高二数学上学期第一次月考（北师大版选择性必修第一册第1章～第2章，高效培优）

**基本信息** 聚焦圆与椭圆核心知识，通过基础计算（如圆方程求解）与综合探究（如椭圆定点证明）题梯度设计，考查几何直观与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|圆方程、直线距离|第1题直接考查圆的直径式方程，基础巩固| |多选|3/18|直线位置关系、椭圆性质|第9题辨析直线平行条件，培养推理意识| |填空|3/15|公共弦方程、轨迹问题|第13题中点轨迹方程，体现抽象能力| |解答|5/77|直线方程、弦长最值、椭圆证明|第17题直线过定点及弦长最小值探究，综合考查模型意识与创新应用|

2026-2027学年高一数学上学期第一次月考卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D C C C A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】 【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得，（2分） ，解得，直线方程为， 即．（6分） （2）①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，又直线过点， ，解得，直线方程为，即；（8分） ②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得（11分） 解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或．（13分） 16．（15分） 【答案】 【详解】（1）因为圆的圆心为,半径为, 而表示该圆上一点到原点的距离的平方, 因圆心到原点的距离,（3分） 圆上点到原点的距离的范围为：， 即， 所以， 因此， 所以的最小值为，最大值为．（7分） （2）已知、，则直线的方程为：， 且，（9分） 设点到直线的距离为，则的面积， 因此，面积的最值等价于求点到直线距离的最值， 圆心到直线的距离， 所以圆上点到直线的距离的范围为：，（13分） 即， 则，． 即的面积最小值为，最大值为．（15分） 17．（15分） 【答案】 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为，（2分） 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为.（4分） （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即，（6分） 代入，得： ， 展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧.（9分） （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值，（13分） 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得.（15分） 18．（17分） 【答案】 【详解】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距，（4分） 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或.（8分） （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则，（13分） 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为.（17分） 19．（17分） 【答案】 【详解】（1）因为椭圆， 为的右焦点， 所以，，所以， 所以椭圆．(4分） （2）(2)证明：设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性知； 因为，分别为线段，的中点， 所以，(7分） 又因为， 所以，即为定值．(10分） (3)存在，点或或或 （3）假设存在点，使得， 设点， 因为，关于轴对称， 所以， 所以．(11分） 因为点在上， 所以，即， 代入得到， 因为，分别为线段，的中点， 所以，(13分） 若，则，即，此时， 即，解得，， 所以存在点或或或， 使得．(17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第1章~第2章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 4．若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 5．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 6．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：，点，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则的值不可能是（    ） A． B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论错误的是（     ） A．若直线，的斜率相等，则 B．若直线，的斜率分别为，，且，则 C．若直线，的斜率都不存在，则 D．若直线，的斜率不相等，则与不平行 10．已知点，，圆：，则（    ） A． B．过点、的直线方程为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆与圆：恰有三条公切线，则 11．已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 13．已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 14．已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 16．（15分）已知x和y满足圆的标准方程．求： (1)的最值； (2)圆上一点P与，所围成的三角形的面积的最大值和最小值． 17．（15分）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 18．（17分）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 19．（17分）已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：是定值； (3)是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第1章~第2章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 2．直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 3．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 4．若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 5．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知：，由椭圆性质可得：，， 设，则，且， 所以， 函数为二次函数，开口向下，对称轴为， 当或时，取得最小值，最小值为． 6．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 7．已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径； 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ， 解得，即. 8．已知椭圆：，点，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则的值不可能是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】记椭圆的上顶点为，根据结合直角三角形中三角函数的定义即可求解. 【详解】由题知，的最大值要大于等于，记椭圆的上顶点为，易知， 则，又因为，则，，而， 所以，故的值不可能是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论错误的是（     ） A．若直线，的斜率相等，则 B．若直线，的斜率分别为，，且，则 C．若直线，的斜率都不存在，则 D．若直线，的斜率不相等，则与不平行 【答案】ABC 【详解】对A，直线，的斜率相等，则或与重合，故A错误； 对B，当直线的斜率时，有，故B错误； 对C，若直线，的斜率都不存在，则或与重合，故C错误； 对D，直线，的斜率不相等，则与不平行，正确. 10．已知点，，圆：，则（    ） A． B．过点、的直线方程为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆与圆：恰有三条公切线，则 【答案】ABD 【分析】根据直线的截距式方程、圆的一般式方程的性质，结合圆的切线性质、圆与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】A：因为方程表示圆， 所以，因此本选项说法正确； B：因为点，， 所以点、的直线方程为，因此本选项说法正确； C：， 所以圆心坐标为，半径为， 若直线与圆相切， 则有，所以本选项说法不正确； D：圆：的圆心坐标为，半径为， 若圆与圆：恰有三条公切线， 则圆与圆相外切， 所以有，因此本选项说法正确， 故选：ABD 11．已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程求出、、，根据椭圆的性质判断A、B、C，根据椭圆的定义及基本不等式判断D. 【详解】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 13．已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，根据中点公式得到，代入已知圆的方程即可得轨迹方程. 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 14．已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为__________. 【答案】 【分析】借助离心率和三角形外接圆的半径，求解椭圆的方程. 【详解】已知椭圆C的离心率为，所以， 因为，所以， 因为，，所以为等边三角形， 由题知，的外接圆半径为， 由正弦定理得，即，解得， 所以，， 所以椭圆C的方程为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解； （2）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得方程组，解出即可． 【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得，直线方程为， 即． （2）①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，又直线过点， ，解得，直线方程为，即； ②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得 解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 16．（15分）已知x和y满足圆的标准方程．求： (1)的最值； (2)圆上一点P与，所围成的三角形的面积的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值和最小值分别为和 (2)最大值和最小值分别为， 【分析】（1）将 视为圆上动点到原点的距离平方，利用圆心到原点的距离与半径的关系确定距离范围； （2）将三角形面积表示为底边 与点 到直线 的距离之积的一半，转化为求圆上动点到定直线距离的最值问题． 【详解】（1）因为圆的圆心为,半径为, 而表示该圆上一点到原点的距离的平方, 因圆心到原点的距离, 圆上点到原点的距离的范围为：， 即， 所以， 因此， 所以的最小值为，最大值为． （2）已知、，则直线的方程为：， 且， 设点到直线的距离为，则的面积， 因此，面积的最值等价于求点到直线距离的最值， 圆心到直线的距离， 所以圆上点到直线的距离的范围为：， 即， 则，． 即的面积最小值为，最大值为． 17．（15分）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】(1) 定点的坐标为； (2) 弦中点的轨迹方程为（圆内部的部分）； (3) 弦长度的最小值为，对应的。 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧. （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 18．（17分）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【答案】(1)或. (2)最短长度为，此时的方程为. 【分析】（1）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，对斜率的存在性进行讨论之后，结合点在圆之外，设出直线的方程，由圆半径、弦长、弦心距之间的关系求出直线斜率即可； （2）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，由圆的几何性质和相互垂直直线的斜率关系即可求出的斜率，进而求出的方程. 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系即可求出此时最短弦的长度. 【详解】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或. （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为. 19．（17分）已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：是定值； (3)是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性知； 因为，分别为线段，的中点， 所以， 又因为， 所以，即为定值． (3)存在，点或或或 【分析】（1）因为椭圆的方程和焦点坐标得到和的值，利用公式求出，从而得到椭圆的方程． （2）设椭圆的左焦点为，连接，，根据椭圆的对称性得到，利用，分别为线段，的中点得到，结合椭圆的定义得解. （3）假设存在点，使得，设点，由，关于轴对称得到，求出，由点在上得到，由，分别为线段，的中点得到，由得到，通过计算得解. 【详解】（1）因为椭圆， 为的右焦点， 所以，，所以， 所以椭圆． （2）略 （3）假设存在点，使得， 设点， 因为，关于轴对称， 所以， 所以． 因为点在上， 所以，即， 代入得到， 因为，分别为线段，的中点， 所以， 若，则，即，此时， 即，解得，， 所以存在点或或或， 使得． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $