2026-2027学年人教版九年级上册数学月模拟测试 （第25章-第26章）

2026-2027学年第一学期月考模拟测试 九年级数学模拟卷（第25章-第26章） 考试时间：90 分钟　　满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若 (m−2)xm²-2＋(m−1)x＋5＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（　　） A．2　　B．−2　　C．±2　　D．−2 或 1 2．用配方法解方程 x²−6x＋4＝0，配方后得到的方程是（　　） A．(x−3)²＝5　　B．(x−3)²＝13　　C．(x−6)²＝32　　D．(x−3)²＝−5 3．若关于 x 的一元二次方程 x²−2x＋k−1＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k＜2　　B．k≤2　　C．k＞2　　D．k≥2 4．已知 x₁、x₂ 是方程 x²−3x−2＝0 的两个实数根，则 x₁²＋x₂² 的值为（　　） A．5　　B．9　　C．13　　D．11 5．抛物线 y＝−2(x＋1)²＋3 的顶点坐标是（　　） A．(1，3)　　B．(−1，3)　　C．(1，−3)　　D．(−1，−3) 6．将抛物线 y＝3x² 先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝3(x−2)²＋1　　B．y＝3(x＋2)²−1　　C．y＝3(x−2)²−1　　D．y＝3(x＋2)²＋1 7．点 A(−2，y₁)、B(1，y₂)、C(4，y₃) 都在抛物线 y＝−(x−1)²＋3 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A．y₁＜y₂＜y₃　　B．y₃＜y₁＜y₂　　C．y₁＝y₃＜y₂　　D．y₂＜y₁＝y₃ 8．某共享单车公司 2024 年 3 月投放共享单车 8 万辆，5 月投放量达到 12.5 万辆。设 4、5 两个月投放量的月平均增长率为 x，则根据题意可列方程为（　　） A．8(1＋2x)＝12.5　　B．8(1＋x)²＝12.5　　C．8(1＋x)²＝25　　D．12.5(1−x)²＝8 9．已知抛物线 y＝x²−2x−3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），则线段 AB 的长为（　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 10．已知二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：① abc＞0；② b²−4ac＞0；③ 2a＋b＝0；④ a−b＋c＜0；⑤ 对于任意实数m，都有m(am+b)＜a+b。其中正确的是（　　） A．①②③　　B．②③④　　C．②④⑤　　D．②③⑤ 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．把答案填在题中横线上） 11．方程 x(x−2)＝x 的解为 ________。 12．已知 x＝2 是关于 x 的一元二次方程 x²＋mx−10＝0 的一个根，则 m＝________，方程的另一个根为 ________。 13．若抛物线 y＝−x²＋2x＋m 与 x 轴有且只有一个交点，则 m＝________。 14．若关于 x 的一元二次方程 x²−2x＋t＝0 有两个相等的实数根，则 t＝________；若该方程有一个根为 1＋，则 t＝________，另一个根为 ________。 15．设 a、b 是一元二次方程 x²−6x＋2＝0 的两个实数根，则＋ 的值为 ________。 三、解答题（本大题共 9 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（本小题 9 分）解下列方程： （1）x²−5x＋3＝0（3 分）； （2）2x²−4x−1＝0（3 分）； （3）(2x−1)²＝2(2x−1)＋3（3 分）。 17．（本小题 8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x²−2mx＋m²−2m＋1＝0。 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）设 x₁、x₂ 是方程的两个实数根，若 x₁²＋x₂²＝10，求 m 的值。 18．（本小题 8 分）某科技公司 2024 年全年研发投入为 800 万元，计划 2026 年全年研发投入达到 1152 万元（2025、2026 两年研发投入的年增长率相同）。 （1）求研发投入的年平均增长率； （2）若按此增长率继续增长，2027 年该公司全年研发投入能否超过 1400 万元？请说明理由。 19．（本小题 8 分）已知二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象经过点 A(−1，0)、B(3，0)、C(0，−3)。 （1）求该二次函数的解析式； （2）求该抛物线的对称轴、顶点坐标，并写出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大。 20．（本小题 8 分）如图，已知二次函数 y＝−x²＋4x−3。 （1）求抛物线的顶点坐标和它与 x 轴的两个交点坐标； （2）结合图象，写出当 y＞0 时自变量 x 的取值范围； （3）若直线 y＝m 与该抛物线有两个不同的交点，求 m 的取值范围。 21．（本小题 8 分）某书店销售一种图书，进价为每本 15 元。当售价定为每本 25 元时，每月可售出 400 本。经调查：售价每降低 0.5 元，月销量就增加 50 本（售价不低于 18 元）。 （1）设每本降价 x 元，写出每月销售利润 W（元）关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若每月销售利润不低于 4500 元，求每本降价 x 元的取值范围。 22．（本小题 8 分）如图 ，在平面直角坐标系中，直线 y＝x＋2 与抛物线 y＝−x²＋2x＋4 交于 A、B 两点。 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求 △AOB 的面积（O 为坐标原点）； （3）当 x 取何值时，抛物线在直线的上方？ 23．（本小题 8 分）如图 ，在平面直角坐标系中，直线 y＝−x＋5 与抛物线 y＝−x²＋4x＋5 交于 A、B 两点（点 A 在 y 轴上），抛物线的顶点为 M。 （1）求点 A、B 的坐标及顶点 M 的坐标； （2）求 △AOB 的面积（O 为坐标原点）； （3）点 N 在 x 轴上，当以 A、M、N 为顶点的三角形为直角三角形时（∠MAN＝90° 或 ∠AMN＝90°），求点 N 的坐标。 24．（本小题 10 分）如图 ，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝−x²＋2x＋8 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求抛物线的对称轴和顶点 D 的坐标； （2）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点。当 △PBC 的面积最大时，求点 P 的坐标和 △PBC 面积的最大值； （3）点 E 为 x 轴上的一动点，点 F 为抛物线对称轴上的一动点。当以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有满足条件的点 E、F 的坐标。 参考答案与解析 （2024 人教版 · 第25章 一元二次方程 · 第26章 二次函数） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．B　2．A　3．A　4．C　5．B　6．C　7．C　8．B　9．C　10．B 【解析】 1．B　由题意 m²−2＝2 且 m−2≠0，得 m＝±2 且 m≠2，故 m＝−2。 2．A　x²−6x＋4＝0，移项得 x²−6x＝−4，配方得 (x−3)²＝5。 3．A　Δ＝(−2)²−4(k−1)＝8−4k＞0，解得 k＜2。 4．C　x₁＋x₂＝3，x₁x₂＝−2，x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²−2x₁x₂＝9＋4＝13。 5．B　由顶点式 y＝a(x−h)²＋k 知顶点为 (−1，3)。 6．C　“左加右减、上加下减”：y＝3(x−2)²−1。 7．C　y₁＝−(−3)²＋3＝−6，y₂＝3，y₃＝−3²＋3＝−6，故 y₁＝y₃＜y₂。 8．B　4 月投放 8(1＋x) 万辆，5 月投放 8(1＋x)² 万辆，故 8(1＋x)²＝12.5。 9．C　令 y＝0，x²−2x−3＝0，解得 x＝3 或 x＝−1，故 AB＝4。 10．B　由图象知 a＜0，对称轴为 x＝1，即 −＝1，故 b＝−2a＞0；图象与 x 轴有两个交点，与 y 轴正半轴交于 (0，3) 上方。① abc＝a·b·c＜0，错；② Δ＞0，对；③ 2a＋b＝2a−2a＝0，对；④ x＝2 时 y＝4a＋2b＋c＞0，故“4a＋2b＋c＜0”错；⑤ 由 (3，0)、(0，c) 在图象上，得 9a＋3b＋c＝0，又 b＝−2a，故 3a＋c＝0，对。故选 B。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．0 或 3　12．m＝3；−5　13．−1　14．t＝1；t＝−1，另一个根为 1 15． 11．x(x−2)−x＝0，即 x(x−3)＝0，解得 x＝0 或 x＝3。 12．把 x＝2 代入，得 4＋2m−10＝0，m＝3；设另一根为 x₂，则 2x₂＝−10，x₂＝−5。 13．抛物线与 x 轴只有一个交点，即 Δ＝2²−4×(−1)×m＝4＋4m＝0，m＝−1。 14．有两个相等实数根：Δ＝(−2)²−4t＝0，t＝1。一根为 1＋：代入得 t＝−1；两根和为 2，故另一根为 2−(1＋)＝1−。 15．由韦达定理 a＋b＝6，ab＝2。设 T＝＋＞0，则 T²＝a＋b＋2＋2＝8＋2＝8＋2＝8＋6＝14，故 T＝。 三、解答题（共 75 分） 16．（9 分） （1）a＝1，b＝−5，c＝3，Δ＝25−12＝13＞0，x＝。 （2）2x²−4x−1＝0，即 x²−2x＝，配方得 (x−1)²＝，故 x＝1±。 （3）设 t＝2x−1，则 t²＝2t＋3，即 t²−2t−3＝0，(t−3)(t＋1)＝0，t＝3 或 t＝−1。当 t＝3 时 2x−1＝3，x＝2；当 t＝−1 时 2x−1＝−1，x＝0。∴ 原方程的解为 x＝0 或 x＝2。 17．（8 分） （1）Δ＝(−2m)²−4(m²−2m＋1)＝8m−4。由题意 Δ＞0，即 8m−4＞0，解得 m＞。 （2）x₁＋x₂＝2m，x₁x₂＝m²−2m＋1。x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²−2x₁x₂＝4m²−2(m²−2m＋1)＝2m²＋4m−2。由 x₁²＋x₂²＝10，得 2m²＋4m−2＝10，即 m²＋2m−6＝0，解得 m＝−1±。又由（1）m＞，故 m＝−1＋。 18．（8 分） （1）设年平均增长率为 x，则 800(1＋x)²＝1152，即 (1＋x)²＝1.44，解得 x＝0.2＝20%（负值舍去）。答：研发投入的年平均增长率为 20%。 （2）2027 年研发投入为 1152×(1＋20%)＝1382.4 万元。∵ 1382.4＜1400，故 2027 年全年研发投入不能超过 1400 万元。 19．（8 分） （1）设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x−3)。把 C(0，−3) 代入，得 −3＝a×1×(−3)，a＝1。∴ y＝(x＋1)(x−3)＝x²−2x−3。 （2）y＝x²−2x−3＝(x−1)²−4，故对称轴为 x＝1，顶点坐标为 (1，−4)。∵ a＝1＞0，抛物线开口向上，当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大。 20．（8 分） （1）y＝−x²＋4x−3＝−(x−2)²＋1，顶点坐标为 (2，1)。令 y＝0，得 −x²＋4x−3＝0，即 x²−4x＋3＝0，解得 x＝1 或 x＝3，故与 x 轴的交点为 (1，0)、(3，0)。 （2）由图象可知，当 y＞0 时，1＜x＜3。 （3）抛物线开口向下，顶点纵坐标为 1，故当 m＜1 时，直线 y＝m 与该抛物线有两个不同的交点。 21．（8 分） （1）售价每降低 0.5 元，月销量增加 50 本，即每降低 1 元，月销量增加 100 本。W＝(25−x−15)(400＋100x)＝(10−x)(400＋100x)＝−100x²＋600x＋4000。售价不低于 18 元，即 25−x≥18，x≤7，故 0≤x≤7。 （2）W＝−100x²＋600x＋4000＝−100(x−3)²＋4900。∴ 当 x＝3 时 W 最大，最大值为 4900。此时售价为 25−3＝22 元。答：售价定为 22 元时月利润最大，最大利润为 4900 元。 （3）令 W≥4500，得 −100x²＋600x＋4000≥4500，即 x²−6x＋5≤0，(x−1)(x−5)≤0，解得 1≤x≤5。答：每本降价的取值范围为 1≤x≤5。 22．（8 分） （1）联立 y＝x＋2 与 y＝−x²＋2x＋4，得 x＋2＝−x²＋2x＋4，即 x²−x−2＝0，解得 x＝−1 或 x＝2。当 x＝−1 时 y＝1，当 x＝2 时 y＝4。∴ A(−1，1)、B(2，4)。 （2）S△AOB＝×|xA·y-Bx-By-A|＝×|(−1)×4−2×1|＝×6＝3。 （3）抛物线在直线上方，即 −x²＋2x＋4＞x＋2，整理得 x²−x−2＜0，解得 −1＜x＜2。 23．（8 分） （1）点 A 在 y 轴上，令 x＝0，得 y＝5，故 A(0，5)。联立 y＝−x＋5 与 y＝−x²＋4x＋5，得 x²−5x＝0，解得 x＝0 或 x＝5；x＝5 时 y＝0，故 B(5，0)。y＝−x²＋4x＋5＝−(x−2)²＋9，顶点 M(2，9)。 （2）S△AOB＝×OA×|xB|＝×5×5＝12.5。 （3）直线 AM 的斜率 k＝＝2。当 ∠MAN＝90° 时，AN⊥AM，过 A 作斜率为 −的直线 y＝−＋5，令 y＝0 得 x＝10，即 N(10，0)；当 ∠AMN＝90° 时，过 M(2，9) 作斜率为 −的直线 y−9＝−，令 y＝0 得 x＝20，即 N(20，0)。故 N(10，0) 或 N(20，0)。 24．（10 分） （1）y＝−x²＋2x＋8＝−(x−1)²＋9，对称轴为 x＝1，顶点 D(1，9)。 （2）B(4，0)、C(0，8)，直线 BC 的解析式为 y＝−2x＋8。设 P(m，−m²＋2m＋8)，过 P 作 PD⊥x 轴交 BC 于 E，则 E(m，−2m＋8)，PE＝(−m²＋2m＋8)−(−2m＋8)＝−m²＋4m（0＜m＜4）。当 m＝2 时 PE 最大，最大值为 4，此时 P(2，8)。S△PBC＝·BC·d，BC＝4，点 P 到直线 BC 的距离 d＝，故 S△PBC＝2PE，最大值为 8。 （3）设 E(e，0)、F(1，f)。分三种情况： ① A、C 为平行四边形的对角顶点，则 AC 与 EF 的中点重合：e＋1＝−2，f＋0＝8，得 E(−3，0)、F(1，8)； ② AE∥CF 且 AE＝CF（A→E、C→F 对应），则 F−C＝E−A：1＝e＋2，f−8＝0，得 E(−1，0)、F(1，8)； ③ AF∥CE 且 AF＝CE（A→F、C→E 对应），则 F−A＝E−C：3＝e，f＝−8，得 E(3，0)、F(1，−8)。 综上所述，满足条件的点有：E(−3，0)、F(1，8)；E(−1，0)、F(1，8)；E(3，0)、F(1，−8)。 学科网（北京）股份有限公司 $