精品解析：山东省威海市第四中学2025-2026学年高二上学期11月阶段性测试数学试题

高二数学阶段性测试（11.5） 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于．若，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C. D. 若，则的最大值为3 10. 下列说法正确的是（ ）． A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 实数x，y满足方程，则的最大值是 D. 已知圆和圆的公共点为A，B，则 11. 正方体的棱长为，，，（，且）．下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则平面 C. 若，，则四面体的体积为 D. 点到直线的距离的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 13. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为__________． 14. 若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 _______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足，的虚部是2． （1）求复数； （2）设，，在复平面上的对应点分别为，，，若点位于第一象限，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，． （1）试用，，表示出向量； （2）求与所成的角的余弦值． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，．分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． （1）求定点P的坐标与圆C的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学阶段性测试（11.5） 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点的斜率公式即可求解. 【详解】解：由题意知， ， 解得： 故选：A. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得，进而得到，进而求解即可. 【详解】根据题意有，则， 故. 故选：C 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出参数，再由平行线间的距离得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，经验证符合题意， 所以直线即与直线之间的距离． 故选：C． 4. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解. 【详解】解：直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即为， 所以直线过定点， 所以点P到直线l的距离的最大值为， 故选：D 5. 已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面，得与共面，利用共面向量定理列方程组求解即得． 【详解】因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面，即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得． 故选：B 6. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过公式可得投影向量. 【详解】因为，，所以. 又， 所以，故在上的投影向量为 故选：B. 7. 设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求出点关于轴的对称点，关于直线的对称点，将折线转化为直线，通过两点之间线段最短求解即可. 【详解】如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点， 易得的坐标为， 设点的坐标为，则，解得， 所以， 因为，， 所以的周长为， 所以当、、、四点共线时，的周长最小， 最小值为． 故选：A 8. 如图，直二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于．若，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助空间向量线性运算与模长及数量积公式计算即可得. 【详解】由于， 则， 由二面角为直二面角，且垂直于，，则， 又，故，则有、， 则有，则， 则. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C. D. 若，则的最大值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则、复数的模、复数的几何意义和向量夹角的计算等知识，分别对各选项进行计算分析判断. 【详解】因为，所以， ，， 所以，A选项正确； ，，C选项正确； 对应向量，对应向量，，故夹角不是，B选项错误； 即，在复平面上所对应点为到所对应点的距离为2的点，即圆心为，半径为2的圆，所以当时，的最大值为3，D选项正确； 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ）． A. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 实数x，y满足方程，则的最大值是 D. 已知圆和圆的公共点为A，B，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别判断各选项：A注意两直线斜率不存在的特殊情形；B由直线斜率与倾斜角的关系求范围；C将所求式看作定点与圆上动点连线的斜率，利用相切求最值；D由两圆方程相减求公共弦所在直线，再求弦长． 【详解】A．当时，两直线分别为与，二者互相垂直，但，所以“互相垂直”不能推出，A错误． B．直线的斜率为，故． 设其倾斜角为，则且，所以 B正确． C．方程化为．设，则表示直线的斜率，其中为圆上的动点． 过作圆的上方切线，设其斜率为，则切线为．由圆心到切线的距离等于半径，得 解得，所以的最大值为，C正确． D．两圆方程相减得公共弦所在直线为．代入，得，所以，D正确． 11. 正方体的棱长为，，，（，且）．下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则平面 C. 若，，则四面体的体积为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，将几何问题代数化，利用空间向量的坐标运算，分别求出各点的坐标，再结合空间距离公式、线面平行判定、体积计算以及点到直线距离公式，对各个选项进行逐一验证. 【详解】以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 已知正方体的棱长为，根据正方体的结构，各顶点的坐标如下： ，，，，，，，， 由，可知是线段的中点， 因为，，所以， 由，且，已知，，则，所以， 设，则，故， 由，且，已知，， 所以，即，说明点在底面正方形 内（不含原点 ）， 对于 A，点，点，点在平面（即平面）上， 要求的最小值，可将其转化为求空间中一点到两定点的距离之和， 由于在的平面上，我们可以找关于平面的对称点，关于平面的对称点为，此时， 所以，当且仅当三点共线，且交点落在正方形内部及边界（不含）时，取得最小值， 计算的长度，，， 此时，直线的方程参数化为，令，得，此时，，即交点， 此时，满足 且，所以该点是可行的，因此，的最小值为，故A错误； 对于B，已知，，，计算平面内的两个向量，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，，所以平面的一个法向量， 由题意，，若，则，， 这说明，即直线平行于平面或在平面内， 平面过点，法向量为，其平面方程为 ， 将代入，所以点不在平面内，因此平面，故B正确； 对于 C，当时，， 已知，，， 观察点的坐标，它们都满足（即都在平面内），所以在平面上， 由于，，沿轴方向，长度为，点到直线（即直线在平面上）的距离， 就是的坐标与的坐标之差的绝对值，即，所以， 点到平面的距离，四面体体积， 故C正确； 对于D，已知，，直线经过和， 方向向量，单位方向向量 ， 向量， ， 点到直线的距离，其中是向量在方向上的投影长， 投影长， 距离， 当时，距离，即点到直线的距离的最小值为，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算两圆的圆心距，结合两圆半径判断位置关系，再根据位置关系确定公切线条数可得. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径； 由圆，得圆的圆心为，半径. 由两圆的圆心距： . 因为，，所以， 所以圆与圆相交，因此圆与圆的公切线的条数为. 13. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得 ，所以解出，，即可． 【详解】设； ，解得：； 在基底下的坐标为：． 故答案为：． 14. 若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为直线与曲线有一个交点，数形结合求解即可. 【详解】由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示： 当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则，解得； 当直线过点时，则，解得. 又与圆相切， 由图可知，直线与曲线有一个交点， 则实数的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足，的虚部是2． （1）求复数； （2）设，，在复平面上的对应点分别为，，，若点位于第一象限，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合条件求即可得z； （2）结合（1）结论，利用复数的四则运算即可得的对应坐标，进而求它们构成的的面积； 【小问1详解】 ， 则， 由题意得， 且， 解得或， 所以或． 【小问2详解】 因为位于第一象限，所以， ， ， 所以，，， 直线，所以且到的距离为1； ∴. 所以． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，． （1）试用，，表示出向量； （2）求与所成的角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算，化简即得用，，表示向量的式子； （2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可． 【小问1详解】 因为，则， 因为ABCD是边长为1的正方形，则， 且，可得， 又因为，，，所以. 【小问2详解】 由题意可知：，，与、的夹角均为60°，与的夹角为90°， 则 ， 可得， 又因为 ， 设与所成的角为，所以． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，．分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）取中点，连接， 由于是的中点，故，且， 由于是的中点，故，且， 则有、，故四边形是平行四边形， 故，又平面，平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由线线平行得到线面平行即可证明； （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量即可求解； （3）根据空间上点到平面的距离公式即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由已知条件可得各点坐标： ，，，， ，，，， 因为分别为的中点，可得，， 平面内的向量，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，即， 直线的方向向量可取为， 设直线与平面的夹角为，为锐角，则， 所以直线与平面夹角的余弦值. 【小问3详解】 由（2）可知，点，平面过点，法向量，向量 ， 则点到平面的距离. 18. 已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． （1）求定点P的坐标与圆C的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 【答案】（1），圆的方程为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将直线方程整理为，进而可求定点，再结合圆心坐标和半径，列出等式求解即可； （2）通过讨论直线斜率是否存在，结合弦长公式即可求解； （3）通过讨论直线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解. 【小问1详解】 将直线的方程整理为 ， 令，解得，故， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 【小问3详解】 当切线斜率不存在时，直线方程为， 与圆，圆心到直线的距离为，显然相切， 当切线斜率存在时，设切线斜率为，切线方程为 ， 即，由圆心到切线距离等于半径得， 整理得 ，解得 代入得切线方程为， 所以切线方程为或. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， 【小问3详解】 假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 ， 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $