2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

年级

高一

学科

数学

课型

新授课

教材

人教A版必修第一册

教学目标

1.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的联系，掌握一元二次不等式的解法，能求解简单含参一元二次不等式。

2.经历从函数图象探究不等式解集的过程，体会数形结合、等价转化的数学思想，提升观察归纳与代数运算能力。

3.感受数学知识间的内在关联，体会数形结合解决问题的优势，增强学好数学的信心，养成严谨规范的解题习惯。

教学重点

一元二次不等式的实际应用；分式不等式的化归解法。

教学难点

将实际问题转化为一元二次不等式；含参不等式的分类讨论与恒成立问题的转化。

教材分析

本节教学内容源于人教 A 版高中数学必修第一册第二章第三节《二次函数与一元二次方程、不等式》（第 2 课时），是在学生掌握二次函数图象、一元二次方程求解、一元二次不等式基本解法基础上的延伸内容，承接初中二次函数知识，同时为后续函数综合、导数等内容铺垫，在高中函数体系中起到承上启下的关键作用。

依照课标要求，教材将内容划分为含参一元二次不等式求解、不等式实际应用两个模块，借助二次函数图象，引导学生利用数形结合思想分析参数变化对解集的影响。教材以函数图象为载体，以 “函数 — 方程 — 不等式” 内在联系为主线推进，强化三者之间的转化关系。本节课重在训练分类讨论的数学思想，引导学生借助图象直观分析问题，落实逻辑推理、直观想象核心素养。教材例题与习题由浅入深，联系实际情境，帮助学生体会二次不等式的实用价值，深化对函数与方程思想的理解，符合高一学生由具象到抽象的认知规律。

学情分析

学生已学习一元一次方程、一元一次不等式、二次函数及一元二次方程，具备一定的函数图象分析和代数变形能力。本节课“三个二次”关系的理解与图象法解不等式相对容易掌握；但将实际情境中的不等关系抽象为不等式模型时，学生常因审题不清或不会设元而卡壳，如税率问题、利润问题中数量关系的梳理是主要难点。此外，分式不等式需要等价变形并注意分母不为零，含参不等式需分类讨论，学生易漏讨论或漏检验，需通过典型例题强化规范步骤。教学中应多借助函数图象帮助学生直观理解，降低抽象难度，并在建模环节给出“设、列、解、答”的清晰脚手架。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【复习回顾】

回顾图象法解一元二次不等式的一般步骤：

①将不等式化为标准形式 （或 ，，）；

②求出对应方程 的根；

③画出二次函数 的图象；

④根据图象写出不等式的解集。

【创设情境，引入课题】

【情境】某路段限速 80 km/h。交警在事故现场测得一辆汽车刹车距离大于 39.5 m。已知该车型在水泥路面上的刹车距离 （单位：m）与刹车前的车速 （单位：km/h）之间的关系为 ，交警能否据此判断该车超速？

【师生活动】

教师提问：题目中的“大于 39.5”能否用数学符号表示？你会列出怎样的不等式？

学生尝试列式：

教师追问：这是一个一元二次不等式。如何解这类不等式？解出的范围如何与实际速度结合？

从常见的交通问题出发，激发学生兴趣，让学生感受到一元二次不等式在实际生活中的应用价值，同时明确本课时学习目标：会把实际问题转化为一元二次不等式，并求解。

探究点1：一元二次不等式的实际应用

【问题引入】

一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 （单位：辆）与创造的价值 （单位：元）之间有如下的关系：。若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 元以上，则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车？

【师生活动】

教师引导学生审题、设未知数、列不等式；学生独立完成例4、例5的求解，并在小组内交流图象法解题过程；教师点评并总结“利用不等式解决实际问题的一般步骤”。

【详细过程】

通过多个实际应用问题，让学生经历“现实问题→数学抽象→建立不等式→求解→回归实际意义”的完整过程，提升数学建模能力，强化数形结合与等价转化思想。

解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产 辆摩托车。

根据题意，得 即

对于方程 ，，方程有两个实数根 ，。

画出二次函数 的图象，结合图象得不等式
的解集为

因为 只能取整数值，所以这条流水线在一周内生产的摩托车数量在 辆时，这家工厂能获得 元以上的收益。

【例题巩固】

某种汽车在水泥路面上的刹车距离 （单位：m）和汽车刹车前的车速 （单位：km/h）之间有如下关系： 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到 km/h）？

解：根据题意，得 移项整理，得

对于方程 ，，方程有两个实数根

画出二次函数 的图象，结合图象得不等式

解集为 {

因为车速 ，所以 。而 ，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 km/h。

【总结】

利用不等式解决实际问题的一般步骤：

选取合适的字母表示题目中的未知数；

由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；

求解所列出的不等式（组）；

结合题目的实际意义确定答案。