ABC的平分线上任意一，点M的坐标为(x,y), x+2+y+3+1=0, 22 则点M到边BC,BA的距离相等， x=一4， 则3x=y-5-1zy+1,即13x-y-51= 解得 即A'(-4,-3) y=-3, √10 ② 5|x-y+1, 所以直线A'B的方程为y十3x十4 1+31+41 整理得(3-√5)x+(5-1)y-5-√5=0或 即4x-5y+1=0. (3+√5)x-(1+5)y+√5-5=0. 当，点C为直线4x-5y十1=0与直线x十y十1=0 数形结合知，角平分线所在直线的斜率应为正， 的交点时，AC川+BC取得最小值. 故(3十W5)x-(1十√5)y十√5-5=0满足题意 x=- 14x-5y+1=0, 3 方法总结 联立 解得 x+y+1=0, 1 关于角平分线的几个常用的几何特征 y=- 3 (1)角平分线上任意一点到角两边的距离相等. 所以c(-号吉》。 (2)角的两边所在直线关于角平分线所在直线 对称. 即|AC|+|BC|的最小值为|A'B「= (3)角的一边所在直线上的点关于角平分线所 √(1+4)2+(1+3)2=√41. 在直线的对称，点在角的另一边所在直线上，特别 (2)由题意知直线AB的方程为}二3=一2。 地，如图1，在△ABC中，点A关于∠ABC的平分 131-2,整 线的对称，点在直线BC上，点C关于∠ABC的平 理得2x一y一1=0，当点D为直线2x一y-1=0与 直线x十y十1=0的交点时，|AD|一|BD|最大 分线的对称点在直线AB上. R 由 2x-y-1=0 0解得=0，即D(0,-1D, x+y+1=0 y=-1, 从而||AD|一|BD||的最大值为|AB|= √(2-1)2+(3-1)z=5 图1 图2 变式④已知m,n,p,g均为实数，则 (4)角平分线性质定理： 如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC √(m-p)2+(n-饣-1)2+√(m-q)2+(n-q-3)2 BD AB 的最小值为(). 所在直线于点D,则 DC A.1 B.√2 C.3 D.2 62 第二章直线和圆的方程通 3.坐标法的应用 在Rt△ACB中，|AB|=500, AC=400-100=300, 400 A 例1口已知A,B两个城市在一条河同侧 500 且分别距这条河400m和100m,A,B两城市 由勾股定理，得|BC引=400， 100 B P 之间的距离为500m.把这条河看作一条直线， 所以，点B的坐标为(400,100) 点A(0,400)关于x轴的对称点 今在这条河边上建一座提水站，供A,B两城 为A'(0,一400)，连接A'B交x轴于 市用水，要使提水站到A,B两城市铺设的水 点P,连接AP,则AP=A'P. 管长度之和最小，则提水站应建在什么地方？ 解析如图，以河所在直线为x轴，过，点A作AO 易得直线AB的方程为)y-号一40 垂直x轴于点O,以OA所在的直线为y轴，建立平 令y=0,得x=320,即点P的坐标为(320,0). 面直角坐标系，则，点A的坐标为(0,400)， 故将提水站（点P)建在距O点320m处时，其到 过，点B作BC⊥AO于点C A,B两城市铺设的水管长度之和最小， 图HHHH 核心素养聚焦 IIMMMIEIEIAIMINEINMIIEIBMABEMEAIMMEIMIBMEIMMEIMMDBEIMM011M0110MAM1M01101 考向①直线位置关系的应用 考向(2平面内的距离 例四（经典·上海卷）若关于x,y的方 例3（经典·江苏卷）在平面直角坐标系 x+my=2, 程组 有无穷多解，则实数m的值 Oy中，P是曲线y=x十4(x>0)上的一个 mx+16y=8 为 动点，则点P到直线x十y=0的距离的最小 |x+my=2, 值是 解析若关于x,y的方程组 有无穷 m,x+16y=8 解析设P(c,x+4),x>0, 多解， 则点P到直线x十y=0的距离d= 则直线x十my=2和mx+16y=8重合，则有 1×16=m×m,即m2=16,解得m=士4. x十x4 2x+4 当=4时，两直线重合，方程组有无数组解，符 =4, √2 √2 √2 合题意； 当=一4时，两直线平行，方程组无解，不符合 当且仅当2x=4 T) 题意. 即x=√2时取等号， 综上所述，m=4. 故，点P到直线x十y=0的距离的最小值是4. 答案4. 答案4. 考查内容 核心素养 试题难度 考查内容 核心素养 试题难度 考查直线的一般方程与两逻辑推理、数 考查点到直线的距离公式、 逻辑推理、数 ★★☆☆☆ ★★☆☆☆ 条直线的位置关系 学运算 基本不等式等基本知识 学运算 63“61++1,即6= 1 1 1 +1 471 图1 图2 可以看出当a增大时，b也增大.当a+∞时，b→2，即b< 2;当a→0时，直线y=ax十b接近于y=b;当y=b时，如 8器--分16号， 图2，SABc C02-12 2,6= 6>19棕上可如，1号<名J 2.(1)由题意知，直线11过的定点是A(0,0), 直线L2的方程可化为x+3一m(y+1)=0, 令r+3=0, x=一3， 得 y+1=0,y=-1, 所以l2过的定点是B(-3,一1). 当m=0时，l1:y=0,l2：x=一3，所以l1⊥l2 当m≠0时，l1:y=一mx,l2:y= 1 所以两直线的斜率之积为-m·=一1，故、 m 要求PA|·|PB的最大值，需先找PA|,PB满足的关系，怎 么找？已有点A,B的坐标，不妨来香看看△PAB的形状，仔细观 察会发现l1⊥L2,于是如国1，PA⊥PB,放可由勾股定理建立 |PA与PB的关系 所以对任意的m∈R,总有l1⊥L2,故PA|2+|PB2=|AB|2= (-3-0)2+(-1-0)2=10, 所以PA·PB1≤PA十PB-5,取等条件是IPA= 2 |PB=5,故PA|·|PB|的最大值为5. y P 图1 (2)依题意可设1的截距式方程为后+名=1>0，b>0, a 则Aa,0,B0,6),直线1过点M2,1→2+合-1.① 因为MA=(a-2,-1),MB=(-2,b-1),所以|MA· |MB|=-MA·MB=-[(a-2)·(-2)+(-1)·(b 如图2，注意到A,M,B三点共线，且，点M在点A,B之间， 故MA1·lMB引=-MA·M店，而MA·M店可用M,A, B三点的坐标计算，放可借此表示MA|·|MB 1)]=2a+b-5. ② 24 (由①求②的最小值，这是典型的“1”的代换模型，可借此海“积 定”，用基本不等式求②的最小值) 2a+6=a+》1=(2+6)(层+君）-4+会+0+ b a 1+2+≥2√会，西+5=9， a a 代A@得1MA1·MB≥9-5=4，政等条件是会-2。 即a=b,结合①得a=b=3,满足a>0,b>0, 所以当MA·MB最小时，直线1的方程为号+兰=1， 化为一般式方程得x十y一3=0. y A 图2 2.3直线的交点坐标与距离公式 变式孤练 [变式1]15.x+15y十16=0.[因为直线1过已知两直线的交 点，所以直线1的方程可设为2x一3y一3十入(x十y十2)=0 (其中入为常数)，即（十2）x十(a-3)y十2入-3=0. ① 又直线1的斜率为3，测号3，解得1-号将号 3-A 代入①式并整理得15x+5y十16=0，即为所求直线l的 方程.] [变式2](1)设所求直线的方程为2x一y十c二0(c≠3，c≠ -1), 平行直线系方程 3-c 则由题意可得 1-1-c /22+(-1)2 V2+(-,解得c=1, 故直线1的方程为2x一y十1=0. (与两直线Ax十By十C1=0,Ax十By十C2=0平行且距离相等的 直钱为Ax+By十CC=0 2 (2)①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k,由斜截式得 l1的方程为y=kx十1，即kx一y十1=0； 由点斜式可得l2的方程为y=k(x一5)，即kx一y一5k=0. 则直线，与，间的距离d=+5融=5， √1+k2 256+10+1=23适+25，话-号， 故11的方程为12x一5y+5=0,l2的方程为12x一5y 60=0. ②若1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x=0,l2的方程为 x=5,它们之间的距离为5，同样满足条件. 综上所述，满足条件的直线方程有两组， 即l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0;或l1:x=0, 12:x=5. 方法总结 解决两条平行直线间的距离问题的方法 (1)转化为点到直线的距离，体现了转化与化归的数学 思想 (2)直接使用公式d=1C-C2 ,其中l1:Ax十By+ /A2+B2 C1=0,l2:Ax+By+C2=0,需注意此时直线l1与l2的方 程为一般式且x,y的系数分别对应相同. (3)如果直线方程为l1:y=kx十b1,l2:y=kx十b2,那 么这两条直线间的距离d=b,一b √1+k2 [变式3]3.[（观察发现直线L1,l2中x和y的系数对应相同，且常 数项不同，所以两直线平行，我们不妨先画图，看能否找到PQ何时 最小)如图，P,Q分别在l1,l2上运动，当PQ⊥l1且PQ⊥12 时，|PQ最小，此时|PQ|即为平行线11与12之间的距离 d,所以1PQ1m=d=-5-10=3.] /32+42 p [变式4们B[(由目标式的形式联想到两点之闻的距离公式，于是我们 先把对应的点写出来，再来观察)设P(m,n),A(p,p十1)，B(q,q十 3),则√(m-)+(n--1)2+√(m-q)2+(n-q-3)2 =|PA|十PB|.(故只需求|PA十PB的最小值，怎么求？先 看P,其横坐标和纵坐标n无关，所以点P可任意运动，再看A, B,与P不同，它们的横、纵坐标有关系，故尝试翻译此关系，找到 A,B的运动规律，如何翻译？以A为例.我们可以设A的坐标为 (红，y),结合所给坐标寻找x,y满足的关系)设A(x,y),与 x=p,① A(p,p十1)对比可得 ①代入②，消去p得 y=p+1,② y=x+1,即x一y+1=0,所以A为直线1：x-y十1=0上 的动点，同理，B为直线L2:x一y十3=0上的动点.（不难发现 L1儿2，图形比较特殊，放接下来可尝试画图分析|PA|十|PB何时 最小)如图1，当点P在平面内运动时，有|PA|十PB|≥ |AB|, ③ 直线l1与l2之间的距离d=- 1-3 √12+(-1)2 =√2，由图1可 知，AB|≥d=√2，结合③得|PA+|PB|≥√2，取等条件 是P在线段AB上，且AB⊥l1和l2,如图2，所以 √(m-p)2+(n-p-1)2+√(m-q)2+(n-q-3)的最 小值为√2.] B 图1 图2 基础过关练 1.B 〔2-4 2.A[联立 /x+2y-4=0, 。解得 x=2k十1' 即直线l1 kx-y十2k+1=0 6k+1 y=2k+11 与直线，的交点为（发背赞》.由感意可得 普0 赞o, 解得-一日<及<号，即实数及的取值范制是（言，号）门 3.C[l1:x-2y+m=0(m>0),可化为2x-4y+2m=0. l1∥l2, m=-4,5=12m-（-6)l=12m+6l √22+42 2W5 .2m+6=10.又m>0,.m=2.故m+n=-2.] 34.[设A0,2),B4,0),则线段AB的中点为(2,1D,直 4. A,B两点经折叠可重合意味着A,B两点关于 幕直线对称 线AB的斜率-号号，则线段AB的垂直平分线 方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.又点(7,3)与点(m, n-31 m-7-2 n)重合，则有 即m+2m-13=0, 2x27”3告-3=0 2m-n+5=0, 2 fm= 解得 31 n=5, 5.过点P(3,0)且与y轴平行的直线为x=3,此时它被两条已 知直线所截得的线段不被点P平分，因此x=3不符合题 意.可设所求直线1的方程为y=k(x一3)， 解方程组y=(x-3), 2x-y-2=0, 交点A(货-号)， 解方程组=(x-3), x+y+3=0, 交点B(装) 由题意可得点P是线段AB的中点，结合中点坐标公式可得 (号++》)=3且(“+)=-0， 解得k=8. .所求直线1的方程为y=8(x一3)，即8x一y一24=0. 综合提能练 1.B[将直线l:mx-y-4m-8=0变形为y+8=m(x x-4=0, 4),令 工=4，则直线1恒过点(4，一8).不 解得 y+8=0, y=-8, 妨设为B(4,一8)，所以点A到直线L的最远距离为1AB, 此时直线l⊥AB.又|AB|=√(2-4)2+(-4+8)2=2√5， 若AB不与直线l垂直，则，点A到直线l的距离d< AB,可画图进行理解 所以点A到直线1的距离的最大值是2√5.] 25