1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课题

全称量词命题和存在量词命题的否定

单元

第一章集合与常用逻辑用语（全称量词与存在量词第课时）

学科

高中数学（人教版）

年级

高一

学习目标

、能正确地对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定，掌握其否定的形式与符号表示；

、理解“全称量词命题的否定是存在量词命题”“存在量词命题的否定是全称量词命题”，能写出命题的否定并判断其真假；

、经历由具体命题的否定归纳一般规律的过程，体会对立统一、化归转化的数学思想，发展逻辑推理与数学抽象素养。

教材分析

本节课是人教版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》《全称量词与存在量词》的第课时，是在学生已经学习了全称量词、存在量词及其命题真假判断之后，对含量词命题的进一步研究。

教材首先回顾“命题的否定”这一基本概念：对一个命题进行否定，就得到一个新命题；原命题与它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假。

教科书通过两个“探究”栏目展开：第一个探究写出三个全称量词命题（“所有的矩形都是平行四边形”“每一个素数都是奇数”“，”）的否定，发现它们的否定都变成了存在量词命题，归纳出结论：的否定是，并通过例加以巩固；第二个探究写出三个存在量词命题的否定，发现它们的否定都变成了全称量词命题，归纳出结论：的否定是，并通过例加以巩固；最后通过例把“写否定”与“判真假”结合起来。

本节内容在数学中应用广泛：在函数、不等式、几何证明中，常需要把“任意…都成立”等价转化为“存在…不成立”来反证，反之亦然；同时也是高二学习命题否定、反证法的直接基础。

学情分析

学生在上一课时已经理解全称量词、存在量词的意义，会识别两类命题并判断真假，也在初中接触过“命题的否定”（如“是”与“不是”）。

本节学生面临的主要障碍：

、对“命题的否定只否定结论，不能否定条件”把握不准，容易把命题的否定与否命题混淆；

、对“全称量词命题的否定要把全称量词改为存在量词、并否定结论”这一“改量词否结论”两步走掌握不牢，常只改量词或只否结论；

、对“”表示“不成立”理解不到位，写否定时符号表达不规范；

、对写否定后再判真假的综合题（例），容易在配方、举反例环节出错。

教学策略：以教材两个“探究”为驱动，让学生先写否定、再观察形式变化，自主归纳“改量词、否结论”的规律；用“命题与否定一真一假”检验书写是否正确，辅以例、例、例分层巩固。

教学重点

含有一个量词的全称量词命题、存在量词命题的否定：的否定是；的否定是。

教学难点

正确理解并写出含量词命题的否定，做到“改写量词、否定结论”两步完整；写否定后正确判断新命题的真假。

教学准备

多媒体课件（）、量词命题否定转换示意图。

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

新课

引入

【复习回顾提出问题】

教师：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。

举例：“是的倍数”的否定为“不是的倍数”；“空集是集合的真子集”的否定为“空集不是集合的真子集”。

教师强调（教材旁注）：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假。这是检验否定是否写对的重要标准。

提问：上节课我们学习了全称量词命题和存在量词命题。那么，对含一个量词的命题进行否定，会发生什么变化？

引出课题：本节课学习如何正确地对含有一个量词的命题进行否定。

、回顾命题否定的概念；

、体会“原命题与否定一真一假”；

、带着问题进入探究。

从学生熟悉的简单命题否定出发，提出含量词命题如何否定的新问题，明确本节课研究任务。

新知

探究

【活动一：全称量词命题的否定】

【探究（教材第页）】写出下列命题的否定，它们与原命题在形式上有什么变化？

所有的矩形都是平行四边形；

每一个素数都是奇数；

，。

教师引导：这三个命题都是全称量词命题，即具有“”的形式。

命题的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；

命题的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；

命题的否定是“并非所有的，”，也就是说，，。

教师引导学生观察：从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题。

教师归纳：一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非

、尝试写出三个命题的否定；

、观察三个否定在形式上的共同变化：全称量词存在量词；

、记录结论的否定为；

、用“一真一假”检验：原命题真，则其否定“存在一个矩形不是平行四边形”为假。

以教材探究为驱动，让学生在写否定、看变化的过程中自主归纳出“改量词、否结论”的规律，突出全称命题否定为存在命题这一核心结论。

任意一个”等短语即可。通常，用符号“”表示“不成立”。

结论：

全称量词命题：，

它的否定：。

也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题。

【例（教材第页）】写出下列全称量词命题的否定：

所有能被整除的整数都是奇数；

每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；

对任意，的个位数字不等于。

解：

该命题的否定：存在一个能被整除的整数不是奇数。（如能被整除且是偶数）

该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上。（如任意一个非圆内接四边形）

该命题的否定：，的个位数字等于。

教师强调书写步骤：改量词：；否结论：把“”改为“”。两步缺一不可。

、独立写出三个命题的否定；

、对照答案，检查是否完成“改量词否结论”；

、注意“不等于”的否定是“等于”。

通过例规范全称量词命题否定的书写，落实“改量词、否结论”两步法。

新知

探究

【活动二：存在量词命题的否定】

【探究（教材第页）】写出下列命题的否定，它们与原命题在形式上有什么变化？

存在一个实数的绝对值是正数；

有些平行四边形是菱形；

，。

教师引导：这三个命题都是存在量词命题，即具有“”的形式。

命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；

命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；

命题的否定是“不存在，”，也就是说，，。

教师引导学生观察：从命题形式看，这三个

、类比上一探究，自主写出三个存在量词命题的否定；

、观察形式变化：存在量词全称量词；

、记录结论的否定为；

、观察示意图，对比两种否定的对应关系。

类比迁移，让学生自主归纳存在量词命题否定的规律；用转换图把“、”整体可视化，突破难点。