2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

必修第一册 二次函数与一元二次方程、不等式 高一 教学设计-2026-2027学年 人教A版 数学

案例名称

案例名称	2.3　二次函数与一元二次方程、不等式	提供者：______	-
教材分析	本课选自人教版高中数学必修第一册第二章第三节。学生在初中已学过一次函数与一元一次方程、不等式的联系方式，本课将此思想迁移到二次领域，以二次函数图象为纽带，统揽一元二次方程的根与一元二次不等式的解集，核心是“三个二次”之间的关系与判别式分类求解法。
授课对象	高一学生	授课课时	1课时
教学目标	理解一元二次不等式的概念，掌握借助二次函数图象求解一元二次不等式的方法。	经历从图象直观到代数求解的探究过程。	渗透数形结合与分类讨论思想。
教学重点	借助二次函数图象求解一元二次不等式，建立“三个二次”的内在联系。	教学难点	对判别式三种情形的分类讨论及解集的规范表示。
教学方法	讲授法、问题驱动法、合作探究法	教学准备	多媒体课件、几何画板动态演示文件、学生学案。
教学过程	复习导入→概念建构→方法探究→难点突破→巩固练习→课堂小结
作业设计	基础求解题、综合类型题、实际应用建模题与探究题四个层次。
板书设计	概念定义、判别式三种情形对照表、典型例题求解步骤。
教学反思	关注学生能否自觉联系函数图象理解不等式解集的区间含义。
核心素养	数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模。
情境素材	园艺围栏、刹车距离、摩托车生产等生活情境。	技术工具	几何画板动态展示抛物线与横轴位置关系，辅助分类讨论。

评价方式	课堂问答与练习反馈
学情分析	学生已掌握二次函数图象性质及一元二次方程求根公式。
设计理念	以函数图象为桥梁，以问题驱动探究，以分类讨论统领方法。

教材分析

本课为人教版必修第一册第二章第三节“二次函数与一元二次方程、不等式”，安排在等式与不等式的基本性质及基本不等式之后。学生在初中已学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，并在本章前两节掌握了等式与不等式的基本性质及基本不等式的证明与应用，具备从函数观点审视方程与不等式的认知基础。本课以园艺师围矩形花圃的真实问题引入，从具体二次函数图象出发，发现二次函数的零点将横轴分段，图象在横轴上方对应不等式大于零、下方对应小于零，由此归纳出“先求根、再看图”的一般求解策略。全课以数形结合思想为核心统领，通过判别式的三种取值情形分类讨论，将二次函数图象与横轴的位置关系、一元二次方程根的情况、一元二次不等式解集三者系统整合为一张对照表，体现了从特殊到一般、从直观到抽象的认知路径。教材还编排了刹车距离、摩托车产值等实际应用题，渗透数学建模素养，体现数学源于生活、服务于生活的文化价值。本课既是函数思想的重要应用，也为后续学习集合运算、函数性质等知识提供工具支撑，在高中数学课程中具有承上启下的枢纽地位。

教学目标

（1）知识技能目标：理解一元二次不等式的定义及其一般形式，理解二次函数零点的概念；掌握当二次项系数为正时，依据判别式大于零、等于零、小于零三种情形，借助二次函数图象求出一元二次不等式解集的方法，能规范书写求解过程并用集合语言表示解集。

（2）过程方法目标：经历从具体实例中抽象出一元二次不等式的过程，通过观察二次函数图象与横轴的交点及上下位置关系，自主发现“零点分段、看图定解”的求解策略，体会数形结合与分类讨论思想在解决问题中的关键作用。

（3）思想素养目标：在刹车距离、生产利润等实际情境中建立一元二次不等式模型，提升数学建模与数据分析素养；借助几何画板动态演示抛物线与横轴的位置关系，增强直观想象能力，感受数学与现实生活的紧密联系。

教学重难点

重点：一元二次不等式的解法，即通过判别式分类讨论，借助二次函数图象确定解集，建立二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的内在联系。

难点：对判别式等于零和小于零两种情形下解集的理解与规范表示。当判别式等于零时，抛物线与横轴相切，学生容易误认为解集为空集或遗漏等号问题；当判别式小于零时，抛物线与横轴无交点，需要根据二次项系数的正负判断图象全在横轴上方还是下方，进而确定不等式解集为全集或空集，这一步需要较强的数形结合能力。此外，二次项系数为负时不等式的化归求解也是学生容易出错的环节。

教学方法

本课采用“问题驱动—图象探究—归纳概括—变式应用”的教学方式组合。以园艺师围栏问题为切入点，让学生在真实情境中列出一元二次不等式，产生求解需求；随后引导学生回顾初中阶段一次函数与一元一次不等式的联系经验，类比提出“能否从二次函数图象看一元二次不等式”的猜想。教师利用几何画板动态展示抛物线与横轴的位置关系，让学生直观观察零点将横轴分段、图象上下对应不等式正负的规律，自主发现“先求根、再看图”的求解策略。对于判别式三种情形的分类讨论，采用表格对照法，引导学生从特殊到一般归纳总结，将二次函数图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集三者系统整合。难点突破环节设置二次项系数为负的不等式，促使学生主动想到先化归为正系数情形再求解，深化对化归思想的理解。巩固练习环节安排基本题、综合题和参数探究题，层层递进，确保不同层次学生均有收获。

教学准备

教师准备：制作多媒体教学课件，包含教材引入情境图片、判别式三种情形对照表；准备几何画板动态演示文件，可实时调整二次函数系数观察图象变化；编写学生学案，含课堂练习与课后作业。

学生准备：课前复习二次函数的图象与性质、一元二次方程的求根公式及判别式用法，回顾初中一次函数与一元一次不等式的联系。

环境准备：教室配备多媒体投影设备，可运行几何画板等动态几何软件，确保全体学生能清晰观察抛物线图象的动态变化过程。